第二章 利息：現值與終值

利息：現值與終值 利息 複利之觀念 年金之觀念 現值與終值在會計上之應用

2.1 利息

利息 利息之性質 計算利息之方法 複利次數、利率與期數 名義利率與實際利率 利息之意義 計算利息之三要素 單利 複利 I＝本金×利率×期數＝p × i× n 複利 複利次數、利率與期數 名義利率與實際利率

計算利息之三要素 本金(p) 原始借入之金額 期間(n) 使用本金之時間 利率(i) 每一單位時間所付利息與本金之比率

【釋例一】 設借款$20,000，年利率8%，兩年期滿本利一次償還，試分別按單利與每年複利二種情形分別計算兩年之利息。

【解析】 P＝$20,000，i＝8%，n＝2 兩年按單利與複利計算之利息如下表所示。

複利次數、利率與期數之關係

名義利率與實際利率 名義利率 年利率 實際利率 依實際利息推算之利率

2.2 複利之觀念

複利之觀念 複利終值 複利現值 複利終值a、複利現值p與期數n及利率i之關係 a一定時，n、i愈大，p即愈小 p一定時，n、i愈大，a亦愈大 一元複利現值與一元複利終值互為倒數 a、p、n、i四項中，若知其中任何三項，即可求得另一未知之項目

部分一元複利終值表

複利終值 單一金額之本金，每期按複利計息，至最後一期終止之本利和 a＝p(1＋i) n＝p×a n,i

【釋例二】 現在存款$50,000，年利率12%，每半年複利一次，試求八年期滿時之本利和。

【解析】 每期計息利率i＝12%÷2＝6% 計息期數n＝2×8＝16(期) P＝$50,000，n＝16，i＝6%，求a。 a＝p×a n,i＝$50,000×a 16,6% ＝$50,000×2.540352＝$127,018

複利現值

【釋例三】 大山公司希望於六年後可有$100,000供更新設備之用，若銀行存款利率為9%，每年複利一次，該公司現應存款若干？

【解析】 i＝9%，n＝6，a＝$10,000，求P。 P ＝a×p 6,9% ＝$100,000×0.596267＝$59,627 故大山公司現在應存$59,627，六年後始 有$100,000可供使用。

【釋例四】 有一工作酬勞之給付方式有兩種，甲案為兩年後給付$40,000，乙案為五年後給付$50,000。若無通貨膨脹顧慮，且每年複利一次，則在12%及6%兩種利率下，各應如何選擇較為有利？

【解析】 本例係已知a、n、i求p。 利率為12% 在利率為12%時，甲案複利現值較多，應選擇甲案。

【解析】 利率為6% 在利率為6%時，乙案複利現值多$1,763，應選擇乙案。

【釋例五】 本金$20,000，年利率8%，每年複利一次，試計算若干年後可得$29,386.56。

【解析】 已知p＝$20,000，a＝$29,386.56，i＝8%，求n 按複利現值公式計算複利現值因子 查複利現值表以求期數 p＝a×p n,8% $20,000＝$29,386.56×p n,8% , p n,8%＝0.680583 查複利現值表以求期數 查複利現值表，利率為8%一欄，期數為5時現值為0.680583，故知本金應存五年方可獲得$29,386.56。

【釋例六】 X1年1月1日存款$100,000，每年複利二次，於X10年12月31日獲得$180,611，試求銀行存款利率。

【解析】 已知P＝$100,000，n＝20，a＝180,611，求i。 按複利終值公式計算複利終值因子 查複利終值表以求i a＝p×a 20,i (或p＝a×p20,i亦可) $180,611＝$100,000×a 20,i，a 20,i＝1.80611 查複利終值表以求i 複利終值表中期數為20一行，利率為3%時現值為1.80611。故知每期利率為3%，惟因每年複利二次，年利率應為6%。

