數學本質概念 統計 TKU95A03曹倩毓 TKU95A29駱美利

大綱 統計的定義-什麼是統計？ 統計的功用-為什麼要學統計？ 數學結構 認知結構 綱要結構 教學策略 迷思+解決策略

一、統計定義 什麼是統計？ -從數據中找訊息 例如： 37.1 小明的體溫37.1度

二、統計的功用 為什麼要學統計？ -評估這樣的數字是否是對的、是否可靠 例子：台北市民80%家裡曾遭小偷，你相信嗎？

三、數學結構 統計教學的四個步驟 STEP1 提出疑問 STEP2 蒐集資料 STEP3 分析資料 STEP4 形成並溝通結果

三、數學結構-步驟一 統計教學的步驟一「提出疑問」 為了解決問題，所以要提出疑問 提出疑問後，學生才可以藉由提出的問題，去找出資料收集的對象和方法以及資料型態 例如： 五年級學生的平均體重是多少？ 資料收集的對象：是幾年級的學生？ 收集的方法：由網路、學校、醫院哪裡收集的？ 資料的型態：是數據、是類別？

三、數學結構-步驟二 統計教學的步驟二「收集資料」 收集資料是藉由上一步驟的問題，來找出要收集的對象、方法和型態 例如： 五年級學生的平均體重是多少？ 資料收集的對象：本校五年級學生 收集的方法：可能藉由每學期保健室測量身高體重的紀錄表 資料的型態：學生體重是幾公斤(單一母體)

三、數學結構-步驟三 統計教學的步驟三「分析資料」 分析資料在分成兩個步驟： 整理資料、呈現資料 STEP1 整理資料 STEP2 呈現資料

三、數學結構-步驟三(1) 整理資料：篩檢和建立分類的標準 篩檢是把不合理或是異常的資料做追蹤或是刪除。 例如： 　五年忠班學生平均體重的數據中，正常平均是40~50公斤，但是卻有100公斤的數據，最後造成全班平均變成50幾公斤，你可以判斷說，五年忠班全班體重過重嗎？ 　91年的時候，五年級的平均體重是45公斤，到了92年的時候，五年級的平均體重變成38公斤，為什麼五年級的平均體重會忽然下降呢？

三、數學結構-步驟三(2) 呈現資料 表格：一維表格 二維表格 意義：把文字簡化、資訊更容易閱讀 日常應用：功課表、價目表 大紅 大藍 小紅 小藍 5 3 4 紅 藍 大 5 3 小 4

三、數學結構-步驟三(2) 圖：長條圖、直方圖、折線圖 意義：了解資料分布的特性

三、數學結構-步驟四 統計教學的步驟四「形成並溝通結果」 溝通能力強調的是：報讀和解讀 報讀：將統計圖表上所看到的資料直接讀出來 解讀：學生能參考統計圖表中部分資料或整體資料來說明資料分佈的情形

四、認知結構 蘇國樑(民88)提出兒童統計概念的基礎發展模式： (1)輪廓運思期 (2)排序運思期 (3)造類運思期 (4)子類內造數運思期 (5)子類和量合併運思期 (6)子類和量序對運思期

認知結構的六階段之一 觀察資料 處理資料 呈現、說明或 重製資料 (1)輪廓運思期---空間輪廓 資料集所佔的空間輪廓 視覺化(Visualization)的資料處理--形的保留概念

認知結構的六階段之二 (2)排序運思期---每個獨立的元素的空間位置 觀察資料 處理資料 呈現、說明或 重製資料 資料集內每一個元素和其空間位置 一個類(class)、一個被測量的對象，資料集內每個元素是獨立的。 以空間位置為序(order)做出一個接著一個的方式進行重現。

認知結構的六階段之三 (3)造類運思期---分類活動 觀察資料 處理資料 呈現、說明或 重製資料 資料集內構成的元素的外在特徵如顏色、形狀或大小 一整群或全類，進行分類活動。 依元素的外在特徵成為一個獨立的單位

認知結構的六階段之四 觀察資料 處理資料 呈現、說明或重製資料 (4)子類內造數運思期--表徵活動或是數概念活動。 藍色: ○○○○ 資料集內每一個子類為一個新的群或是新的測量對象 在各子類內進行重造表徵活動或是數概念活動。 以符號表示，例如X色是x個相同大小的”○” 藍色: ○○○○ 紅色: ○○○ 綠色: ○○○○○

認知結構的六階段之五 觀察資料 處理資料 4 3 5 說明、重製或 比較資料 (5)子類和量合併運思期--次數分配表記錄活動 藍色 紅色 子類和子類對應之量兩者間的關係，需要具體物和相關活動來確認此一對應關係 分類與記錄活動，類和量的對應關係 ”自用”的次數分配表(統計表的個別化) 藍色 4 紅色 3 綠色 5

