项目二 电路的基本分析方法 （时间：6次课，12学时）

本章主要介绍线性电路的两大分析法：电路方程分析法和等效变换法。 (1)电路方程分析法是依据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，选择适当的变量对电路列电压和电流方程，并联立方程组求解各条支路电流和各节点电压或其他待求量。本章将介绍两种电路方程分析法：一是以支路电流为待求量的支路电流法；二是以节点电压为待求量的节点电压法。 (2)等效变换法是依据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，利用电路等效变换的概念，对电路进行等效变换，从而简化分析和计算。本章重点阐述等效变换的概念、电阻电路等效变换的方法及一些网络定理，包括叠加原理、戴维南定理和诺顿定理。 此外，本章还将介绍负载获得最大功率的条件及非线性电阻电路的分析方法。本章中线性电路的分析法是围绕电阻电路展开的，其结论对其他线性电路同样适用。

项目二 电路的基本分析方法 任务一 电阻电路的等效 任务二 支路电流法 任务三 节点电压法 任务四 叠加原理 任务五 等效电源定理 项目二 电路的基本分析方法 任务一 电阻电路的等效 任务二 支路电流法 任务三 节点电压法 任务四 叠加原理 任务五 等效电源定理 任务六 负载获得最大功率的条件 任务七 非线性电阻

任务一 电阻电路的等效 2.1.1 等效及等效化简 2.1.2 星形和三角形网络的等效变换

2.1.1 等效及等效化简 对电路进行等效变换是指结构、元件参数不相同的两部分电路N1、N2，若具有相同的伏安特性，则称它们彼此等效，如图2.1所示。当用N1代替N2时，将不会改变N2所在电路其他部分的电流、电压。这种计算电路的方法称为电路的等效变换。 图2.1 电路的等效

几个电阻依次串起来，中间没有分支的连接方式，称为电阻的串联 。 1、电阻的串联 几个电阻依次串起来，中间没有分支的连接方式，称为电阻的串联 。 等效电阻： 两电阻串联电路的分压公式为： 即电阻串联电路中各电阻上电压正比于该电阻的阻值。 图2.2 电阻串联电路的等效

几个电阻跨接在相同两点的连接方式，称为电阻的并联 。 2、电阻的并联 几个电阻跨接在相同两点的连接方式，称为电阻的并联 。 等效电阻： 图2.3 电阻并联电路的等效 两电阻并联电路的分流公式为： 即电阻并联电路中各支路电流反比于该支路的电阻。

3、电阻的混联 电路中，既有电阻并联又有电阻串联，称为电阻的混联 。 分析混联电路时: 首先应消去电阻间的短路线，以方便看清电阻间的连接关系； 然后在电路中各电阻的连接点上标注不同的字母； 再根据电阻间的串并联关系逐一化简，计算等效电阻。

例2-1 如图2.5所示电路，求a、d间的等效电阻(设 图2.5 例2-1图 解：从电阻的连接关系看，3个电阻为相互并联，如图(b)所示。故

例2-2 求图2.6所示电路的等效电阻 、 。 图2.6 例2-2图 解：对a、b端口，由图 (b)可知 对c、d端口，由图 (c)可知

2.1.2 星形和三角形网络的等效变换 星形网络中，每个电阻的一端连在公共点o上，另一端分别接在3个端口上 。 2.1.2 星形和三角形网络的等效变换 图2.7 电阻的Y形连接、△形连接 星形网络中，每个电阻的一端连在公共点o上，另一端分别接在3个端口上 。 三角形网络中，3个电阻首尾相连，并引出3个端口 。

假设端口3开路，端口1、2的入端电阻相等，则 假设端口2开路，端口1、3的入端电阻相等，则 假设端口1开路，端口2、3的入端电阻相等，则

将上面3式联立求解得， △ -Y形等效变换时电阻的对应关系：

将上面3式联立求解得，Y-△形等效变换时电阻的对应关系：

例2-3 对图(a)的电桥电路应用Y-△变换，并求电压 。 图2.8 例2-3图 解：利用Y-△等效变换，得到图 (b)所示的等效电路，其中 电路右半部分的等效电阻 为： 则a、b两点间电压 为：

