第 4 章 一阶动态电路分析 实训4 简易电子门铃的制作与电路测试 4.1RC放电电路 4.2RC充电电路 4.3 微分电路与积分电路 实训4 简易电子门铃的制作与电路测试 4.1RC放电电路 4.2RC充电电路 4.3 微分电路与积分电路 4.4 一阶动态电路及其分析方法 习题与思考题4

实训 4 简易电子门铃的制作与电路测试 1． 实训目的 （1） 熟悉电子电路的连接方法；  （2） 基本掌握示波器的使用方法；  实训 4 简易电子门铃的制作与电路测试 1． 实训目的 （1） 熟悉电子电路的连接方法；  （2） 基本掌握示波器的使用方法；  （3） 认识RC动态电路的主要特点；  （4） 了解555集成电路的基本功能。 

2． 实训设备、 器件与实训电路 （1） 实训设备与器件：直流稳压电源一台，双通道示波器一台，万能板一块，8Ω扬声器一个，按键一个，电阻、电容、 导线若干。 （2） 实训电路与说明： 实训电路如图4 - 1所示。 图中555为集成定时器电路。555定时器具有如下特点： 当它按图4 - 1的方式将2、6脚连到一起时，如果连接点的电位高于电源电压的2/3，则3脚的输出电压等于0V，7脚对地短路，如果连接点的电位低于电源电压的1/3时， 则3脚的输出电压等于电源电压，7脚对地开路。 

图4-1 实训4电路图

3． 实训步骤与要求 1） 连接电路按图在万能板上将电路连接好，注意，IC的引脚及电容C1、C3的极性不要接错。  2） 通电试听 接通电源（5V），按下按键S，此时，可以听到扬声器发出的单一频率的声音。松开按键，声音停止。

3） 测试输出波形 打开示波器， 用通道1输入探头的“地”与电路的“地”相连， 中心头接至扬声器的上端。 注意，如果你事先不会使用示波器， 请仔细阅读示波器的说明书直至能正确使用为止。 如果操作正确，当按下按键喇叭发声时，我们可以在荧光屏上看到如图4 - 2（a）所示的脉冲波形。要求用示波器读出输出波形的周期T及脉冲的宽度T1，并记录在实训报告上（为减少声音干扰，可以将扬声器从电路中断开）。

4） 测试555第2、 6脚的波形 用示波器通道2输入探头的中心头接555第2、 6脚， “地”与“地”相接。 按下按键，此时，我们可以观测到如图4 - 2（b）所示的锯齿状波形。如将示波器的输入状态设置为直流，我们可以读出其幅度最小值约为电源电压的1/3， 其最大值约为电源电压的2/3。  在荧光屏上比较通道1与通道2的波形我们可以发现，锯齿波的最小值与输出波形从低电平向高电平过渡对应，锯齿波的最大值与输出波形从高电平向低电平过渡对应。

图4-2 电路中对应点的波形

5）试验电容C1对输出信号周期的影响 将电容器C1由10 μF替换为20μF，再次测试步骤3）与4）中测试到的波形，并记录周期T与脉冲宽度T1。在这一步骤中我们可以发现，波形的形状基本没有改变，但波形的周期与脉冲宽度却变大了。 6） 试验电阻R1对输出信号周期的影响 在步骤5）的基础上，将电阻R1由10kΩ替换为20kΩ，再次测试上面两处的波形，同时记录T与T1。可以发现，T与T1又变大了。 

4． 实训总结与分析 1） 音频信号产生的原理 从上面的实训中，我们在扬声器测得如图4 - 2（a）所示的输出波形，它的频率恰落在音频范围内，因此可以推动扬声器发出声音。我们知道，电路中并没有音频信号源，显然， 加至扬声器的音频信号是电路自己产生的。音频信号产生的过程，涉及到电路的过渡过程，我们可以按如下过程来定性地理解电路的工作原理。

（1） 从接通电源到C1两端电压升高至2E/3。 接通电源后的瞬间，由于电容C1内部原先没有储存电荷，由物理学知识我们知道，其两端电压为0。根据555的性质，其3脚电压等于电源电压，7脚对地开路。这以后，电源E要通过电阻R1与R2对电容C1充电，使C1两端电压升高。当C1两端电压高于2E/3时，根据555的性质，其输出电压立即跳变至0V，7脚对地短路。由于7脚对地短路，电源E无法再通过R2对C1充电，C1两端电压不可能再升高。这一段时间，与图4 -2中0~t1时间段对应，从（b）图中，我们可以看到在充电过程中， 电容器两端电压逐渐升高的情况。

（2） 电容C1两端电压从2E/3降到E/3。C1两端电压升至E/3后无法再升高，同时也无法维持这一电压值。由于R2上端通过555第7脚接地，C1要通过R2对地放电，电流从C1流出，其两端电压随着放电过程慢慢降低。当C1两端电压降至E/3时， 555输出电压立即从0 V跳变至E，7脚对地开路。由于7脚开路， 电容C1不可能再通过R2对地放电， C1两端电压不可能再降低。 这一过程，与图4 - 2中t1~t2时间段相对应，从（b）图中，我们可以看到在放电过程中，电容器两端电压逐渐降低的情况。

