数学与音乐 Mathematics and Music

数学与音乐是是人类历史文化中的两大宝贵财富，正如著名科学家Einstein所说：“我们这个世界可以用音乐来表现也可以用数学来表现”。而德国数学家Leibnitz则把数学看做音乐的基础，把音乐看做“心灵的算术练习”。事实上，数学与音乐是有着紧密的联的。

人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长。这最早可以追溯到公元前六世纪，当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来。他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系，从而发现了和声与整数之间的关系，而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的。于是，毕达哥拉斯音阶(the Pythagorean Scale) 和调音理论诞生了， 而且在西方音乐界占据了统治地位。虽然托勒密(C. Ptolemy ,约100 —165 年) 对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶(the Just Scale) 及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(the temperedScale) 及相应的调音理论出现才被彻底动摇。在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述，明代朱载　(1536 - 1610) 在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述，在《律吕精义 ·内篇》中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确， 与当今的十二平均律完全相同， 这在世界上属于首次。

十二平均律 十二平均律中各音的频率 c1：260.63 Hz ＃c1：276.13 Hz d1：292.55 Hz 将八度的音程(二倍频程)按频率等比例地分 成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。 将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧。它的纯五度音程 的两个音的频率比(即 2 的 7/12 次方)与 1.5 非常接近，人耳基 本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别。同时，“十二平均律”的纯四度和大三度，两个音的频率比分别与 4/3 和 5/4 比较接近。也就是说，“十二平均律”的几个主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的，只有极小的 差别，这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件，因 为这些乐器是靠自然泛音级(如前文所述，自然泛音序列，其频率 是基音频率的整数倍序列，成等差数列)来形成音阶的。 半音是十二平均律组织中最小的音高距离。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的，因为只有 “十二平均律”才能方便地进行移调。 十二平均律中各音的频率 　　c1：260.63 Hz 　　＃c1：276.13 Hz 　　d1：292.55 Hz 　　＃d1：309.94 Hz 　　e1：328.37 Hz 　　f1：347.90 Hz 　　＃f1：368.59 Hz 　　g1：390.50 Hz 　　＃g1：413.72 Hz 　　a1：438.33 Hz 　　＃a1：464.39 Hz 　　b1：492.00 Hz 　　c2：521.26 Hz

数字五线谱 如今人们记录音乐最常用的方法是简谱和五线谱，它们都与数学有密切的联系。简谱不正是用阿拉伯数字 1、2、3、4、5、6、7 来表示 do、Re、Mi、Fa、Sol 、La 、Si 的吗 ？难怪有人开玩笑说 ，学音乐要上达到 8。为什么呢 ？因为阿拉伯数字 8 在五线谱中也发挥着重要的作用，它常常在器乐谱中以 或 的面目出现，这就是移动八度记号。如果 标记在五线谱的上方，那么虚线内的音符要移高一个八度演奏，而 标记在五线谱的下方，显然虚线内的音符要移低一个八度演奏。另外还要下达到0，因为在简谱中 0 表示休止符。

此外，在每一首乐曲的开头部分，我们总能看到一个分数，比如，2/ 4、3/ 4、3/ 8、6/ 8 等，这些分数是用来表示不同拍子的符号，即是音乐中的拍号，其中分数的分子表示每小节单位拍的数目，分母表示单位拍的音符时值，即表示以几分音符为一拍。拍号一旦确定，那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数，这可以通过数学中的分数加法法则来检验。比如， 和 就符合由拍号4/ 4和3/ 4分别所确定的拍数，因为1/ 2 +1/ 4 +1/ 4 = 4/ 4，1/ 2 +1/ 8 + 1/ 8 = 3/ 4；而又因为1/ 16 + 1/ 2 + (1/ 4 + 1/ 8)= 15/ 16 ≠ 4/ 4 ，1/ 8 + 1/ 2 = 5/ 8 ≠ 3/ 4 ，所以不符合由拍号4/ 4和3/ 4分别所确定的拍数。这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。