任务二 支路电流法 2.2.1 支路电流法 2.2.2 应用举例

2.2.1 支路电流法 支路电流法是以各条支路电流为未知量，运用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律列出方程组，并联立求解出各未知量。 2.2.1 支路电流法 支路电流法是以各条支路电流为未知量，运用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律列出方程组，并联立求解出各未知量。 如图2.9所示电路，该电路有3条支路、2个节点和3个回路，各支路电流的参考方向和回路的绕行方向标于图中，其中US1＝70V，US2=6V，R1=R3=7Ω，R2=11Ω。 图2.9 支路电流法

根据基尔霍夫电流定律，可列出如下节点电流方程： 节点①： 节点②： 从两个节点电流方程中可看出，两个方程中只有一个方程是独立的。如果节点①方程是独立节点方程，那么节点②方程是非独立的。相应地，节点①称为独立节点，节点②称为参考节点。根据数学知识可知，对于有n 个节点的电路，其独立节点数目为 n-1 个。

根据基尔霍夫电压定律可列出3个回路电压方程: 回路Ⅰ： 回路Ⅱ： 回路Ⅲ： 把回路Ⅰ和回路Ⅱ的电压方程相加即可得回路Ⅲ的方程。这说明3个回路电压方程中只有两个是独立的。如果回路Ⅰ、Ⅱ方程作为独立回路电压方程，则回路Ⅲ方程为非独立的。对应的回路Ⅰ、Ⅱ称为独立回路。对于具有 条支路、 个节点的电路，其独立回路数目为 个。网孔是独立回路。

将上述3个独立方程联立，可得如下方程组： (实际方向与参考方向一致) (实际方向与参考方向相反) (实际方向与参考方向一致) 求得各支路电流后，还可求解各支路上电压。如 支路电压

从以上分析中可总结出支路电流法的解题步骤： (1) 确定电路中支路数目，并选取合适的独立节 点和独立回路。 (2) 设定各支路电流的参考方向和独立回路的绕行方向。 (3) 依据KCL列出独立节点的电流方程。 (4) 依据KVL列出独立回路的电压方程。 (5) 联立求解方程组，得各支路电流。 (6) 依据元件的伏安关系(VCR)进一步求解各支路电压。

2.2.2 应用举例 例2-4 如图2.10所示电路。用支路电流法求解各支路电流。 2.2.2 应用举例 例2-4 如图2.10所示电路。用支路电流法求解各支路电流。 解：本题有3条支路、2个节点和3个回路。独立节点、独立回路及各支路电流的参考方向和独立回路绕行的方向如图左所示。 根据KCL和KVL可列出以下方程： 联立求解方程组，得 图2.10 例2-4图

将电阻值代入方程，并联立求解方程组，得： 例2-5 利用支路电流法求解图2.11所示电路中各支路电流。解：本题有3个节点，6条支路，其中两条支路中含有两个电流源，因此只有4个未知电流，如图所示，分别为 根据KCL和KVL可列出下列方程： 图2.11 例2-5图 将电阻值代入方程，并联立求解方程组，得： Ⅰ1=6A Ⅰ2=-1A Ⅰ3=7A Ⅰ4=3A

例2-6 如图2.12所示电路，求解各支路电流。 解：本题有4个节点，6条支路，其中两条支路中含有受控源。因此需列2个补充方程。各支路电流参考方向如图所示，并且选取3个网孔为独立回路，按顺时针方向绕行。根据KCL和KVL可列出下列方程 图2.12 例2-6图

任务三 节点电压法 2.3.1 节点电压法 2.3.2 应用举例

2.3.1 节点电压法 节点电压法是以节点电压为未知量的电路分析方法。 2.3.1 节点电压法 节点电压法是以节点电压为未知量的电路分析方法。 图2.13所示电路中共有3个节点。设节点O为参考节点，节点①、②的电压为 、 ，其方向指向参考节点。各支路电流的参考方向见图中标示。根据KCL，可列出独立节点电流方程 图2.13 节点电压法