（3） 充电放电的不断循环。 显然，电路跳变后，电源E又要通过R1与R2对C1充电，完成t2~t3的过程，引起电路又一次跳变。然后，C1又通过R2放电， 如此循环往复，形成了输出波形如图4 - 2（a）的振荡。如果图4 - 2（a）波形的频率为f， 则它可以分解成许多频率为nf（n=0, 1, 2, …）的正弦电压，nf称为f的谐波，所以，我们把这种振荡器称为多谐振荡器。

2） 决定振荡周期的因素 在实训步骤5）与6）中， 改变C1或R1的值，输出波形的周期发生了变化。显然，振荡周期与它们有关。从图4 - 2（b）中我们可以看出，振荡周期T等于电容充电时间T1与放电时间之和。我们还可以看出，充电时间明显大于放电时间。这是因为，充电电流同时流过了R1与R2，而放电电流只流过了R2。可以证明，在电容充放电电路中，电流流经的电容与电阻的乘积越大，其充放电的时间就越长。

4.1 RC 放 电 电 路 4.1.1 RC放电电路实验 电路的稳定状态可简称为稳态，电路的过渡过程可简称为暂态。通过实训4，我们对电容器的充放电过程有了定性的认识，在此基础上，我们来进一步讨论RC电路的放电过程。为使我们的认识更加清晰，我们先做个实验。在这个实验中，要用到慢扫描示波器，由于这种示波器荧光屏的余辉时间特别长，可以将缓慢变化的电压或电流波形在屏幕上显示出来。

实验电路如图4- 3所示。 图4-3 RC放电电路

实验按如下步骤进行。  （1） 将电路连接好。示波器的输入探头接在电容器两端。 打开稳压电源，调节输出电压至1V。t=0 时将开关S由位置1打到位置2，仔细观测电容器两端电压的变化情况。（如果没有慢扫描示波器，可以用机械万用表代替示波器观测电容两端的电压， 以下同）。在这一过程中，我们可以从示波器中看到如图4 - 4（a）的波形。一般将之称为电容器的放电曲线。其形状与实训4中我们看到的在t1~t2时间电容器两端的波形类似。 （2） 将稳压电源电压调至2V，重复步骤（1）过程。此时我们可以看到电容器两端的波形与图4 - 4（a）中的电容放电曲线形状相似，但起始点提高。如图4 - 4（b）所示。 

图4-4 电容放电曲线

（3） 分别用一个10μF与33μF的电容代替原来的电容，重复步骤（1）的过程，在这一过程中我们可以看到电容器两端波形发生变化，电容值为10μF时放电曲线变陡，即放电速度加快；而电容值为33μF时，放电曲线变缓，放电速度放慢。如图4 - 4（c）中所示。  （4） 分别用一个51kΩ与150 kΩ的电阻代替原来的电阻，此时可见电容放电曲线变化情况与电容值改变时类似，即电阻值变小时曲线变陡，放电速度变快；而电阻值变大时曲线变缓，放电速度变慢。 见图4 - 4（d）。                                 

从上述实验中可见：在RC放电过程中， 电容电压从某一电压值， 即某一稳态值开始逐渐衰减，最后变为零， 达到另一稳态值。 两个稳态值中间的变化过程就是电路的过渡过程，当改变电容电压的初始值、电容值及电阻值时，电容的放电情况会发生改变。在分析RC放电过程时，我们要从理论上解决上面实验中反映的如下问题：  （1） 电容电压是从何值开始衰减？ （2） 是什么原因引起电容电压的变化？ （3） 电容电压按照什么规律衰减？ （4） 衰减的速度由哪些因素决定？其定量关系如何？ （5） 放电的最终结果为什么为零？

1． RC放电电路中电容电压必须连续变化的原因 在图4 - 3的电路中，当S闭合一段时间后，电容器已被充满电荷，即已经储存有电场能 ，UC等于电源电压。此时若开关不断开，就没有电流流过电容，流过电阻R1的电流为零，电路处于稳定状态。当t=0时S从1端合到2端， 电源被断开，由电容C与电阻R构成回路，电阻R两端电压与电容C两端电压相同，因此，储存在电容中的电荷要通过R释放。在dt时间内，释放的电荷dq=idt， 。随着电容电荷的减少，电容电压从原有的稳态值开始下降，放电电流i也下降。由于同样时间内释放的电荷减少，电压降低的速率也减少。因此，电荷的完全释放必须经过一段时间，电容两端的电压降至为0也要经过一段时间，显然，电容两端电压的变化必定是连续的。

