复习 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 费马引理 拉格朗日中值定理 罗尔定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
第二节 洛必达法则 一、 型未定式 二、 型未定式 三、 其他未定式
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: 函数之商的极限 ( 或 型) 洛必达法则 转化 导数之商的极限 ( 或 型) 函数之商的极限 洛必达法则 转化 运行时，点击相片, 或按钮“洛必达”, 或 “洛必达法则” ，可显示洛必达简介，并自动返回。 导数之商的极限
定义 通常把这种极限称为 未定式 例如,
一、 型未定式 定理 1. 内可导，且 存在 (或为 ) (洛必达法则) 在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 存在 (或为 ) (洛必达法则) 在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。
定理条件 内可导，且 存在 (或为 ) 证: 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上 满足柯西定理条件, 故 ( 在 x , a 之间)
洛必达法则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 定理 1 中 换为下列过程之一: 推论1. 推论 2. 足定理的 1 条件, 若 仍属 型, 且 满 则 当条件满足时，洛必达法则可以反复多次使用。
例1 解 例2 解
例3. 求 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
注：用洛必达法则一定要验证条件，特别是条件(1);若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦不是未定式立刻停止使用; 注：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例4. 求 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ?
例5. 求 解： 若直接用洛必达法则，则有
运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。 例6 例6
型未定式 二、 定理 2. 内可导，且 存在 (或为 ) (洛必达法则) 证: 仅就极限 存在的情形加以证明 .
1) 的情形
的情形. 2) 取常数 可用 1) 中结论
3) 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
例8 解
例9. 求 解: 原式 例10. 求 解: (1) k 为正整数的情形. 原式
例10. 求 (2) k 不为正整数的情形. 存在正整数 n , 使当 x > 1 时, 有 从而 由(1)知 用夹逼准则
说明: 1) 例9 , 例10 表明 时, 指数增长 快于幂增长 幂增长 快于对数增长 特别地，
2) 某些情况下, 虽然定理条件满足，但洛必达法则并不能解决计算问题 . 2) 某些情况下, 虽然定理条件满足，但洛必达法则并不能解决计算问题 . 用洛必达法则 事实上
例
3) 若 则不能使用洛必达法则 ! 即由 不存在，不能确定 不存在. 例如, 极限不存在
三、其他未定式: 解决方法: 取对数 通分 取倒数
例11. 求 解: 原式 例12. 求 解: 原式
例13. 求 解: 例14 解:
例15 解:
利用罗必达法则及数列极限与函数极限的关系定理可求出一些数列极限。 例16 求 解： 考察函数极限
例17. 求 解： 运行时，点击按钮“例3”，可显示例3的解题过程。
例18. 设 可导, 求 解法一: (凑导数定义) 原式= 解法二: (洛必达法则) 原式=
例19. 若 且 可导 , 求 解：
内容小结 洛必达法则
思考与练习 分析: 原式 对第一题, 运行时点击按钮“说明3)”, 可显示有关的说明.
2. 分析: 原式
3. 求 则 令 解: 原式
4. 讨论函数 的连续性.
5. 设 的二阶导函数连续， 定义 证明 的导函数连续。
作 业 P138. 1(6)(7)(9)(12)(13)(16), 3，4 作业提交时间：2012年11月19日上午8:00am.
备用题 求下列极限 : 解:
则 令 解: 原式 = (用洛必达法则) (继续用洛必达法则)
解: 原式 =
洛必达(1661 – 1704) 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 则. ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于 圆锥曲线的书 .