用节点电压表示各支路电流，分别为: 代入节点电流方程 即：

设 ，称为节点①的自电导，是连接到节点①的各支路电导之和。 ，称为节点②的自电导，是连接到节点②的各支路电导之和。 ，称为节点①和节点②之间的互电导，是连接在节点①和节点②之间各支路电导之和的负值。 是连接到节点①各支路的独立电源产生的电流代数和。流入该节点为正，流出该节点为负。 是连接到节点②各支路的独立电源产生电流的代数和。 节点电压方程的一般形式

求解该方程，可得节点电压，并进一步求得各支路电流。 节点电压法解题步骤： (1) 选定参考点，对其余节点编号，其余节点对参考点的电压为节点电压，方向指向参考点。 (2) 对个独立节点列节点电压方程，其中自电导为正，互电导为负。 (3) 求解方程组，得各节点电压。 (4) 根据支路的伏安关系，求各支路的电流。

2.3.2 应用举例 例2-7 列出图2.14所示电路的节点电压方程。 2.3.2 应用举例 例2-7 列出图2.14所示电路的节点电压方程。 解：选择参考节点如图示。节点①、②、③电压分别为 、 、 。根据节点电压公式，得各节点电压方程如下 图2.14 例2-7图

例2-8 应用节点电压法求图2.15所示电路中各支路电流。 解：选取b点为参考点，则根据节点电压公式 有： ， 即 例2-8 应用节点电压法求图2.15所示电路中各支路电流。 解：选取b点为参考点，则根据节点电压公式 有： ， 即 图2.15 例2-8图

例2-9 应用节点电压法求图2.16所示电路中各支路电流，并求电源输出功率及负载电阻 上消耗的功率。 例2-9 应用节点电压法求图2.16所示电路中各支路电流，并求电源输出功率及负载电阻 上消耗的功率。 解：选择参考节点如左图所示。根据节点电压公式得： ， 即 图2.16 例2-9图

各支路电流参考方向如上图所示，则各支路电流为 电源输出功率为 电阻R上消耗功率为

例2-10 用节点电压法求图2.17所示各支路电流，并求各元件功率且校验功率是否平衡。 例2-10 用节点电压法求图2.17所示各支路电流，并求各元件功率且校验功率是否平衡。 解：选择参考点如左图所示。一条支路中含受控源，因此需列一个补充方程。列出节点电压方程如下 图2.17 例2-10图 补充方程： 联立求解得：

各元件的功率为 受控源功率为 电路总功率为

任务四 叠加原理 2.4.1 叠加原理 2.4.2 应用举例

2.4.1 叠加原理 叠加原理又称叠加定理，可表述为：在线性电路中，如果有多个独立源同时作用，任何一条支路的电流或电压等于各个电源单独作用时对该支路所产生的电流或电压的代数和。 举例： 图2.18 叠加原理应用图解

由上图 (a)可得方程 解方程得 其中 为电压源 单独作用时各支路电流； 为电流源 单独作用时各支路电源。

运用叠加原理时，必须注意以下几点： （1）叠加原理只适合用于线性电路，不适用于非线性电路。 （2）叠加原理只适用于计算电压和电流，不适用于计算功率。 （3）叠加时，必须注意电压和电流的参考方向。 （4）所谓电源单独作用是指当一个电源单独作用时，其他电源置零。其中，理想电压源置零，相当于短路；理想电流源置零，相当于开路。 叠加原理一般不用作解题，主要用来帮助掌握线性电路性质。

2.4.2 应用举例 例2-11 电路图2.19(a)所示，试用叠加原理求电流 。 2.4.2 应用举例 例2-11 电路图2.19(a)所示，试用叠加原理求电流 。 图2.19 例2-11图 解：(1)60V电压源单独工作时，将40V电压源短路，如图(b)所示。

(2)40V电压源单独作用时，将60V电压源短路，如图 (c)所示。 (3)两电源共同作用时，由于方向一致，所以

例2-12 用叠加定理求下图(a)所示电路中的电流 。 图2.20 例2-12图

解：(1)3V电压源单独作用时，将1A的电流源开路，如图 (b)所示。 (2)1A电流源单独作用时，将3V电压源短路，如上图 (c)所示。该电路为一平衡电桥电路，则 (3)两电源同时作用时

