4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 第4章 电路定理 (Circuit Theorems) 4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 4.2 替代定理 (Substitution Theorem) 4.3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) 4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem) 4.6 对偶原理 (Dual Principle)

重点: 掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。

4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 1. 叠加定理 在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + – 1 2 .定理的证明 用结点法： (G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1

= + + 可表示为： R1 is1 R2 us2 R3 us3 i2 i3 + – R1 is1 R2 R3 R1 R2 us2 R3 +

结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均 同理，支路电流也可表示为： 结论 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均 可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。 3. 几点说明 1. 叠加定理只适用于线性电路。 电压源为零—短路。 2. 一个电源作用，其余电源为零 电流源为零—开路。

= + + is1单独作用 us2单独作用 us3单独作用 R1 is1 R2 us2 R3 us3 i2 i3 + – R1 is1 R2 三个电源共同作用 R1 R2 us2 R3 + – 1 R1 R2 us3 R3 + – 1 + + us2单独作用 us3单独作用

3. 功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。 4. u,i叠加时要注意各分量的参考方向。 5. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。

＋ 4. 叠加定理的应用 例1 解 8 12V 3A + – 6 3 2 － U 求电压U. 12V电源作用： 3A电源作用： 8 画出分电路图

＋ 例2 u (2） u ＋ － 12V 2A 1 3A 3 6 6V 计算电压u。 3A电流源作用： 其余电源作用： ＋ － 12V i (2) 1 3A 3 6 ＋ － u（1） 画出分电路图 ＋ 说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。

＋ 例3 i i (2) u ＋ － 10V 2i 1 2 5A 计算电压u电流i。 10V电源作用： 5A电源作用： 受控源始终保留 画出分电路图

无源 线性 网络 uS i － ＋ iS 例4 解 封装好的电路如图，已知下列实验数据： 研究激励和响应关系的实验方法 根据叠加定理，有： 代入实验数据，得：

齐性原理 例6. RL=2 R1=1  R2=1  us=51V 解 us1 k us1 r k r us2 R k us2 R 线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。 例6. RL=2 R1=1  R2=1  us=51V 求电流 i 。 i R1 R2 RL + – us 3A 21A 8A + – 21V + – 8V i '=1A + – 3V + – 2V + – us'=34V 5A 13A 2A 解 采用倒推法：设i'=1A。 则

4. 2 替代定理 (Substitution Theorem) 1.替代定理 对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的 独立电流源，或用一R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。 ik + – uk R=uk/ik 支 路 k ik + – uk + – uk ik

2. 定理的证明 A ik + – uk 支 路 k A + – uk uk － ＋ A ik + – 支 路 k ＝ 证毕!

例 i3 i2 i1 u 解 i3 i2 i1 60V 5 求图示电路的支路电压和电流。 10 ＋ 110V － 替代 5 替代以后有： 替代后各支路电压和电流完全不变。

1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。 原因 替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。 2.5A 10V 5V 2 5 ＋ － 5V + － ？ 1A ？ 注： 1.5A 1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。 无电压源回路； 2. 替代后电路必须有唯一解 无电流源节点(含广义节点)。

= + 3. 替代定理的应用 例2 解 U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 0.5 + U1 3 1 Rx Ix – U I ＋ － 例2 若要使 试求Rx。 解 用替代： 0.5 1 – + U'' 0.5 1 – + U I 0.5 1 – + U' I = + U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2

例3 解 b a 已知: uab=0, 求电阻R。 用替代： C R 8 3V 4 ＋ － 2 + 20V 3 IR 1A I 用结点法： I1

例4 解 已知: uab=0, 求电阻R。 a b 0.5A 20 4 25 ＋ 1A 20 R 10 42V 40 － 用断路替代，得： d c 短路替代：

(Thevenin-Norton Theorem) 4.3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。

1. 戴维宁定理 i a b Req Uoc + - u A a b i u 任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。 i a b Req Uoc + - u A a b i u

例 10 + – 20V UoC a b 10V I (1) 求开路电压Uoc Uoc a b + – Req 5 15V -

+ 2.定理的证明 a b A i + – u a b A i + – u N' a b P i + – u'' a b A + – u' 替代 A中独立源置零 a b P i + – u'' a b A + – u' 叠加 Req + i Uoc + – u N' a b Req 则

3.定理的应用 (1) 开路电压Uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 算。 （2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：

iSC 1 2 a b P i + – u a b P i + – u Uoc a b + – Req 3 2 3 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y 互换的方法计算等效电阻； 1 外加电源法（加压求流或加流求压）。 2 a b P i + – u Req a b P i + – u Req iSC Uoc a b + – Req 开路电压，短路电流法。 3 2 3 方法更有一般性。