我们也可以从能量的变化来阐述电压连续变化的原因。因为电容上储存有电场能量，而能量是不能发生跃变的(能量的跃变需要无穷大的功率作支撑)，这在实际中是不可能的。能量只能逐渐被回路中的电阻消耗掉， 这是一个过渡过程， 这是电路中产生暂态的根本原因。而与能量对应的电容电压也随之产生一个过渡过程。在电感中也存在有类似的过程。当有电流流过电感时，在电感元件中储存有磁场能， 。 当换路时，电感中储存的磁场能不能跃变，反映在电路中是电感元件的电流iL不能跃变。 电容两端电压不能突变，流过电感的电流不能突变，是分析过渡过程的重要定则。

2． RC电路产生过渡过程的起因 上述电路中产生暂态的起因，是电路中的开关动作。实际上， 只要电路条件发生突然变更，诸如开关动作、电路故障、电路参数变化及改变电源等，都会引起电路发生过渡过程。因此我们把产生过渡过程的起因称为换路, 把出现暂态过程的瞬间称为初始瞬间，此刻电路的状态就是初始状态，例如电容电压的初始状态为uC（0），电感电流的初始状态为iL（0），从电路方程来看，这就是初始条件。                                  

3．换路定则 设t=0为换路瞬间，以t=0 表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。0 和0+在数值上都等于0，但是前者是指从负值趋近于零，后者是指从正值趋近于零。从t=0 到t=0+瞬间，电容元件上的电压不能跃变，而电感元件中的电流不能跃变， 这称为换路定则，用公式表示如下：                                   （4.1） (4.2)

4． 动态电路初始状态的确定 换路定则仅适用于换路瞬间，可根据它来确定t=0+时电路中电容元件电压和电感元件电流之值，即瞬态过程的初始值。 确定各个电压和电流的初始值时，先由t=0-时的电路求出iL（0-）或uC(0-)， 由换路定则可求得的iL（0+）或 u(0+)，而后由t=0+的电路，根据已经求得的iL（0+）或 u(0+)求电路中其他电压和电流的初始值。 

例 4.1 确定图4 - 5(a)所示电路中电流和电压的初始值。设开关闭合前线圈和电容器均未储能。                                   图4-5 例4.1图

由于uC（0+）=0和iL（0+）=0，故可在 t=0+的电路中将电容元件短路，将电感元件开路，如图（b）所示。于是得出各个初始值：                                 

例 4.2 图4 - 6(a)电路原处于稳态，t=0时开关闭合。求 uC（0+）、iC（0+）和u（0+）。 图４－６　例4.2图 解 由t=0_ 的电路得知，电感元件短路，电容元件开路，所以t=0_时有

由换路定则可得 由t=0+的电路图(b)可知 用节点法求u（0+），即 因此

5． RC动态电路的暂态过程的规律 在图4 - 3所示实验电路中，当开关S闭合时，电路处于充电状态，且已达到稳定状态，设t=0瞬间将开关断开，电路由电阻及电容构成放电回路，根据基尔霍夫定律，电路电压方程为 uR+uC=0 电容上电压与电流的关系为 （4.3） 电阻上电压与电流的关系为 代入式（4.3）有 (4.4)

此方程为一阶常系数齐次微分方程，其通解为uC=Kept，代入方程得其特征方程为RCp+1=0，解得其特征根为p=-1/(RC)， 于是有 (4.5) 下面要确定积分常数K。根据换路定则，t=0+时，uC(0+)=U0, 则K=U0， 所以 (4.6) 电容中流过的电流为 (4.7)

式（4.5）和式（4.6）按照指数规律随时间变化，并且，当t＞0时，uC和iC均趋于零，曲线如图4 - 7所示。 图４-7 随时间变化曲线

令t=0，则uC（0）=U0e0=U0；再令t=τ，则 6．暂态过程衰减的时间 令t=0，则uC（0）=U0e0=U0；再令t=τ，则 uC(τ)=U0e-τ/τ=U0e-1=0.368U0，这就是说经过时间τ=RC之后， 电压下降到初始值的36.8%。同样可以算出当t=2τ, 3τ, …时的电压值，将计算结果列入表4-1中。 表4-1 不同时刻uc的值 t … uC(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0 0.007U0

由此可见, 从理论上讲需要经历无限长时间，暂态过程才能结束，但实际上只要经过3τ~5τ的时间，电压（电流）已衰减到可忽略不计的程度，此时可以认为暂态过程已经结束。这也说明了时间常数越大，暂态过程持续的时间就越长。图4 - 8画出了 3 条不同时间常数的电压曲线。 图4-8 电容放电曲线

因为时间常数τ=RC，所以时间常数τ只与电路参数有关， 而与电路的初始状态无关。R、C的值越大，时间常数越大，放电时间越长。这可从物理概念来解释：在一定初始电压之下，电阻R越大，放电电流就越小，也就是电荷释放过程进行得越缓慢；而电容C越大，在同样初始电压U0之下，电容器原先所储存的电荷q(0)=CU0就越多，因此放电的时间也就要长一些。  目前，我们研究的电路中只含有一个储能元件，描述这类电路的方程，是一阶微分方程，所以称为一阶电路。