認知結構的六階段之六 觀察資料 處理資料 呈現或說明資料 藍色 4 紅色 3 綠色 5 12 (6)子類和量序對運思期--說明次數分配表中的序對關係 觀察資料 處理資料 呈現或說明資料 子類和子類的量(或數)合成，己脫嵌出資料集的序對(paried order)關係 以類和量的序對關係為基礎，子類和子類的量(或數)合成 整組的資料以”自用”的次數分配表所顯示出的序對關係為重製或說明的依據 ，(統計表的類推使用) 藍色 4 紅色 3 綠色 5 12

五、綱要結構 一、領域目標 二、分段目標 三、九年一貫課程各階段的統計能力指標 四、各年級課程綱要及各年級分年細目 五、分年細目詮釋

領域目標 在需要獲得的概念、知識、思考和技能中之第四項統計圖表中規定學生需具備以下五個能力： 能獲得蒐集資料，並加以分類、計數、整理的能力。 能認識長條圖、折線圖、百分圖等簡易統計圖表。 能獲得繪製及報讀解釋簡易統計圖表的能力。 能瞭解平均數、眾數、百分數的意義。 能獲得機率的初步經驗。

分段目標 低年級目標:將資料整理成簡易統計圖表，並會閱讀。 中年級目標：養成報讀長條圖、折線圖、時刻表與節目表及繪製長條圖、折線圖的能力。 高年級目標：培養繪製及讀統計圖表的能力，瞭解平均數、眾數、百分數的意義。

九年一貫課程各階段的 統計能力指標 階段 能力指標 第一階段 （1～3年級） 第二階段 （4～5年級） 第三階段 （6～7年級） 第四階段 D-1-01 能將資料做分類與整理，並說明其理由。 D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 第二階段 （4～5年級） D-2-01 能認識生活中資料的統計圖。 D-2-02 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-03 能整理生活中的資料，並製成長條圖。 D-2-04 能整理有序資料，並繪製成折線圖。 第三階段 （6～7年級） D-3-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖。 第四階段 （8～9年級） D-4-01 能報讀百分位數，並認識個體在群體中相對地位的情形。 D-4-02 能利用統計量，例如：平均數、中位數及眾數等，來認識資料集中的位置。 D-4-03 能利用統計量，例如：全距、四分位距等，來認識資料分散的情形。 D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念。

各年級課程綱要及各年級分年細目 年級 分年細目 內容 術語與符號 對照能力指標 一 二 三 四 五 六 1-d-01 能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。 1-d-02 能將紀錄以統計表呈現並說明。 D-1-01 1.用畫記(如：正、卌)將資料整理成記錄表 2.把記錄表整理成統計圖表 1.記錄表 2.簡易統計圖表 二 三 3-d-01 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 3-d-02 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 D-1-02 D-1-03 1.讀直接對應表格 2.讀交叉對應表格 1.直接對應表格 2.交叉對應表格 四 4-d-01 能報讀生活中資料的統計圖，如長條圖、折線圖與圓形圖等。 4-d-02 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-01 D-2-02 1.讀統計圖表 2.讀長條圖、折線圖、 圓形圖 1.橫軸、縱軸 2.長條圖、 3.折線圖、 4.圓形圖 五 5-d-01 能整理生活中的資料，並製成長條圖。 5-d-02 能報讀生活中有序資料的統計圖。 5-d-03 能整理有序資料，並繪製成折線圖。 D-2-03 D-2-04 1.畫長條圖 2.畫折線圖 3.讀時刻表與節目表 1.長條圖、 2.折線圖 六 6-d-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖。 D-3-01 1.畫圓形圖 1.圓形圖

能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。 分年細目詮釋 一年級 1-d-01 能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。 D-1-01 說明： ●讓學童自由發揮，允許學童多元的分類與記錄方式，只要能夠將資料加以整理即可。 ● 例：班上的男女同學數；班上同學的出生月份；對給定不同顏色色紙的分類；班上同學最喜歡卡通的紀錄；班上工作分配的人數列表；幾何形體教具的分類（參見1-s-02）。上課的課表，也是一種表格紀錄的方式，應鼓勵學童製作。 1-d-02 能將紀錄以統計表呈現並說明。 ●讓學童將分類與數量的紀錄，製作成表格式統計表。 ● 例：小明利用下列其中一種表格將書包裡面鉛筆、剪刀及書本的個數記錄下來。

能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 分年細目詮釋 三年級 3-d-01 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 D-1-02 說明： ●例：電視節目表、各班人數表、餐廳價格表等，並配合「數與量」單元進行教學。 3-d-02 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 D-1-03 ●例：用功課表等來教學，並配合「數與量」單元進行。 ●可利用火車時刻表等，來規劃旅行計畫。