例1. 注： 解 (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。 (2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。 例1. 计算Rx分别为1.2、 5.2时的I； I Rx a b + – 10V 4 6 解 保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：

Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = -4+6=2V Req=4//6+6//4=4.8 _ (1) 求开路电压 a b + – 10V 4 6 U2 U1 I Rx Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = -4+6=2V (2) 求等效电阻Req Req=4//6+6//4=4.8 I a b Uoc + – Rx Req (3) Rx =1.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A Rx =5.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A

例2. 解 I=9/9=1A Uoc=6I+3I Uoc=9V 求U0 。 (1) 求开路电压Uoc 3 6 I + – 9V U0 a b 6I I=9/9=1A + – Uoc Uoc=6I+3I Uoc=9V Uoc a b + – Req 3 U0 - (2) 求等效电阻Req 方法1：加压求流

U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9  (2/3)I0=6I0 Req = U0 /I0=6  3 6 I + – U0 a b 6I I0 U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9  (2/3)I0=6I0 独立源置零 Req = U0 /I0=6  (Uoc=9V) 方法2：开路电压、短路电流 I=0 3 6 I + – 9V Isc a b 6I I1 I=-6I/3=-2I 6 I1 +3I=9 Isc=I1=9/6=1.5A Req = Uoc / Isc =9/1.5=6  独立源保留

例3. 解 a b Uoc + – Req 3 U0 - 6 9V (3) 等效电路 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。 100 50 + – 40V RL a b 50V I1 4I1 5 例3. 求负载RL上的电流。 解 (1) 求开路电压Uoc

Isc 100 50 + – 40V a b I1 4I1 Uoc 100 50 + – 40V a b I1 200I1 Uoc (2) 求等效电阻Req 用开路电压、短路电流法

IL A V 1 3 2 ＋ － 例4. 1 A ＝2A 2 V ＝4V 解 a b Uoc + – Req 5 25 10V ＋ － 线性 含源 网络 A V 5 U + － S 1 3 2 1A ＋ － 4V 例4. 1 A ＝2A 已知开关S 2 V ＝4V 求开关S打向3，电压U等于多少 解

4. 诺顿定理 任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。 a b Geq(Req) Isc A a b 诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。

I =2.83A 例1 Req =10//2=1.67  解 I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A 12V 2 10 + – 24V a b 4 I Req 2 10 a b Isc I1 I2 Req =10//2=1.67  (3) 诺顿等效电路: 解 (1) 求短路电流Isc 应用分流公式 4 I a b 9.6A 1.67 I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A I =2.83A

例2 解 ＋ － 求电压U。 3 6 + – 24V a b 1A U 本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。 Req Isc (1) 求短路电流Isc (2) 求等效电阻Req Isc a b 1A 4 ＋ － U (3) 诺顿等效电路:

最大功率传输定理 i Uoc + – u Req RL A i + – u 负载 应用戴维宁定理 一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。 i Uoc + – u Req RL A i + – u 负载 应用戴维宁定理

RL P P max 对P求导： 最大功率匹配条件

RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。 例 RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。 (1) 求开路电压Uoc 20 + – 20V a b 2A UR RL 10 I1 I2 ＋ － Uoc 20 + – I a b UR 10 U I2 I1 (2) 求等效电阻Req

时其上可获得最大功率 注 (3) 由最大功率传输定理得: 最大功率传输定理用于一端口电路给定, 负载电阻可调的情况; 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大 功率时,电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.

4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) 1. 特勒根定理1 功率守恒 4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) 1. 特勒根定理1 任何时刻，对于一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 功率守恒 表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。 定理证明：

4 6 5 1 2 3 1 2 3 应用KCL: 支路电压用结点电压表示

1. 特勒根定理2 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 4 6 5 1 2 3 4 6 5 1 2 3 拟功率定理

定理证明： 1 2 3 4 6 5 1 2 3 对电路2应用KCL: 4 6 5 1 2 3

例1 解 I1 I2 R1 (1) R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V 无源 电阻 网络 P + + + Us – – – 求此时的U2 。 解 把（1）、（2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2 由(1)得：I1=2A, U1=4V, U2=2V, I2=U2/R2=1A

P – + 2 P – + U1 U2 I2 I1 例2. 已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A 解

应用特勒根定理需注意： （1）电路中的支路电压必须满足KVL; （2）电路中的支路电流必须满足KCL; （3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号） （4）定理的正确性与元件的特征全然无关。

4. 5 互易定理 (Reciprocity Theorem) 互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。 1. 互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。

情况1 c d i1 + – uS2 a b (b) i2 + – uS1 a b c d (a) 激励 电压源 电流 响应 线性电阻网络 NR i1 + – uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR + – uS1 a b c d (a) 则两个支路中电压电流有如下关系： 当 uS1 = uS2 时，i2 = i1