例 4. 3 图4 - 9中，电路原处于稳态。t=0时，开关由1打到2，经过2ms时间，电容电压达到初始值的36 图4-9 例4.3图

解 因为t＜0时，电路处于稳态，所以uC（0 ）=1×6=6V。 在t=0时开关由1打到2， 由换路定则有 由题意可知t=2ms时， 

上式两边同时除以6， 再两边同时取对数 所以 此时电容中储存的电荷为

4.2 RC 充 电 电 路 4.2.1 RC充电电路实验 RC充电实验电路如图4 - 10所示。 图4-10 RC充电电路

在该实验中电容器事先未被充电， 开关合上后电源通过电阻为电容充电。实验步骤如下：  （1）按照电路接线。将示波器输入探头接在电容上。打开直流稳压电源，将电压调到1V合上开关，用慢扫描示波器观察电容电压的波形。由示波器可见电容电压波形如图4 – 11(a）所示，这就是电容器的充电曲线，该曲线从零开始，经过一段时间后达到一个稳定值，即电源电压。 

图4-11 电容充电曲线

（2）将电源电压调到2V，重复步骤（1）。由示波器观察电容电压波形，发现其波形与图4 - 11（a）的充电波形形状基本相同，但是充电结束后的电压值增加。波形如图4 - 11（b）所示。  （3） 分别用0.01μF与0.03μF的电容代替原来的电容，重复步骤（1）。此时我们可以发现对应电容值越小，充电完成越快，反之电容越大充电越慢。改变电容值对应的曲线如图4-11（c）所示。  （4） 分别用5.1kΩ与15 kΩ电阻代替原来的电阻，重复步骤（1），可得图4 - 11（d）所示的电容电压波形。由波形可见，电阻的大小同样影响了电容充电的快慢，电阻越小，充电越快；反之，电阻越大充电越慢。 

4.2.2 实验结果总结 1. RC充电的物理过程 在RC充电过程中，电容电压在开关闭合之前为零，即 uC（0 ）=0。当t=0时，开关K闭合，电路与直流电源接通形成回路，于是电源开始向电容充电。在t=0+瞬间，由于 uC（0+） = uC（0 ）=0，电容上还来不及累积电荷，所以此时可以认为电容处于短路，而此时电源电压全部加在电阻上，使电路中的充电电流最大，为iC（0+）=Us/R。以后随着时间的延续，电容上开始逐步积累电荷，电容电压uC =q/C逐步上升，电阻上电压uR=Us－uC逐步减小，所以电路中的电流 iC=（Us-uC ）/R也逐步减小。当电容上电荷积累到最大值时， uC = Us，达到最大，充电电流iC=0，这时充电过程结束，电路达到稳态。

这一充电过程的速率仍然决定于电路的时间常数τ=RC。 R越大，充电电流越小，则充电时间越长；而C越大，电容器储存的电荷越多，充电过程越长。  充电结束后电路达到新的稳态，此时充电电流为零，电容相当于开路。 充电过程的实质，就是将电源提供的能量逐渐以电场能的形式储存于电容器中。 

2. RC电路充电过程的定量分析 首先根据基尔霍夫电压定律列出图4 - 10所示电路t≥0 时的电压方程: (4.8) (4.9)

式（4.9）是一阶线性常系数非齐次方程，电路的初始条件为uC（0）=0。常系数非齐次微分方程的通解，是由两部分组成的。 一个是它的特解u/C(t)， 一个是补函数，即非齐次微分方程令其右端项为零时所对应的齐次微分方程的通解u”C(t)。 所以 (4.10)

1） 求非齐次方程的特解 因为特解与激励有相同的形式，所以，设特解为u‘C（t）=A， 代入式（4.10），有 式中，第一项是常数取导数为零， 故得 （4.11） 即 （4.12）

因此，特解等于电源电动势。它是电路在电源作用下达到稳态时电容电压的稳态值，称为稳态分量。又因为此解是在外加电源强制作用下得出的，它随时间变化的规律与电源的形式相同， 故又称为强制分量

（4.13） (4.14) (4.15) (4.16) 2） 求补函数 令式(4.9)中Us为零，即得齐次微分方程： 此方程与式（4.4）完全相同，其解也应与（4.5）式相同，即 (4.14) 式中p是特解方程RCp+1=0的根， 即 (4.15) 因此， 补函数为 (4.16)

由上面这一解答可以看出， t→∞，u″C(t) →0，即补函数只存在于暂态过程中，所以称为暂态分量。它的变化规律与电源电压的变化规律无关， 只按指数规律衰减，故又称为自由分量。但这一分量的起始值与电源电压有关，衰减的快慢与电路参数及结构有关。 

3） 求常系数非齐次微分方程的解 充电过程中电容电压的全解，即常系数非齐次微分方程的通解，等于强制分量u’C(t)和自由分量u”C(t)之和，即 （4.17） 式中积分常数K可根据已知初始条件来确定。现在已假设初始状态为零状态，故t=0时有 (4.18)

3） 求常系数非齐次微分方程的解 充电过程中电容电压的全解，即常系数非齐次微分方程的通解，等于强制分量 和自由分量 之和，即 (4.17) 式中积分常数K可根据已知初始条件来确定。现在已假设初始状态为零状态，故t=0时有 于是解出K=-Us，代入（4.17）式有 (4.18)

