第二章 正弦稳态电路分析

第2章 正弦稳态电路分析 §2.1正弦交流电路 §2.2单一参数的正弦交流电路 §2.3电阻、电容、电感串联的交流电路 第2章 正弦稳态电路分析 §2.1正弦交流电路 §2.2单一参数的正弦交流电路 §2.3电阻、电容、电感串联的交流电路 §2.4正弦稳态电路分析法 §2.5正弦交流电路的谐振 §2.6三相交流电路

2.1正弦交流电路 2.1.1 正弦交流电量的参考方向 图（a）所示的电路为一简单的正弦交流电阻电路，图上箭头所标的方向就是交流电压u和交流电流i的参考方向，u和i的变化规律可用图（b）所示的波形图来表示。 在交流电路中，电流、电压的实际方向是变化的，参考方向和实际方向之间的关系是：当电流、电压的瞬时值大于零，即为正值时，表示电流、电压的实际方向和参考方向相一致，波形图处在横轴的上方；当电流、电压的瞬时值小于零，即为负值时，表示电流、电压的实际方向和参考方向相反，波形图处在横轴的下方。根据参考方向和实际方向之间的关系可得，交流电的参考方向实际上是表示交流电处在正半周时的实际方向。

最大值、角频率和初相位正弦交流电量的三要素 2.1.2 正弦交流电量的三要素 电路中按正弦规律变化的交流电动势、交流电压或交流电流统称为正弦交流电量。采用余弦函数的情况下，正弦交流电动势、交流电压和交流电流的一般表达式为 式中的Em，Um和Im称为正弦交流电量的最大值或振幅； ω称为角频率，角频率ω和频率f的关系是ω=2πf； φe、φu和φi称为初相位。 最大值、角频率和初相位正弦交流电量的三要素

1．最大值（幅值） 2．周期、频率和角频率 对于50Hz的工频交流电，其角频率为 最大值是描述正弦交流电量变化的范围和幅度的物理量。用大写的字母并加下标m来表示 。 2．周期、频率和角频率 （1）周期 周期描述正弦交流电量变化一次所需的时间，用字母 T 来表示，单位是秒（s）。 （2）频率 频率描述正弦交流电量在单位时间内重复变化的次数，用字母 f 来表示。 其关系式 频率的单位是周/秒，称为赫兹（Hz） （3）角频率 正弦交流电量在一个周期 内变化的角度是 2π个弧度，将正弦交流电在单位时间内变化的弧度数称为正弦交流电的角频率，用ω来表示，单位是弧度/秒（rad/s）。 对于50Hz的工频交流电，其角频率为 3．初相位 正弦交流电量的瞬时值除了与最大值有关外，还与（ωt+φ）的值有关。该值称为正弦交流电量的相位角，简称相位。 t＝0时的相位称为初相角，简称初相位或初相，用符号φ0来表示。因为，正弦函数是周期函数，在写正弦交流电量的函数式时，初相位的取值范围规定在 。

2.1.3 相位差 相位差描述两个同频率的正弦交流电在任何瞬时的相位之差。 如设▽φ21表示电流i2与电压u1之间的相位差，则有 2.1.3 相位差 相位差描述两个同频率的正弦交流电在任何瞬时的相位之差。 如设▽φ21表示电流i2与电压u1之间的相位差，则有 上式表明：同频正弦交流电量的相位差等于它们的初相差，是一个与时间t无关的常数。电路课程中常采用“超前”和“滞后”的概念，来说明两个同频率正弦交流电量相位比较的结果。 当▽φ21>0时，说明φ2>φ1，称i2超前u1；当▽φ21<0时，说明φ2<φ1，称i2滞后u1；当▽φ21=0时，说明φ2=φ1，称i2和u1同相；当|▽φ21|=π/2时，说明i2和u1的夹角为π/2，称i2和u1正交；当|▽φ21|=π时，说明i2和u1的夹角为π，称i2和u1反相。