证明: 由特勒根定理： 即： 两式相减，得

c d i1 + – uS2 a b (b) i2 + – uS1 a b c d (a) 将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即: 即： 证毕！ c d 线性电阻网络 NR i1 + – uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR + – uS1 a b c d (a)

情况2 c d u1 + – iS2 a b (b) u2 + – iS1 a b c d (a) 激励 电流源 电压 响应 线性电阻网络 NR u1 + – iS2 a b (b) u2 线性电阻网络 NR + – iS1 a b c d (a) 则两个支路中电压电流有如下关系： 当 iS1 = iS2 时，u2 = u1

情况3 c d u1 + – uS2 a b (b) i2 iS1 a b c d (a) 激励 电流源 电压源 图b 图a 电流 响应 线性电阻网络 NR u1 + – uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR iS1 a b c d (a) 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系： 当 iS1 = uS2 时，i2 = u1

应用互易定理分析电路时应注意： c d i1 + – uS2 a b (b) i2 + – uS1 a b c d (a) (1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移； (2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都 关联，要么都非关联)； (3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下， 两个支路电压电流关系。 (4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。 c d 线性电阻网络 NR i1 + – uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR + – uS1 a b c d (a)

例1 ＋ － － 解 求(a)图电流I ，(b)图电压U。 6A 1 6 I + – 12V 2 (a) 4 (b) 1 2 利用互易定理

例2 解 I1 = I'2/(4+2)=2/3A I2 = I'2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A 2 1 4 + – 8V I a b c d 利用互易定理 解 2 1 4 + – 8V I a b c d I1 I2 I' I1 = I'2/(4+2)=2/3A I2 = I'2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A

4.6 对偶定理 (Dual Principle) 一、网络对偶的概念 1. 平面网络； 4.6 对偶定理 (Dual Principle) 一、网络对偶的概念 1. 平面网络； 3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素 称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。 2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）； 例1 R2 + – us il R1 G1 G2 un is 网孔电流方程： (R1 + R2)il = us 节点电压方程： (G1 + G2 )un = is

(R1 + R2)il = us (G1 + G2 )un = is R2 + – us il R1 G1 G2 un is 对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。 电阻 R 电压源 us 网孔电流 il KVL 串联 网孔 电导 G 电流源 is 节点电压 un KCL 并联 节点

二、对偶原理 两个对偶电路N，N，如果对电路N有命题 （或陈述）S成立，则将S中所有元素分别以其对应的对偶 元素替换，所得命题（或陈述）S对电路N成立。 对偶关系 基本定律 U=RI I=GU U=0 I=0 分析方法 网孔法 节点法 对偶结构 串联 并联 网孔 节点  Y 对偶状态 开路 短路 对偶元件 R G L C 对偶结论 开路电流为零，短路电压为零； 理想电压源不能短路， 理想电流源不能开路； 戴维南定理，诺顿定理；

图示线性电路，当A支路中的电阻R＝0时，测得B支路电压U=U1,当R＝时，U＝U2,已知ab端口的等效电阻为RA，求R为任意值时的电压U。 定理的综合应用 例1 图示线性电路，当A支路中的电阻R＝0时，测得B支路电压U=U1,当R＝时，U＝U2,已知ab端口的等效电阻为RA，求R为任意值时的电压U。 线性 有源 网络 U – + R RA a b A B

解 线性 有源 网络 I 解得： （1）应用戴维宁定理： （2）应用替代定理： U – + R RA a b A B R a b I + – Uoc RA I （3）应用叠加定理： 解得：

例2 图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 N US i2 i1 b a + - (a) N US i’1 b a + - (b) 对图(c)应用戴维宁定理 Uoc i=0 b a + - R N US i”1 b a + - (c)

- - - + N + N + N US i2 i1 b a 应用互易定理 i”2 b a US 再应用叠加定理 US i”1 b a (c)

课后作业： P107：2，7， 9，12，16，18，20，24

叠加原理 superposition theorem 齐性原理 homogeneity property 输入/激励 input / excitation 输出/响应 output / response 线性电路 linear circuit 代数和 algebraic sum 替代定理 substitution theorem 戴维南定理 Thevenin’s theorem 诺顿定理 Norton’s theorem 二端网络 two-terminal circuit 开路电压 open-circuit voltage 短路电流 short-circuit current 特勒根定理 Tellegen’s theorem 功率平衡定理 power-balancing theorem 互易定理 reciprocal theorem 对偶原理 principle of duality 对偶元件 dual element 对偶图 dual graph 对偶电路 dual circuit