电路中电流为 (4.19) 电阻上的电压为 (4.20) 图4 - 12（b）中给出的就是充电电路中各电压和电流随时间变动的曲线。 

图4-12 RC充电曲线

由图可见，当t=0+时，uC（0+）=0，故在初始瞬间电容器相当于短路，输入电压全部加在电阻R上，电流从零突变为i（0+）=Us/R。随着时间的推移，由于电容器不断充电，电容电压逐渐上升，而电流逐渐减小。当t=∞时，电容电压uC（∞）=Us，输入电压全部加在电容器上，而电阻电压变为零，电路中的电流i（∞）=0，充电停止。此时电容器相当于开路，于是电容电压不再变化，电路达到新的稳态。

显然， 在同一个电路中，uC、uR 和i在充电过程都是按同一时间常数τ的指数规律变化的。RC充电电路的时间常数τ=RC的大小决定了充电过程的快慢。一般认为t=(3~5）τ， 电容充电过程结束，电路达到稳态，这时电容电压的稳态值为Us。所以，在实验中我们通过改变电路参数，来改变充电的快慢。 

例 4.4 如图4 - 13所示电路中，电源电压Us=12V，电容C=28μF，电阻R=20kΩ。 当t=0 时, 开关S闭合，问电容电压从0V上升到10V需要多少时间？此时电容储存的能量是多少？ 图4-13 例4.4图

解 此电路为初始状态为零的RC充电电路，电容电压的表达式 其中 设t=t1时，有uC（t1）=10V， 所以

两边同时除以Us 两边同时取对数 代入数值解得 此时电容储存的能量是

4.3 微分电路与积分电路 4.3.1 微分电路与积分电路实验 1. 实验电路 微分电路如图4-14所示，积分电路如图4 - 15所示。矩形脉冲的幅值为Um=4V，脉冲频率为f=200Hz。 

积分电路 微分电路

2. 实验步骤 （1） 把示波器一组输入探头接到信号源的输出上，打开信号源，将信号源调为方波输出，用示波器观察信号源的输出波形，并将信号调为幅值为Um=4V，频率为f=200Hz的方波，方波如图4 - 16（a）所示。其中tp称为脉冲宽度。

图4-16 微分电路的输入输出波形

（2） 若图4-14中的电阻为500kΩ，电容为0.03μF，将调好的方波信号加到图4-14所示微分电路的输入端，用示波器的另一组输入探头观察电阻上的波形，可见电阻上的波形与方波信号几乎相同，如图4-16（b）所示。改变电路参数，使电阻为10kΩ，电容为0.03μF，再用示波器观察电阻电压波形， 我们可以见到一系列的尖脉冲，如图4 - 16（c）所示。由此可见同一个电路， 当参数不同时，输出的波形大不一样，两种情况在实际电路中都有广泛的应用。

（3） 积分电路中电阻为500kΩ，电容为0.03μF；方波源的幅度与频率不变，加到积分电路的输入端，用示波器观察电容电压的波形如图4-17所示。由波形可见，积分后的输出电压波形为锯齿波，而且其幅度被大大减低。 图4-17 积分电路的输入输出波形

4.3.2 实验结果的分析与计算 1． 微分电路实验结果分析 4.3.2 实验结果的分析与计算 1． 微分电路实验结果分析 在微分电路实验中，当脉冲宽度不变，而取不同的参数时， 输出电压波形有很大差别。这是因为当τ=RC>>tp时，电容还来不及充上很多电荷，方波脉冲已经结束，在整个脉冲宽度中方波电压几乎全部加在电阻上，所以电阻电压与方波信号近似相等。此时电路是一般的阻容耦合电路。当时间常数与脉冲宽度之比τ/tp逐渐变小，使得τ=RC<<tp时，电容上很快充上电荷， 即电容电压很快达到方波幅值，而电阻电压则从零跃变到方波幅值，然后迅速衰减到零，形成尖脉冲。

若外加信号是一系列方波，则电阻电压就是一系列正负尖脉冲，如图4- 16（c）所示。这种输出正负尖脉冲反映了输入矩形脉冲的跃变部分，是对矩形脉冲微分的结果。因此这种电路称为微分电路。构成微分电路应具备如下条件：① 从电阻端取得输出信号；② 电路参数满足τ<<tp。

2．微分电路的计算 例 4.5 在图4 - 14电路中，R=20kΩ, C=100pF。输入信号电压u1是单个矩形脉冲，如图4 - 18（a）所示，其幅值U=6V，脉冲宽度tp =50 μs。试分析和作出电压u2的波形。设电容元件原先未储能。 