再看简谱和五线谱上，一般都会出现这样的标记 ，这种标记就是用来表示音乐进行的快慢的，即音乐的速度。比如，132 就表示以四分音符为单位拍，每分钟 132 拍。

钢琴上的斐波那契数列 看一下乐器之王 ———钢琴的键盘吧，其上也恰好与斐波那契数列有关。我们知道在钢琴的键盘上，从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程(如图1) 。其中共包括13 个键，有8 个白键和5 个黑键，而 5 个黑键分成 2 组 ，一组有 2 个黑键 ，一组有 3 个黑键。2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。

音乐中的等比数列 如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合，那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了：1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的。显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音，并且我们知道下一个 C键发出乐音的振动次数(即频率) 是第一个 C 键振动次数的 2倍，因为用2 来分割，所以这个划分是按照等比数列而作出的。我们容易求出分割比 x ，显然 x 满足 x^2= 2 ，解这个方程可得 x 是个无理数 ，大约是 1.06。于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1.06 倍 ，而全音的音高是那个音的音高 1.06^2 倍。

除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系。 毕达哥拉斯学派（公元前585～前400）是最先用比率将音乐与数学联系起来的。他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系。他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比。按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶。例如，从产生音符C的弦开始，C的16／15长度给出B，C的6／5长度给出A，C的4／3长度给出G，C的3／2长度给出F，C的8／5长度给出E，C的16／9长度给出D，C的2／1长度给出低音C。

你是否曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑问？实际上许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关。指数函数和指数曲线就是这样的概念。指数曲线由具有y＝k^x形式的方程描述，式中k＞0。一个例子是y＝2^x。 对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和。每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别。

数学思想与作曲法 奥地利著名作曲家Schoenberg代表作“十二音音乐”问世后，经过Webern等一批作曲家的发展，产生了序列音乐。值得一提的是我国青年作曲家彭志敏，他采用序列音乐技法，大胆运用数学公式，使音乐创作与数学演算过程紧密结合，创改了钢琴组曲包括： 《夜曲：an=a1+(n-1)d》 《风景： 》

大自然音乐中的数学 大自然中的音乐与数学的联系更加神奇，通常不为大家所知。例如，蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系，我们可以用一个一次函数来表示： F= C/4+40 其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数，F代表华氏温度。按照这一公式，我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数，不用温度计就可以知道天气的温度了！

科学家发明全新方法量化音乐的几何结构 科学家们通过长时间的研究发现，音乐也具有令人惊讶的几何结构，音乐和数学之间具有一种神奇的关系。 音乐与数学的关系——这是一个几个世纪以来曾经使无数学者为之着迷的话题。据记载，两千多年前，毕达哥拉斯就发现令人愉悦的音乐可以用简单的数学比率来表示，但是直到今天，科学家们才通过现代科学技术发现了它们之间神奇的数学关系。 据研究者介绍，中世纪的时候就出现过所谓的“音乐宇宙空间”或者“音乐天体理论”。 认为每个天体的运动，包括太阳、月亮、行星等都可以看作是音乐的一个元素，虽然人类无法听见，但是人类和它们和谐的依存着。于是，佛罗里达州立大学音乐教授考兰德，耶鲁大学的兰丘教授和普林斯顿大学的德米特里教授，以“音乐天体理论为基础”，利用高深的数学模型，设计了出一种新的方式，对音乐进行分析归类。 他们将成果发表于4月18日的《科学》杂志上，他们提出了所谓的“几何音乐理论” ，把音乐语言转换几何图形。他们把音符元素，像“和音”、“旋律”等进行分类。采取序列的注释，加以分类，相同的类型归为“同类家族” ，同类的家族元素再用复杂的几何结构来表示，类似于高中几乎用“X”“Y”坐标的形式表示一样。不同类型的分类，产生不同的几何空间。同时也反映了音乐家数百年来用不同的方法理解自己的音乐。这一成果，将使得研究者以更深和更令人满意的方式，去分析和理解音乐的奥秘。

总结 数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开，而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间，音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花，它们的美交相辉映！

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