§3.4 向量组的极大线性无关组 这一节将在上一节建立的概念基础上，转 而讨论 中两个向量组 ， 之间的关系。从理论上研究在一向量组中，哪 §3.4 向量组的极大线性无关组 这一节将在上一节建立的概念基础上，转 而讨论 中两个向量组 ， 之间的关系。从理论上研究在一向量组中，哪 些向量在线性组合的意义上“独立”,即线性无关。 3.4.1 等价的向量组 定义3.5 若向量组 中的每一个向量都可由 向量组 线性表示，则称向量组 可由向量组 线 性表示。若向量组 和向量组 可互相线性表示， 则称两个向量组等价。 向量组 可由向量组 线性表示是指： ，

由矩阵分块运算，上述 个式子可表示为 ， 即向量组 可由向量组 线性表示等价于存在 矩阵 ，使 （3.8） 当 是 中的列向量时，（3.8）式是一个矩阵方程。若 和 等价，则存在矩阵 和 使下列两式同时成立：

向量组的等价关系具有下列三个性质： （1）自反性： 一个向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组 和向量组 等价，则 向量组 和向量组 也等价； （3）传递性：若向量组 和向量组 等价，若 向量组 和 等价，则向量组 和 等价。 例8 取 中向量 和 ， 其中 ， 。则向量组 和向量组 等价。

证 首先 ，即 是 的一个部分组，因此 可由 线性表示， 如 ; 又 ， 所以 又可由 线性表示，故向量组 和向量组 等价。 定理3.3 设 中两个向量组 , ，若向量组 可由 线性表示， 且 ，则向量组 线性相关。 作为定理3.3的逆否命题，我们有 推论1 若向量组 可由向量组

线性表示，而 线性无关，则有 。 如果推论1中的两个向量组等价，又均是 线性无关的向量组，则由推论1， 且 ， 从而有 。故有： 推论2 若两个线性无关的向量组等价，则 它们所含的向量个数相等。 3.4.2 向量组的极大线性无关组 定义3.6 若向量组 的一个部分组 满足 （1） 线性无关； （2）向量组 中每一个向量均可由

线性表示，则称 是向量组 的一个 极大线性无关组。 注意到 ，所以 可由 线性表示，故 的极大线性无关组是 中的和 等价的一个线性无关组。又任取 中的一个不 属于向量组 的向量 （若有的话）， 由 是 的线性组合，可知 线性相关，故向量组 中加进 中任何 的一个其他的向量，则变为线性相关组。这说 明 是按线性无关的性质 ，在 中能 取到一个含向量数目最大的向量组。

例9 求向量组 的极大线性无关组。 解 ，故部分组 线性无关。又 和 对应 的分量不成比例，所以部分组 线性无关。 又 ，故 线性无关,从而 是向量组的极大线性无关组。同理可验证， 也是向量组的极大线性无关组。由此可见 ，向量组的极大线性无关组不是唯一的。 例10 求向量组 的一个极大线性无关组。 解 已知 中基本向量组 线性无关, 又 中任一 n 维向量 都可表示为

由定义 3.6, 是Rn的一个极大线性无关组。 中的极大线性无关组也不是唯一的，例 如 时，平面 中任意两个不共线的向量 均是 的极大线性无关组。 由定义 3.6,易推知一个向量组的任何两个 极大线性无关组都是等价的。由定理3.3的推 论2，这些极大线性无关组所含的向量个数相 等。从而有： 定理3.4 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数是唯一确定的数。

我们把这个确定的数定义为向量组的秩。 定义3.7 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数，称为向量组的秩。 用秩的术语，定理3推论2可表述为：等价 的线性无关组秩相等，由一个向量组等价于它 的极大无关组，再由等价的传递性，两个等价 的向量组各自的极大线性无关组也是等价的向 量组，从而更一般的结论是： 定理3.5 等价的向量组秩相等。 定理 5 的逆命题不成立，即秩相等的向量 组不一定等价。

因为 中的基本向量 是 的一个极 大线性无关组，由定义7， 的秩是 ，作为这 个结果的推论，我们有结论： 任意 个 维向量一定线性相关。 3.4.3 向量组的秩和矩阵秩的关系 在§3.1中，我们已经看到以 中的向量组 为列，可以得到矩阵 这里主要关注A 的列向量之间的线性关系和秩 之间的关系，及如何借助于矩阵理论讨论A 的 列向量之间的线性关系的问题。

列向量组的线性相关性和线性组合关系. 证 设矩阵A 用一系列行初等变换化为矩阵 B ，即： 则存在可逆矩阵P ,使得 从而有下列关系 定理3. 6 矩阵A 的行初等变换不改变A 的 列向量组的线性相关性和线性组合关系. 证 设矩阵A 用一系列行初等变换化为矩阵 B ，即： 则存在可逆矩阵P ,使得 从而有下列关系 （1）若有不全为0的数 ，使得 ， 两边左乘矩阵P，有 ，即 . 反之，若存在 ，使 ，两边左 乘 ，有 ，即 。

因此向量组 线性相关 线性相关。 (2) 若 的列向量之间存在着某种线性关系， 如一个列是其余列的线性组合等。它的一般形式 是存在向量 ，使 ，左乘矩阵 ,有 即 。 从而 的列向量之间也有同样的线性关系， 反之也成立。 例11 讨论向量组

的线性关系 。 解 取矩阵 ，用行初等变换 把 化为行标准形 ： . 矩阵 作为行标准形， . 的列之间的线 性关系是一目了然的。 的列向量 中含有三个4维基本 向量 ， ， ，再加上 ， 故 的列向量组的极大线性无关组为 ，

且 . 所以 的列向量线性相关，由定理6， 的列 向量 线性相关，且 为其极大 线性无关组， 。 定理3.7 矩阵 的秩等于矩阵 列（行）向 量组的秩。 证 设矩阵 为 矩阵， ，用行初等 变换把 化为行标准形： ， 。而 的非零行数目为 ，个列向 量中含 维基本向量 ，它们是每一行第 一个非零的数所在的列，其余列 至多只有前

维分量非零，故 可表示为 的线性组 合，因此 是的列向量的极大线性无关组.所以 秩 . 由定理6，列向量的秩与 的列向量的秩相等， 即秩 . 由 ，把上述证明用在 上，可证明 的秩 等于 的行向量的秩。 推论 设 为 矩阵， ，则有 （1）当 时，的行向量组线性无关；当 时， 的行向量组线性相关。 （2）当 时， 的列向量组线性无关；当 时， 的列向量组线性相关。

特别地当 为 阶方阵时， 的列（行）向量 组线性无关的充要条件是 。 推论建立的结果是我们讨论一个向量组线 性相关性的有效方法。结合定理6，我们就可以 讨论向量组的各种相关的问题。 例12 设 ， （1）讨论向量组 的线性相关性；（2）求 的极大线性无关组； （3）把其余向量表示成极大线性无关组的线性

组合。 解 取 ，用行初等变换把 化为行标准形： （1） ，故向量组 的线性相关性。 （2） 的行标准形中，基本向量 在第1，2，4列，故 的极大无关组为 。

（3）其余向量为 ，由标准形,得 ，从而 . 例13 设 中的向量组 线性无关， 证明向量组 ，当 为奇数时线性无关；当 为偶数时线性相关. 证 由题目条件，向量组 可由向量组 线性表示.具体为：

当 n为奇数时线性无关；当 n为偶数时线性相关。 当向量组 线性无关时，矩阵 是 可逆矩阵，由矩阵秩的关系 ， 令 ，则 ，于是 当 n为奇数时线性无关；当 n为偶数时线性相关。