图4-18 例4.5图

解 τ=RC=20×103×100×10-12=2×10-6=2μs，是输入电压脉冲宽度的1/25，所以τ<<tp。  在t=0时，u1从零突然上升到6V，即u1=U=6V，开始对电容元件充电。由于电容元件两端电压不能跃变，在这瞬间它相当于短路（uC =0），所以此时电压全部加在电阻上, u2 =U=6V。因为τ<<tp，相对于tp而言，充电很快完成，uC很快增长到U值；与此同时，u2很快衰减到零值。这样，在电阻两端就输出一个正尖脉冲，如图4-18（b）所示。u2的表达式为 (4.21)

在t=t1时，u1突然下降到零（这时输入端不是开路，而是短路）。由于uC不能跃变，所以在这瞬间u2 = -uC = -U = -6V， 极性与前相反。而后电容元件经电阻很快放电，很快衰减到零， 电阻上电压同样也很快衰减到零。这样，电阻上就输出一个负尖脉冲， 如图4-18（b）所示。u2 的表达式为 比较上例中u1和u2的波形，可见：在u1的上升跃变部分（从零跃变到6 V），u2 =U=6V，此时正值最大；在u1的平直部分，u2≈0；在u1的下降跃变部分（从6V跃变到零），u2= -U = -6V，此时负值最大。所以输出电压u2与输入电压u1近似成微分关系。 

如果输入的是周期性矩形脉冲，则输出的是周期性正负尖脉冲，如图4 - 16（c）所示。  上述的微分关系也可以从下面的数学推导看出。  由于τ<<tp，充放电很快，除了电容器刚开始充电或放电的一段时间之外，u1 =uC +u2 ≈Uc>>u2， 因而 (4.22) 上式表明， 输出电压u2近似地与输入电压u1对时间的微分成正比。 

3． 积分电路实验结果的分析与计算 积分电路的条件与微分电路的条件相反。 积分电路的条件为： 输出信号从电容端获得；电路参数满足τ>>tp。  由图4 - 17波形可见，由于积分电路有τ>>tp，所以电容器充电缓慢，电容上的电压在整个脉冲持续时间内缓慢增长， 当还未增长到稳定值时，脉冲已告终止。以后电容器慢慢放电，电容器上的电压也缓慢衰减。还未衰减到零时，下一个方波脉冲又到来，电容再充电，电容电压再增长……，电容充放电的过程周而复始， 就形成了图4 - 17所示的一系列锯齿波。由实验可见，时间常数τ越大，充放电越缓慢，所得锯齿波电压的线性也就越好。这也就是输出电压u2对输入电压u1积分的结果，如图4 - 17所示。

从数学上看，由于τ>>tp，充放电很缓慢，故uC增长和衰减得很缓慢。充电时u2=uC<<uR ，因此 或 所以输出电压为 (4.23) 输出电压u2与输入电压u1近似成积分关系。因此这种电路称为积分电路。 

4.4 一阶动态电路及其分析方法 电路中只要含有一个储能元件，即含有一个独立电容元件或含有一个独立电感元件，则其所列方程即是一阶常系数方程， 因此可用一阶微分方程描述的电路就叫做一阶动态电路。 前面我们讨论了一阶动态电路的零输入响应和零状态响应。 现在我们以RC电路为例来研究一阶动态电路的全响应。

4.4.1 RC电路的全响应 所谓RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态均不为零时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。  求解全响应的问题和求解零状态响应一样,仍然是解非齐次微分方程。回顾前面所述，求零状态响应的步骤,可以总结为： 

（1） 按换路后的电路列出微分方程；  （2） 求微分方程的特解， 即稳态分量；  （3） 求微分方程的补函数， 即暂态分量；  （4） 将特解与补充函数相加即得到微分方程的全解； （5） 按照换路定则确定暂态过程的初始值，从而定出积分常数。这样的计算步骤完全适用于求解全响应，只不过初始条件不同而已。 这种分析暂态过程的方法常称为经典法。

电路如图4 - 19所示。设在开关闭合之前电容器已充电至U0 ， 故uC（0 ）= U0 。 t=0时，开关S合上，则t≥0时电路的微分方电程仍如式（4 - 10）所示。  图4-19

(4.24) 此方程的全解仍为式（4.18） ，即 （4.25） 根据初始条件uC（0 ）= U0可确定待定系数为 则电路的全响应为 （4.26） 式中τ=RC为电路的时间常数。上式中uC（t）由两个分量组成： 其中第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。 

我们也可以把式（4.25）改写成 （4.27） 式中第一项就是前面所讨论的零输入响应（见式（4.6）），即由电容上的初始电压引起的响应；第二项就是零状态响应（见式（4.19）），即由外加电源引起的响应。所以全响应等于零输入响应与零状态响应之和。 这也是叠加定理在线性动态电路中的体现。  充电电流为 (4.28) 电阻上的电压为 （4.29）

图4 - 20中给出了初始状态为U0，且U0＜Us时RC电路的充电电压和电流曲线。 图 4 – 20 初始状态不为零且U0＜Us时uC、uR、iC曲线

例 4.6 如图4 - 21所示电路，开关长期合在位置1上，如在t=0时把它合到位置2，求电容器上的电压。已知R1=1kΩ、 R2=2kΩ、C=3μF、Us1=3V、Us2=5V。 