相位差可以通过观察波形来确定，为了研究确定的方法， 用MATLAB软件画出 和 的图形 %画相位差图形的程序 syms t y1=sym('cos(t+pi/6)'); %定义y1函数 y2=sym('cos(t+pi/3)'); %定义y2函数 subplot(3,1,1),ezplot(y1,[-pi,2*pi]) %画y1函数图 xlabel('t');ylabel('y1');title('cos(t+pi/6)');%设置坐标轴的标题 subplot(3,1,2),ezplot(y2,[-pi,2*pi]) %画y2函数图 xlabel('t');ylabel('y1');title('cos(t+pi/3)');%设置坐标轴的标题 subplot(3,1,3),ezplot(y1,[-pi,2*pi]) %画y1和y2的函数图 hold on,ezplot(y2,[-pi,2*pi]),hold off %在y1函数图上叠加y2的图形 xlabel('t');ylabel('y1+y2');title('cos(t+pi/6)+cos(t+pi/3)');%设置坐标轴的标题

该图清晰的显示出，随着时间t的变化， 的极值点较 的极值点先通过零点，因为， 的相位滞后， 所以，先通过极值点的为滞后； 的极值点较 的极值点后通过零点，因为， 的相位超前 ，所以，后通过极值点的为超前。

φ21>0，说明i2超前i1，超前的角度为135°。 【例2-1】比较下面4组正弦交流电量的相位差，并说明哪一个超前，哪个滞后。 （1） 【解】这两个正弦交流电量是不同频率的，由于不同频率正弦量的相位差是随时间而变化的函数。所以，不同频率的正弦交流电量不能比较相位差，也无法说明哪个超前，哪个滞后。 （2） φ21>0，说明i2超前i1，超前的角度为135°。 （3） φ21>0，说明i2超前i1，超前的角度为90°。

（4） φ21<0，说明i2滞后i1，滞后的角度为120°。 根据以上4例的分析，可以得出这样的结论：两个正弦交流电量进行相位比较时，要注意同频率、同函数，并在相位差角小于π的前提下，才能正确地确定超前或滞后的关系。

2.1.4 正弦交流电量的有效值 有效值是表征正弦交流电的大小及衡量交流电做功能力大小的物理量。有效值是以电流热效应的观点来度量交流电的大小。度量的方法是：不论是交流电流还是直流电流，只要它们的热效应相等，它们的安培值就相等。

u(t)=5cos(0.25πt-143°) 2.1.5 正弦交流电的表示法 1．解析法和波形法 sinφ0＜0，则φ0=-143° 2.1.5 正弦交流电的表示法 1．解析法和波形法 正弦交流电的瞬时值可用三角函数式来表示，用三角函数来表示正弦交流电的方法称为解析法 ,将解析法中的三角函数表示成波形图的方法称为波形法 。 由波形图写解析式的方法是，先确定三要素，该波形图的三要素为：Um=5，T=8，f=0.125，ω=0.25π sinφ0＜0，则φ0=-143° u(t)=5cos(0.25πt-143°)

2．相量表示法 有向线段 的长度对应于正弦交流电量的幅值 Im ，设t=0时，有向线段 与x轴正方向的夹角为Φ0，对应于正弦交流电量的初相位等于Φ0，当有向线段 以正弦交流电量的角频率ω在平面内作逆时针方向旋转时，有向线段 在y轴上的投影对应于 注意：表示交流电的旋转向量与表示力，电场强度等物理量的矢量有着不同的概念。矢量在空间上的指向是固定的，而旋转向量在空间上的指向是不固定的，是按ω的角频率沿逆时针方向旋转的。

【例2-2】已知某交流电路两端的电压u和通入的电流i分别为 画出该电路电流和电压的相量图。 用相量图表示正弦交流电量时应注意的几个问题是： （1）只有正弦交流电量才能用相量来表示，相量不能表示非正弦交流电量。 （2）正弦交流电量是随时间变化的量，它不是向量。旋转向量不等于正弦交流电量，用旋转向量表示正弦交流电量仅是一种表示方法而已。它是利用旋转向量在x轴或y轴上投影的表达式与正弦交流电量的解析式相同这一特征来表示正弦交流电量的。 （3）只有同频率的正弦交流电量才能画在同一张相量图上。因为同频率的交流电在任何瞬间的相位差不变。在相量图中，他们之间的相对位置保持不变。相对位置不变的旋转相量可看成相对静止的相量，并能用向量计算的平行四边形法则对交流电流或电压进行加减运算。