能報讀生活中資料的統計圖，如長條圖、折線圖與圓形圖等。 分年細目詮釋 四年級 4-d-01 能報讀生活中資料的統計圖，如長條圖、折線圖與圓形圖等。 D-2-01 說明： ●利用生活上的統計圖，作為例子，例如：某班的成績分佈情形，可分別以長條圖、折線圖或圓形圖來呈現。 ●「報讀」是指將統計圖上所看到的資料讀出來。 ●資料的解讀應於「社會」、「自然與生活科技」等領域的教學中進行為宜。 ● 此階段長條圖、折線圖不涉及座標的教學，只需對橫軸、縱軸的資料有所了解。教師可以使用生活中簡單的長條圖、折線圖，來使學童認識統計圖上橫軸、縱軸的資料，並報讀資料。 ● 圓形圖部份，不涉及圓面積、圓心角及扇形面積的教學，僅報讀資料，並觀察各區域大小與資料間的對照關係。 4-d-02 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-02 ●此處的較複雜的長條圖是指各種變形或資料較煩瑣的長條圖。 ● 利用已學過的長條圖知識，讓學童舉一反三地報讀變形長條圖，並不需要教遍各種變形長條圖。 ● 示例中的各種變形長條圖不一定都要呈現，可以當作學習活動來進行相關討論。 ●統計圖表的功能在於由圖表可以輕鬆掌握整筆資料，如果只看原始資料不容易有整體印象。 ●現成長條圖包括在報紙或雜誌中所見之長條圖，本細目著重在學童直接報讀長條圖，而非將資料轉換成長條圖，可讓學童省去繪製大量資料圖表的時間。

分年細目詮釋 五年級 5-d-01 能整理生活中的資料，並製成長條圖。 D-2-03 說明： ●學童可將現成資料，藉由次數、數量或人數做成長條圖。 ● 若以百分率表示資料的量，也可以看出資料顯現的資訊。 5-d-02 能報讀生活中有序資料的統計圖。 D-2-04 ● 有序資料係指因為數量、時間、位置等的有序變化而產生對應資料。 5-d-03 能整理有序資料，並繪製成折線圖。 ●本階段，不宜引進變數或函數的概念，僅須以時間、數量的變化來說明有序資料。 ● 可使用在一種有序變化下，如時間改變、數量變化等，同時對應幾個變化的資料製作折線圖，來了解對應變化間的關係。 ● 教學上，資料不宜過於複雜，且折線以不多於兩條為宜。

分年細目詮釋 六年級 6-d-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖。 D-3-01 ●本細目應納入6-s-04扇形面積的教學活動，不須另立教學單元。 ● 若無先後、大小、位置關係的資料也可以圓形圖來表現。教學時，可以各組次數除以所有資料次數總和所得的百分率或比值，轉換成圓心角的角度後來製作圓形圖。 【例】對50位國中男生最喜歡的休閒活動作調查後，將各項活動的人數加以整理後如表1，來製作圓形圖，如圖1。 表一 圖1 活動別 打籃球 跳繩 閱讀 聊天 畫圖 人數 15 7 8 12

六、教學策略 統計教學目標 統計概念 教學策略 教師的引導 具體活動 具體活動的歷程 真實資料 真實資料的題材選擇 分析解釋

1. 統計教學目標 統計素養：有能力解讀出現在報章、雜誌、電視、廣告和與工作相關的任何統計論點。 統計思維：統計是處理資料中自然的變異性和不確定性的工具或思維模式。 蘇國樑(1998)認為「統計思維是人關於統計對象的認識過程」學生能掌握對統計知識的意義，也能了解統計資訊形成的過程，而非強調數學技巧性的運算或製圖。 統計概念：培養統計思維和統計素養的基礎 。

2. 統計概念 蘇國樑(民88)指出統計概念是… 資料處理活動後主體所抽象出來的能夠表現出資料集內在的關係。 例如：平均數、眾數。 此關係所顯示的功能是不但能夠以更簡單的、精簡的和系統化的方式來了解、呈現或說明原來的資料集。 例如：統計圖表。

3. 教學策略 教師的引導 具體活動 真實資料 分析解釋

A. 教師的引導 學習動機與興趣: 喚起舊經驗生活經驗連結現有資料 經由學習活動產生真實資料 學習情境佈題: 討論式教學和問題解決導向 學科統整: 社會科與自然生活領域 學習活動: 清楚說明資料範圍、分類與量測方法 循序漸進 圖表製作，現成圖表填製到圖表自繪。 資料數量與類別項目由小到大，由少到多。

B. 具體活動 實作統計(doing statistics) ，以證明統計與真實世界的應用有關連。 「給予學生機會去調查、蒐集、分析、解釋，而非只是強調計算和記憶」。 提供一個邊學邊做(learning by doing)的情境，使得統計教學更有意義，且證實了使用統計可用來分析真實世界的問題。 小結論：讓學生反覆經歷統計的四個歩驟:蒐集資料、處理資料、呈現資料並解釋資料。