图4-21 例4.6图

在t≥0时， 根据基尔霍夫电流定律有 整理得

由换路定则知，

例 4.7 如图4 - 22所示，RC串联电路, 原来电容未经充电， 现将其接到一电压源Us上，电压源的波形如图4 - 22（b）所示，试分析电容电压的变化规律，并画出电压波形。 图4-22 例4.7图

解 因为t≤0时电容没有充过电，所以在0≤t≤t1期间，电路就是零状态响应，即一直流电源为电容充电，所以电容电压为 若t=t1时，电容电压还未达到稳态值Us，则此时电容电压为 当t≥t1时，电路就成为以uC（t1）为初始值，以Us/2为稳态值，时间常数不变的暂态过程，此时电路的方程与式（4.24）类似，只是方程右端项为Us/2，所以有

上述方程的特解为 由于方程描述的暂态过程发生在t≥t1，所以补函数为 方程的通解为 此问题发生的初始时刻为t1，因此t1时刻的初始值为 代入方程的通解，有

所以 电容电压为 t≥t1

电容电压的波形如图4 - 23所示。  图4-23 电容电压波形

稳态分量、初始值、时间常数称为分析一阶电路的三要素。已知一阶电路的三要素代入式(4.26)求解一阶电路的方法称为三要素法。 如图4 - 24所示。这样，只要把含源二端网络用戴维南等效电路（或诺顿等效电路）来替代，这类电路就化简为RC串联（或并联）电路，如图4 - 25所示。RC电路的时间常数为τ= RiC，而此时Ri为戴维南等效电路中的等效电阻，所以对于只含有一个电容元件的任意复杂一阶电路，其时间常数等于电容与等效电阻的乘积。 这样我们通过求解一阶电路的三要素， 可以求得电容电压的表达式。非常值得一提的是，电路中的其他支路的电流、 电阻电压等， 也可以采用三要素的方法求解。 

只含一个电容的动态电路 含一个电容网络的戴维南等效电路

我们设f（t）表示电路中任意支路的电压或电流；f（∞）表示电压或电流的稳态分量；f（0+）表示换路后电路中任意支路的电压或电流的初始值， 则根据式(4.26)有

例 4.8 求图4 - 26所示电路的输出电压u（t）。 图4-26 例4.8图

解 （1） 求u（0+）。由于 故 即开关闭合后的初始瞬间（t=0+）电容相当于短路，电源电压直接加到电阻R2的两端。 

（3） 求时间常数τ。 开关闭合后，根据从电容两端看进去的戴维南等效电路， 其等效电阻为R1与R2的并联，如图4 - 27所示，即 故得时间常数 将以上求得的u（0+），u（∞）及τ的值代入（4.30）式， 得输出电压

在图4 - 28 中画出了u（t）随时间变动的曲线。 求等效电阻的电路 输出电压波形

例 4.9 电路如图4 - 29（a）所示，开关在t=0时闭合，闭合前电路已处于稳态，已知U1=6 V，U2=10V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，R3=2kΩ，C=1μF，求开关闭合后的i2（t）。 解 （1）求i2（0+）。t=0-时的电路如图4 - 29(b)所示，此时电容中电流为零，

图4-29 例4.9图

（2） 求i2（∞）。t=∞时，因为电容电压已达到稳态，所以电容中电流为零， 故可用节点电压法求出uC（∞），此时电路如图4 - 29（c）所示，则其方程如下：

（3） 求时间常数τ。 t=0时，开关闭合，则此时电路为图4 - 29（d），从电容两端看进去的等效电阻为 3 个电阻的并联， 所以有 （4） 求i2（t）的表达式： 图4 - 29（e）给出了i2（t）的变化曲线。

4.4.3 RL电路的过渡过程 电感元件是储能元件， 因此当含有电感元件的电路发生换路时，电路中也会产生过渡过程。例如图4 - 30所示RL串联电路， 开关动作之前接电压为U的直流电源，并处于稳态，电路中的电流 ，电感中储存的磁场能量为 ；t=0时开关闭合，由于电感电流不能跃变， 这一电流在t=0瞬间仍在右边RL回路中继续流动，以后逐渐下降到零。电感中原先所储存的磁场能量是维持电感电流的唯一能量来源。

图4-30 RL电路短路

现在我们来求解开关动作后此电路的零输入响应iL（t）， 为此根据基尔霍夫电压定律可得 其中 代入上式有 (4.31) 或写成 (4.32) 此方程与（4.4）式相似， 因此可得 (4.33)

根据已知初始条件: iL（0+）= iL（0-）= I0，得K= iL（0+）= I0。 从而求得电感中电流 (4.34) 式中τ=L/R是时间常数。电感电压uL则为 (4.35) 电感电压为负，这是因为电流下降，维持电流的自感电势eL=－uL的实际方向与电流方向相同的缘故。 电流和电压随时间变化的曲线如图4 - 31 所示。由图可见，电感电流在t=0时没有发生变化，都是I0，但电感电压却从0跃变到－RI0。随着时间的推移电流逐渐减小，