3．复数表示法 在直角坐标系，令其x轴表示复数的实部，称为实轴Re；纵轴表示复数的 虚部，称为虚轴Im。由实轴和虚轴所构成的平面称为复平面。

有效值相量的表达式和解析式，并画出相量图 【例2-3】实验室的供电系统是3根火线，1根零线的三相四线制，该供电系统三相电源的绕组呈如图所示的星形连接，从绕组的始端引出3根线，称为火线,从3个绕组末端的结合点引出的导线称为零线。已知3根火线的相电压（火线对零线的电压）分别为 ，写出线电压（两根火线之间的电压） 有效值相量的表达式和解析式，并画出相量图 ，

%画正弦交流电量的相量图 Ua=220*exp(i*0); %设置正弦交流电量ua Ub=220*exp(-i*120*pi/180); %设置正弦交流电量ub Uc=220*exp(i*120*pi/180); %设置正弦交流电量uc Uab=Ua-Ub;Ubc=Ub-Uc;Uca=Uc-Ua; %计算线电压相量 xlt=compass([Ua,Ub,Uc,Uab,Ubc,Uca]) %画各相量的相量图 set(xlt,'linewidth',2)

2.2 单一参数的正弦交流电路 2.2.1 纯电阻元件的交流电路 1．纯电阻元件交流电路的伏安关系 2.2 单一参数的正弦交流电路 2.2.1 纯电阻元件的交流电路 1．纯电阻元件交流电路的伏安关系 当电流和电压的参考方向设定为关联方向时，根据欧姆定律可得电阻两端的电压为 设流过电阻的电流瞬时值为 电阻元件交流电路电压与电流的大小及相位的关系如下： （1）uR和i两者为同频率、同相位的正弦交流电量； （2）两者的大小关系符合欧姆定律UR= IR。

2．功率计算 （1）瞬时功率 在电流和电压参考方向为关联的前提下，电阻元件的瞬时功率为 说明p（t）由两部分组成，第一部分URI为固定的分量，第二部份是幅值为URI，角频率为2ω的正弦交流电量 ,因为正弦分量的最大值为1，所以瞬时功率总是正值，即p（t）＞0，说明纯电阻在电路中总是一个消耗功率的元件，是电路的负载，电阻在电路中可将电能转换为其他形式的能量并对外做功。 （2）平均功率（有功功率）

2.2.2 纯电感元件的交流电路 1．纯电感元件 式中的l为密绕长线圈的长度（m），截面为S(m2)，匝数为N，μ为介质的磁导率。在线性电感线圈的电阻很小，可以忽略不计的情况下，线性电感线圈成为理想电感元件或称为纯电感元件。 2．自感电动势和自感电压的关系 当纯电感元件中通入随时间而变化的交流电流i时，线圈的磁链也将随着电流的变化而变化，根据电磁感应定律，变化的磁链将在线圈中激励出自感电动势eL。规定自感电动势eL的参考方向与磁链的参考方向之间符合右螺旋定则，由法拉第电磁感应定律得

3．纯电感元件的瞬时值伏-安关系 电感元件交流电路的电压与电流之间的关系是： （1）两者为同频率的正弦交流电量，但两者不同相，他们之间的相位关系是：电压超前电流90°，或者说电流滞后电压90°。 （2）电压和电流在幅值或有效值的大小上存在着U=ωLI= I XL的关系。引用欧姆定律的概念，可将XL称为电感的感抗。若f的单位用Hz，L的单位用亨利（H），则XL的单位是Ω。 感抗XL 与L和ω成正比的关系。在频率ω一定时，电感L愈大，XL也愈大，说明自感电动势对电流的反抗作用就大；当电感L一定时，频率ω愈高，XL 也愈大，说明电感线圈对高频电流的阻抗作用很大。在直流电路中，因ω＝0，XL＝0，所以，线圈两端的电压也为零。表明电感元件对直流电无阻碍作用，可视为短路。