解：(1)5V电压源单独作用时，如图2.21 (b)所示。 列节点电压方程，得 例2-13 应用叠加原理求图2.21(a)电路的电压。 解：(1)5V电压源单独作用时，如图2.21 (b)所示。 列节点电压方程，得 联立方程组，求解得： 图2.21 例2-13图

(2)10V电压源单独工作时，如上图(c)所示。 列节点电压方程，得 联立方程组，求解得： (3)两个电源共同作用时，

任务五 等效电源定理 所谓二端网络是指具有两个引出端的部分电路。 二端网络有有源二端网络与无源二端网络之分， 有时只需求解某条支路的电流，这时可以把这条支路以外的电路用等效电源定理进行化简。等效电源定理又称二端网络定理。 所谓二端网络是指具有两个引出端的部分电路。 二端网络有有源二端网络与无源二端网络之分， 其中不含电源的二端网络称为无源二端网络，如图2.22所示的电阻混联电路。无源二端网络可用一个等效电阻代替。 含有电源的二端网络称为有源二端网络，如图2.23所示。有源二端网络可用电源和电阻组合来等效代替。

图2.22 无源二端网络 图2.23 有源二端网络

任务五 等效电源定理 2.5.1 戴维南定理 2.5.2 诺顿定理

2.5.1 戴维南定理 戴维南定理指出： 任何一个线性有源二端网络，就其外部特性而言，总可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效代替。 2.5.1 戴维南定理 戴维南定理指出： 任何一个线性有源二端网络，就其外部特性而言，总可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效代替。 电压源的数值和极性与引出端开路时的开路电压相同； 电阻等于该有源二端网络中所有独立源置零(电压源短路、电流源开路)时从引出端看进去的电阻，又称入端电阻，如图2.24所示。

图2.24 戴维南定理

例2-14 求图2.25(a)所示电路的戴维南等效电路。 解： (1) ab两端开路电压： (2) ab两端入端电阻： (3) 戴维南等效电路如图2.25(b)所示。 图2.25 例2-14图

例2-15 用戴维南定理计算图2.26 (a)所示电路中电流I。 图2.26 例2-15图

选定如上图 (b)所示参考点，用节点电压法求节点①电压： 解： (1)ab两端开路电压　　： 选定如上图 (b)所示参考点，用节点电压法求节点①电压： 则 (2)ab两端入端电阻　(如上图 (c)所示)： (3)画出戴维南等效电路如上图 (d)所示：

例2-16 求图2.27(a)所示电路中的电流I。 图2.27 例2-16图

注意： 求入端电阻时，只能将独立源置零，不能将受控源置零。由于受控源存在，ab两端入端电阻不能利用电阻串并联求得。可采用另外一种方法，即在ab两端施加电压 ，求出入端电流 ，由此得 。如图(c)所示 。

解：(1)ab两端开路电压　 (如图(b)所示)： 将上图(c)所示电路中受控源支路用电压源与电流源等效互换变换成上图(d)所示的形式。 (3)画出戴维南等效电路如图(e)所示，则电流I为

2.5.2 诺顿定理 诺顿定理指出： 任何一个线性有源二端网络，就其外部特性而言，总可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效代替。 2.5.2 诺顿定理 诺顿定理指出： 任何一个线性有源二端网络，就其外部特性而言，总可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效代替。 电流源数值和极性与引出端短路时的短路电流 相同； 电阻等于该有源二端网络中所有独立源置零值时从引入端得到的入端电阻 (如图2.28所示)

例2-17 用诺顿定理重新计算例2-15图（a)所示电路中的电流I。 解：（1）ab两端短路电流 ，如图 2.29(a)所示： 用叠加定理求得： （2）ab两端入端电阻 ，如图2.29(b)所示： （3）画出诺顿等效电路，如图2.29(c)所示：

图2.29 例2-17图

例2-18 用诺顿定理重做例2-16图（a）所示电路。 解：(1) ab两端短路电流 ： 用节点电压法列节点电压方程 求解方程得 则 (2) ab两端入端电阻 ： ab两端的入端电阻还可以用另外一种方法 求解。