【釋例七】 現在存款$30,000每年複利一次，二十年後本利和為$88,500，試求存款利率。

【解析】 P＝$30,000，n＝20，a＝$88,500，利用插補法求i。 按複利終值公式計算複利終值因子 a＝p×a 20,i $88,500＝$30,000×a 20,i a 20,i ＝$88,500÷$30,000＝2.95 查複利終值表，並利用利插補法求i 查複利終值表期數為20之一行並無2.95之終值，此時應用插補法求出利率。n＝20之一行接近2.95之兩數為2.653298（利率5%）及3.207135（利率6%），故知實際利率介於5%與6%之間。

利用插補法求i

2.3 年金之觀念

2.3年金之觀念 年金之意義及種類 年金終值 年金現值 與年金有關其他項目之計算 遞延年金現值

年金之意義及種類 意義 特徵 種類 連續數期，每期支付或收取一定之金額，如分期償還借款。 每期相隔之時間相等。 每期支付之金額相同。 每期計息之利率相同。 種類 普通年金 到期年金

年金終值 普通年金終值 到期年金終值

普通年金終值 意義 每期期末支付一定金額，各期金額複利終值之總和。 計算方式 查普通年金終值表找出An,i 普通年金終值（A）=R×An,i

普通年金終值

【釋例八】 設每年底存款$50,000，年利率12%，每年複利一次，求五年後之年金終值。

【解析】 R＝$50,000，i＝12%，n＝5，求A。 A＝$50,000×A5,12% ＝$50,000×6.352847＝$317,642

到期年金終值 意義 計算方式 每期期初支付一定金額，各期金額複利終值之總和。 到期年金終值因子比普通年金多了一期利息。 Ad = R × An,i ×（1+i） Ad = R ×(An+1,i － 1)

到期年金終值

到期年金轉換為普通年金

【釋例九】 設王君自X1年7月1日起每年存款$150,000，年利率為8%，每年複利一次，求四年後之存款餘額。

【解析】 R＝$150,000，i＝8%，n＝4，求Ad。 方法一：Ad＝R×An,i×(1＋i) ＝$150,000×4.506112×1.08 ＝$729,990 方法二：Ad＝R×(A(n+1),i－1) ＝$150,000×(A5,8%－1) ＝$150,000×(5.866601－1)

年金現值 普通年金現值 到期年金現值

普通年金現值 意義 計算方式 每期期末支付一定金額，按複利折算至第一期期初之現值的總和。 查普通年金現值表找出Pn,i P = R × Pn,i

普通年金現值

【釋例十】 民生公司於X4年1月1日購置機器一部，價款自當年12月31日起，每年償還$100,000，五年付清，年利率為10%，每年複利一次，試求：(1)若購買時一次付清所應支付之價款。(2)分期付款方式下，各期間之利息費用。

【解析】 R＝$100,000，i＝10%，n＝5 計算一次付清所應支付價款 P P＝R×Pn,i＝$100,000×P5,10% ＝$100,000×3.790787＝$379,079

分期付款期間之利息與償還情形

到期年金現值 意義 計算方式 每期期初支付一定金額，各金額按複利折算至第一期期初之現值總和 Pd = R ×Pn,i ×（1+i）或

到期年金現值轉換為普通年金

【釋例十一】 大明公司租用機器一部，租期五年，每年租金$160,000於年初支付，設年利率為9%，每年複利一次，試求機器租金之年金現值。

【解析】 R＝$160,000，i＝9%，n＝5，求Pd。 方法一 ＝$160,000×P5,9%×(1＋0.09) 方法二 Pd＝R×Pn,i×(1＋i) ＝$160,000×P5,9%×(1＋0.09) ＝$160,000×3.889651×1.09＝$678,355 方法二 Pd＝R×(Pn-1,i＋1) ＝$160,000×(P4,9%＋1) ＝$160,000×(3.239720＋1)＝$678,355

與年金有關其他項目之計算 已知P、n、i求R 已知P、R、i求n 已知P、R、n求i

【釋例十二】已知P、n、i求R 中強公司於X5年7月1日向銀行借入$75,000，年利率12%，約定自X6年6月30日起，本息分五年平均償還，求每年應償還之金額。