电阻R是由电荷定向运动与导体分子之间碰撞摩擦引起的，而电感中的阻碍作用则是自感电动势反抗电流的变化作用而引起的。 在电阻电路中，电流和电压瞬时值关系为欧姆定律，而在电感电路中这种关系不满足，电感电路瞬时值的伏安关系与欧姆定律的形式不同。但电感电路的有效值或最大值与感抗的数值关系仍满足欧姆定律的形式。 称为电感电路相量形式的欧姆定律。 ，

4．功率计算 (1) 瞬时功率 纯电感元件的瞬时功率p（t）是一个幅值为ULI，并以2ω的角频率随时间作正弦规律变化的正弦交流电量。当sin2ωt<0时，瞬时功率P（t）>0，电感在电路中是负载，电感从电源中吸收电功率，并将电能转换为磁场能量储存在线圈的磁场中。当sin2ωt>0时，瞬时功率P（t）<0，电感在电路中是电源，电感将向电源释放能量，将刚才储存的磁能转换为电能送还给电源。这种工作的过程说明：纯电感元件在电路中并不消耗能量，而是与电源不断地进行能量的交换。 （2）平均功率 （3）无功功率 无功功率指的是：储能元件与电源之间往复交换的最大电功率值。 在国际单位制中，无功功率的单位用乏来计量。

2．2．3 纯电容元件的交流电路 1．纯电容元件的瞬时值伏-安关系 电容元件交流电路的电流与电压的关系是： （1）两者是同频率的正弦交流电量，电流和电压不同相，他们之间的相位关系是：电流超前电压90°，或者说电压滞后电流90°。 （2）电流和电压的幅值或有效值在大小存在着Im=ωCUm ，与描述纯电感电路电流和电压关系的思路一样，将XC称为电容的容抗。若f的单位用Hz，C的单位用F（法拉），则XC的单位是Ω

容抗XC与C和ω成反比。在频率ω一定时，电容C愈大，XC愈小；当电容C一定时，频率ω愈高，XC愈小，说明电容器对低频电流的阻抗作用大，对高频电流的阻抗作用小。

与电感电路计算功率的方法相同，可得电容电路的瞬时功率p为 2．功率计算 与电感电路计算功率的方法相同，可得电容电路的瞬时功率p为 瞬时功率p也是一个幅值为UCI，并以2ω的角频率随时间作正弦规律变化的正弦量。当sin2ωt<0时，瞬时功率P>0，电容在电路中是负载，电容从电源吸收电功率，并将电能转换为电场能量储存在电容器的电场中。当sin2ωt>0时，瞬时功率P<0，电容器在电路中是电源，电容器将向电源释放能量，将刚才储存的电能送还给电源。这种能量转换的过程也是可逆的。平均功率P为0，计算无功功率的表达式为

2．3 电阻、电容、电感串联的交流电路 2．3．1 R、L、C串联电路电流和电压的关系 2．3 电阻、电容、电感串联的交流电路 2．3．1 R、L、C串联电路电流和电压的关系 总电压相量和分电压相量之间组成一个三角形，该三角形称为电压三角形。电压三角形是一张反映总电压和分电压之间关系的相量图

2.3.2 RLC串联电路阻抗的关系 上式与直流电路电阻相串联的形式相当，式中的Z称为电路的阻抗，X=(XL-XC)称为电路的电抗。说明：阻抗是复数，它的实部是电阻R，虚部是电抗X。 从阻抗三角形可见，RLC串联电路在交流电路中的负载特性有3种类型。第1种是XL-XC=0，即电抗等于0，RLC串联电路等效于一个纯电阻的负载；第2种是XL-XC>0，即感抗大于容抗 ，阻抗Z与电阻R的夹角φ>0，RLC串联电路等效于一个电感与电阻相串联的负载，称为感性负载；第3种是XL-XC<0，即容抗大于感抗，阻抗Z与电阻R的夹角φ<0，RLC串联电路等效于一个电容与电阻相串联的负载，称为容性负载。