当电感中原先所储存的磁场能量  在电阻中全部消耗完毕之后，电流也等于零，过渡过程结束。这个过程从理论上看要经历无限长的时间，实际上也只需经过3τ~5τ就可以认为基本结束。从这里我们还看到，电阻越大使能量消耗得越快， 而电感越大，原先储存在电感中的能量越多，由此可以理解为什么RL电路的时间常数τ与电阻成反比， 而与电感成正比。

图4-31 IL和uL随时间变动曲线

例 4.10 在图4 - 32所示电路中，已知：线圈电阻R=10Ω，电感L=4H，电压表的电阻RV=10×103Ω。电源电压U=10V。开关S原先是闭合的，且电路已达到稳态。现将开关突然断开。 求线圈电流i（t）在开关断开后随时间变动的规律， 并计算电压表所承受的最大电压值。

图4-32 例4.10图

解 用三要素法求解。 （1）求i（0+）。因为开关断开前电路已处于稳态，所以有 设t=0时开关突然断开，根据换路定则有

（2） 求i（∞）。因为开关断开后，电感电流靠电感中储存的磁场能量维系，磁场能量不断地被电阻消耗，最后达到零，则电流也必将为零，所以 i（∞）=0。  （3） 求时间常数τ。τ=L/Ri，其中Ri为电路换路后，把电感支路单独分出来，其他部分归结为一个含源二端网络的等效电阻，对于本例Ri=R+RV，所以

（4） 求i（t）： 电压表所承受的电压为 当t=0时，电压表将承受最大电压 umax=－104 V，这将远远超过电压表的最大量程，而使电压表遭受损坏。由此可见，当断开带有大电感的电路时，应该预先把和它相并联的电压表取下。

习题与思考题 4 1. 在题图4 - 1 所示电路中， t＜0时处于稳态， t=0时开关断开。 求初始值uC（0+）、 i1（0+）、iC（0+）。  2. 题图4 - 2 所示电路原来处于稳态， t=0时将开关断开。求初始值uC（0+）、il（0+）以及开关两端电压u（0+）。

3. 在题图4 - 3 所示电路中，开关S原先合在1端，电路已处于稳态。在t=0时将开关从1端扳到2端，试求换路后i1、i2、iL及uL的初始值。

5. 一RC放电电路如题图4 -5所示，电容元件上电压初始值uC（0+）=U0=20V，R=10kΩ，t=0+时，开始放电，经0 5. 一RC放电电路如题图4 -5所示，电容元件上电压初始值uC（0+）=U0=20V，R=10kΩ，t=0+时，开始放电，经0.01s后， 测得放电电流为0.736mA，试问电容C的值为多少。 又知放电开始（t=0）时，电容电压为10V，放电电流为1mA，经过0.1s（约5τ）后电流趋近于零。试求电阻R和电容C的数值，并写出放电电流i的表达式。

6. 电路如题图 4 - 6 所示，试作出开关闭合后（t>0）电流i的波形。  7. 在题图4 - 7 中，开关闭合时电容器充电，再断开时电容器放电，试分别求充电和放电时电路的时间常数。 

8. 在题图 4 - 8 所示电路中，U0=20V，R=7 kΩ，C=0 8. 在题图 4 - 8 所示电路中，U0=20V，R=7 kΩ，C=0.47μF。 电容C原先不带电荷。试求在开关S合上瞬间电容和电阻上的电压uC和uR以及充电电流i。经过多少时间后电容元件上的电压充到12.64V？

9. 题图 4 - 9 所示电路原处于稳态， t=0时开关突然接通，求t≥0时uC（t）。 

11. 题图 4 - 11 所示电路中电容原先未充电。试求：  （1） 电路的时间常数；  （2） 当开关闭合后电路中的电流i及各元件上的电压uC和uR， 并作出它们的变化曲线； （3） 经过一个时间常数后电流i的值。 

12. 在题图 4 - 12 所示电路中电容原先未充电。当开关闭合后， 试求电容元件两端电压uC。 

13. 有一RC电路如题图4 - 13(a)所示，其输入电压如图（b）所示。设脉冲宽度T=RC，试求负脉冲的幅度U-等于多大才能在t=2T时uC=0。设uC（0-）=0。

14. 题图4 - 14 所示电路参数已在图中标明。开关长时间合在1的位置。当将开关扳到2的位置后，试求电感元件中电流及其两端电压。 

15. 题图 4 - 15 所示电路参数已在图中表明。 （1） 求S1闭合后电路中电流i1的变化规律；  （2） 当S1闭合后电路达到稳定状态时再闭合S2，试求i1和i2的变化规律。 

16. 题图4 - 16电路已处于稳定，t=0时S1闭合, 试用三要素法求t≥0时的i1、i2。 

17. 在题图4 - 17 所示电路中，已知R1=400 kΩ，R2=R3=200 kΩ，C=100μF，输入电压u1如图（b）所示，其中U=20V，tp=20μs。试求输出电压u2，并画出其变化曲线。 