(3)画出诺顿等效电路，如图2.30(b)所示。 图2.30 例2-18图

任务六 负载获得最大功率的条件 由于电源内阻存在，因而电源提供的功率一部分被内阻消耗掉，另一部分分配给了负载。负载上获得功率的大小随负载阻值 变化而变化。 那么负载上何时可以获得最大功率？ 内阻 负载 电压源 图2.31 电路

在 和 恒定的条件下，P值大小与负载 有关。当 时，P为最大值。 令 ， 得 当 时，负载可获得最大功率，但此时电能的传输效率只有50%。 在以传输电能为目的的电力线路中，不要求电阻匹配； 在以处理信号为目的的电子线路中，由于传输功率较小，往往要求工作在匹配状态下。

任务七 非线性电阻 2.7.1 非线性电阻元件 2.7.2 非线性电阻电路 的图解分析法

2.7.1 非线性电阻元件 若一个电阻元件的伏安特性不是一条过原点的直线，该电阻便是非线性电阻。 2.7.1 非线性电阻元件 若一个电阻元件的伏安特性不是一条过原点的直线，该电阻便是非线性电阻。 非线性电阻的伏安特性不能用一个电路参数(如线性电阻R)来描述，而必须给出整条伏安特性曲线。根据非线性电阻的伏安特性曲线不同，可以将非线性电阻划分为不同的类型。 1. 电流控制型电阻和电压控制型电阻 电流控制型电阻是指电阻两端的电压是其电流的单值函数。对于每一个电流值，只有一个电压值与之对应；对于每一个电压值，电流值可能是多值的。 电压控制型电阻是指电阻中的电流是两端电压的单值函数。如图2.32所示隧道二极管的伏安特性曲线。

2. 单调型电阻 单调型电阻的伏安特性曲线是单调增长或单调下降的。该类型既是电流控制型，又是电压控制型。如图2.33所示为半导体二极管的伏安特性曲线。 图2.33 半导体二极管的伏安特性曲线 3. 双向型电阻和单向型电阻 电阻的伏安特性曲线对称于原点，称为双向型电阻，如线性电阻、辉光管。大多数非线性电阻是单向型的，即伏安特性曲线不对称于原点，如隧道二极管、半导体二极管。单向型电阻必须明确区分其两个外接端钮，如半导体二极管的正、负极。

图2.32 隧道二极管的伏安特性曲线 图2.33 半导体二极管的伏安特性曲线

2.7.2 非线性电阻电路的图解分析法 非线性电阻的特性很难用数学关系表达式表示出来。 2.7.2 非线性电阻电路的图解分析法 非线性电阻的特性很难用数学关系表达式表示出来。 因此对非线性电阻电路的分析和计算主要是通过图解法来实现的 。

如图2.34(a)所示，只有1个非线性元件，其 曲线如图 (b)所示。如果电路中各参数均已知，要求解i，则可通过图解法完成。 1. 只含有1个非线性电阻元件的电路 如图2.34(a)所示，只有1个非线性元件，其 曲线如图 (b)所示。如果电路中各参数均已知，要求解i，则可通过图解法完成。 图2.34 非线性电阻电路

首先，将非线性电阻元件以外的线性二端网络用戴维南定理进行等效化简，如图2.35所示。其中 然后，写出非线性电阻元件两端电压u和电流i的伏安关系式为 这是一条通过( )、( )的直线。在电子技术中称为负载线。 图2.35 戴维南等效电路

最后，将负载线与非线性电阻元件的伏安特性曲线画于同一坐标中，得到交点Q。Q的坐标(U，I)即为待求解的电压和电流，如图2.34(b)所示。

2. 含有多个非线性电阻元件的电路 (1)串联 图2.36 非线性电阻串联 图2.36(a)所示电路为两个非线性电阻串联，其伏安特性如图(c)中的曲线①与曲线②所示。根据基尔霍夫定律，串联电路中总电压 ，串联电路中各电阻流过同一电流，则串联后总电阻的伏安特性如图(c)曲线③所示。

(2)并联 图2.37 非线性电阻的并联 图2.37(a)所示电路为两个非线性电阻并联，其伏安特性如图(c)中曲线①与曲线②所示。并联后总电压与 、 两端的电压为同一数值，总电流 。等效以后的伏安特性如图(c)中曲线③所示。

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