2.3.3 RLC串联电路功率的关系 有功功率P与视在功率S之间夹角的余弦称为电路的功率因数， 功率三角形是一张反映视在功率、有功功率、无功功率数值之间关系的三角形。它描述的是一个标量关系，而不是相量和复数的关系。所以功率三角形与电压三角形和阻抗三角形不同的地方是：图中没有了代表相量的箭头、字母上的黑点和代表复数的字符j。 在纯电阻电路中，因电流和电压同相，φ=0，cosφ=1，P=S=IU；在纯电感或纯电容电路中，因电流和电压的相量正交，φ=90°，cosφ=0，P=0；在一般的情况下，电路中同时存在有R、L、C元件，电流和电压之间的夹角在-90°<φ<90°之间，电路的功率因数在0<cosφ<1之间，电路消耗的有功功率为0<P<S。

视在功率S并不表示交流电路实际消耗的功率，它只是表示电源可能提供的最大功率或电路可能消耗的最大有功功率。为了与实际的有功功率相区别，视在功率的单位用伏安（VA）或千伏安（kVA）来计量。 交流电源设备如交流发电机，变压器，交流稳压电源等，其额定电压UN和额定电流IN的乘积，指的就是这些设备的额定视在功率SN。 一个电源实际输出的有功功率与电源所接负载的特性有关。当电源接的是纯电阻负载时，实际输出的有功功率等于电源的容量；当电源不是接纯电阻负载时，实际输出的有功功率将小于电源的容量。 电源接负载的目的是为了实现能量的转换。即通过负载将电场能量转化成其他形式的能量对外做功，输出有功功率。但电源所接的负载有许多像电动机那样的设备，这些设备主要是由各种线圈组成的，对电源来说是一个感性的负载。电源带这样的设备，因电流和电压不同相，功率因数将下降，电源设备的利用率将下降。要提高电源设备的利用率，必须提高电路的功率因数。 提高功率因数的方法是：采用适当的办法减小负载的电抗值，由阻抗三角形可知，采用性质相反的负载进行补偿就可实现减小负载的电抗值，增大功率因数的目的，这种过程称为功率因数的补偿。对于感性负载，可用容性负载实现功率因数的补偿；而对于容性负载，可用感性负载来实现功率因数的补偿。 前面介绍的电压三角形、阻抗三角形和功率三角形，虽然所表示的物理含义不同，但在几何数值的关系上，他们是相似三角形，可以利用解相似三角形的办法进行相应物理量的数值计算。

2．4 正弦稳态电路分析法 2．4．1 相量形式的电路定理 2．4．1 相量形式的电路定理 电路的各种定理在直流电路分析中的应用大家都已经掌握，那些定理和分析方法同样适用于交流电路的分析，但表现的形式和计算的方法不一样。 在直流电路的分析中，电路定理的关系是代数和的关系，计算是简单的代数运算；但在交流电路的分析中，因电路定理的关系是相量和，或复数和的关系，所以，交流电路的分析和计算是相量运算或复数运算的关系。 直流电路所讨论的电阻串、并联、Y-Δ等效变换的计算方法同样适用于交流电路。在直流电路中，因不存在容抗和感抗的概念，所涉及到的都是单一参数的电阻，所以各种计算是简单的代数运算。但在交流电路中，因有容抗和感抗的存在，电路中阻抗的关系是复数的关系，所以阻抗的运算必须用复数运算替代前面的代数运算。

【例2-4】如图2-25所示的电路，已知各电流表的读数为A1=1A，A2=2A，A3=3A，求： （1）电流表A的读数是多少？ 【解】（1）该电路是一个R、L、C相并联的电路，电流表A1、A2、A3的读数分别是各支路电流的有效值，电流表A的读数是总电流的有效值，将电路的电压和电流的参考方向设成关联的，由KCL得 2）当角频率由ω变为2ω时，感抗XL0变成原来得2倍，即2 XL0，容抗由XC0，变成原来得1/2倍