C. 具體活動的歷程

D. 真實資料 Russell&Friel(1989)認為「真實資料是非常自然且雜亂無章的，不是由學生自己蒐集而來的就是從真實世界中所直接獲得的資料」。 學生能依自己有興趣的問題來蒐集真實的資料並回答問題： 能提高學生的學習興趣。 更由親自蒐集資料的過程中瞭解統計的深層意涵，亦能加強學生對資料的感覺與解釋資料的能力。

E. 真實資料的題材選擇 適合學生現在年齡： 適合學生認知狀態： 符合學生興趣： 資料具有延伸性： 略加修改適合教學： 均衡可行性： 鍾靜(2001) 「真實解讀計劃(AEP) 研究」 適合學生現在年齡： 資料的議題是否符合學生討論，例如--齲齒率 vs. 強暴率 適合學生認知狀態： 資料的訊息要能符合學生的認知，例如--溫室效應中的甲烷、臭氧，還不適合小學生。 符合學生興趣： 要能切近學生生活並能吸引學生注意，例如--人體血液中含有的成份和每個成份中的含量有多少。 資料具有延伸性： 深入討論數字帶來的現象為何？真實資料 vs. 虛擬資料，數據是有意義的，加上教師的引導與提問，進入深層統計思考與資料解釋。 略加修改適合教學： 為適合教學，教師在選擇題材時，須將真實資料不失原意加以修正或轉換，例如--可簡化含三個以上的小數的數據。 均衡可行性： 選用真實資料是可長時間利用，不因時間或空間的稍微變動就產生不同數據，例如--雞蛋的營養成份 vs. 每年人口出生率

F. 分析解釋 Russell&Friel(1989)認為「解釋是企圖了解資料真正代表的意義，包含了得到結論、發展論點和提出新的問題」。 在活動中教師允許學生表達他們所理解的結論，非直接引導學生往教師認為此資料應該看起來像如此的方向走。 Russell&Friel(1989) 讓學生互相討論各自對資料的解釋能增進學生分析與解釋資料的能力，學生依據資料而建立各自的論點是一個反覆的過程，而解釋可以領導學生退回去思考資料收集過程中的問題。 鼓勵這種再思考和反思的過程可以幫助學生了解從各個觀點對同一個資料提出問題的重要性以及從各個觀點表現此資料的重要性。

七.迷思+解決策略 老師在教學上的迷思與解決策略 學生在學習上的迷思與解決策略

七.迷思+解決策略 教師的迷思(一) 教「資料分類整理」時，最常使用的教具是花片，而為什麼要將花片分類？ --這樣不就是為了教分類而分類嗎？ 由於兒童對於實體物的分類操作，在幼稚園時期就有經驗，因此教師應該是「引導學生」使用其能力解決生活中的問題。

七.迷思+解決策略 教師的迷思(二) 將資料給學生畫統計圖，卻沒有說明這些資料的來源，是要解決什麼問題！ 解決策略 所以，首先製造情境讓學生發現問題，知道問題是什麼，然後該怎麼解決，再來蒐集資料。

七.迷思+解決策略 教師的迷思(一) 學生會畫統計圖是不是就表示已經有了統計概念？ 解決策略 除了製作統計圖和報讀統計圖之外，更重要的是引導學生思考此統計圖是否適當地表現資料的分布和解決問題的目的。

七.迷思+解決策略 學生的迷思(一) 小朋友不知道為什麼要用二維表格 --小朋友大多數都是直觀、單向度的分類 例如： 大紅 大藍 小紅 小藍 5 3 4 紅 藍 大 5 3 小 4

七.迷思+解決策略 解決方法 告訴她們如果類別的項目變多的時候怎麼辦？用一維表格的方法雖然比較簡單，但是要讓她們自己發現用二維的比較快，學習二維的時候，可以用「而且」這個詞來幫助學習。 例如：是紅色而且是大的三角形有幾個？ 是藍色而且是小的三角形有幾個？ 哪些字是關鍵字是類別呢？紅、大、藍、小 紅 藍 大 5 3 小 4

七.迷思+解決策略 學生的迷思(二) 容易把長條圖和直方圖搞混。

七.迷思+解決策略 解決方法 先把兩個圖拿出來比較看看，讓學生自己發現不同的地方在哪裡，再針對不同的地方做補充或強調。

七.迷思+解決策略 學生的迷思(三) 相同的折線圖，就代表是同一份數據嗎？ 五年忠班和孝班的體重折線圖相同，就代表兩班的體重都一樣嗎？ 解決方法：告訴她們圖只能解釋部份資料