【解析】 本例為一普通年金問題 已知P＝$75,000，n＝5，i＝12%，求R。 P＝R×Pn,i $75,000＝R×P5,12%

【釋例十三】已知P、R、i求n 支昌公司於X5年8月1日購入機器一部，向銀行借款$267,763，年利率為10%，約定自即日起每年8月1日償還$50,000，其中包括期初借款利息及本金之償還，試計算該公司需幾年始能將借款償清？

【解析】 本例為一到期年金問題 已知Pd＝$267,763，R＝$50,000，i＝10%，求n。 求n－1期之年金現值因子 查表求n Pd＝R×(Pn-1,i＋1) $267,763＝$50,000×(Pn-1,10%＋1)， Pn-1,10%＝ －1＝4.35526 查表求n 查普通年金現值表中利率10%一欄，期數6之現值為 4.35526，亦即n－1＝6，故n＝7，亦即該公司需七年始能將借款還清。

【釋例十四】已知P、R、n求i 吉星公司於X5年2月1日向銀行借入$203,400，約定自X6年2月1日起分十期償還，每年償還$36,000，試求該項借款之利率。

【解析】 本題為一普通年金問題 已知P＝$203,400 ，R＝$36,000，n＝10，求i。 P＝R×P10,i

遞延年金現值 意義 計算方式 遞延數期後開始於每期收付一定金額，按複利折算至第一期期初之現值總和。 先求出數期後(m)之年金現值，再計算至目前之複利現值 年金現值P=R×Pn-m,i×p m,i 以兩項年金現值差額計算遞延年金現值 年金現值P=R×Pn,i －R×Pm,i

【釋例十五】 張君於X4年計劃於銀行存款以供其子日後升大學之用，其子預定X8年可入學，自X8年8月1日起每年預計提款$50,000共四年。若銀行利率為8%，每年複利一次，則張君於X4年8月1日應於銀行存款若干？

【解析】 方法一 先將X7年至X11年部分求出X7年之年金現值。 再以此金額求其X4年之複利現值，即為所求之遞延年金現值。 P＝$50,000×P4,8%＝$50,000×3.312127＝$165,606 再以此金額求其X4年之複利現值，即為所求之遞延年金現值。 X4年8月1日複利現值 P＝$165,606×p3,8%＝$165,606×0.793832＝$131,463

遞延年金現值(方法一)

【解析】 方法二 將前三年與後四年合併為一七年之年金，計算其普通年金現值(A)。 再計算前三年之年金現值(B)，由(A)中減除(B)，其餘額即為所求之遞延年金現值。 P＝$50,000×P7,8%－$50,000×P3,8% ＝$50,000×(5.206370－2.577097) ＝$131,463

遞延年金現值(方法二)

2.4 現值與終值在會計上之應用

現值與終值在會計上之應用 不附息或票面利率不合理之長期應收、應付票據之評價。 應付公司債理論發行價格之決定，及按利息法攤銷之溢折價。 資本租賃租賃資產成本及租賃負債金額之決定。 退休金成本之衡量。 償債基金每期應提撥金額之決定。 分期付款銷貨(或分期付款購買固定資產)入帳金額之決定。

不附息長期票據之評價 票據之現值 ＝票據之面額按市場利率折算之現值

【釋例十六】 太康公司購入機器一部，以面額$120,000之二年期不附息票據抵付，若當時之市場利率為10%，試決定機器之成本及票據之現值。

【解析】 機器之成本＝票據之現值 ＝$120,000×p2,10%＝$120,000×0.826446 ＝$99,174 機器之成本及應付票據均應按$99,174入帳。 票據面額$120,000與$99,174之差額應先以「應付票據折價」科目列為票據面額之減項。 若不按現值評價 資產(機器)及負債(應付票據)之評價錯誤 利息費用及折舊費用之認列不正確。

公司債理論發行價格之決定 公司債發行時發行公司收取之發行價格，應等於未來發行公司支付之利息與面額，按市場利率折算之現值。 發行價格 ＝利息之年金現值＋面額之複利現值

【釋利十七】 湖南公司於X5年1月1日發行年利率8%之五年期公司債，面額$1,000,000，每年12月31日付息一次，若發行時市場利率為10%，試求該公司債之理論發行價格。

【解析】

本章結束