【例2-5】如图所示电路Z1=4+j10，Z2=8-j6，Z3=j10，U=60V，求各支路的电流并画出电压和电流的相量图。

%例2-5解的程序 U=60*exp(i*0);z1=4+10i;z2=8-6i;z3=10i; %定义电压和阻抗的变量 z23=z2*z3/(z2+z3);z=z1+z23; %计算阻抗的并联和串联的值 I=U/z;I2=z3*I/(z2+z3);I3=z2*I/(z2+z3); %计算电流的值 I11=abs(I),A1=angle(I)*180/pi %计算电流的幅值和复角 I21=abs(I2),A2=angle(I2)*180/pi I31=abs(I3),A3=angle(I3)*180/pi U1=z1*U/z;U2=z23*U/z; %计算电压的值 U21=abs(U1),B2=angle(U1)*180/pi %计算电压的幅值和复角 U22=abs(U2),B2=angle(U2)*180/pi xlt=compass([U,U1,U2,8*I,8*I2,8*I3]) %将电流相量扩大8倍画相量图 set(xlt,'linewidth',2)

求：（1）该网络的有功功率，无功功率，视在功率； （2）要将该网络的功率因数提高到0.9，需在电路中并上一个多大的电容C，并画出相量图。 【例2-6】在如图2-30所示的无源两端网络上加 V的交流电压，设该网络的输入电流为 求：（1）该网络的有功功率，无功功率，视在功率； （2）要将该网络的功率因数提高到0.9，需在电路中并上一个多大的电容C，并画出相量图。 【解】（1）因为功率三角形，阻抗三角形，电压三角形在数值的关系上满足相似三角形的关系，所以，阻抗三角形中的阻抗角等于功率三角形中的功率因数角，又等于电压三角形中总电流和总电压的夹角，选总电压为基准相量，总电流相量和总电压相量的夹角为：

（2）并上电容后的cosφ=0.9，φ=±25.8°，且有功功率没有改变，流入网络的电流I1也没有变，但并联电容后，因电容的分流作用，电路的总电流变了，电路的视在功率也变了，并上电容后，电路的视在功率S′为 U=220;I=4.4*exp(-i*pi*53/180);w=314; %输入变量 S=abs(U)*abs(I),P=S*cos(pi*53/180),Q=S*sin(pi*53/180), %计算各未知量的值 S1=P/0.9,I1=S1/U %计算各未知量的值 IC1=abs(I1*sin(acos(0.9))-I*sin(pi*53/180)) %计算流过电容器的电流值 IC2=abs(I1*sin(-acos(0.9))-I*sin(pi*53/180)) %计算流过电容器的电流值 XC1=U/IC1;XC2=U/IC2;C1=1/XC1/w,C2=1/XC2/w %计算并联上电容器的值

【例2-7】如图所示的独立电源全是同频正弦交流电量，试列出该电路矩阵形式的节点电压方程和回路电流方程。 【解】因为节点电压方程和回路电流方程在直流电路和交流电路分析中的表示形式一样，所不同的仅仅是运算方法的差别，直流电路用的是代数运算，交流电路用的是复数或相量运算，根据这个思路，大家在解题时，完全可以将该问题看成是直流电路的问题来分析，具体写方程时再将方程写成相量的形式。 电路各节点的电压如图2-32所示，由节点电压法得

电路回路电流的参考方向如图所示，由回路电流法得 %例题2.7解的程序 syms z1 z2 z3 z4 z5 Us1 Us2 Is %输入变量 a=sym('[1/z1+1/z2+1/z3,-1/z3;-1/z3,1/z3+1/z4]'); %输入矩阵a b=sym('[Us1/z1+Us2/z3;Is-Us2/z3]'); %输入矩阵b c=inv(a)*b;c=simple(c) %解矩阵并化简结果 a1=sym('[z1+z2,-z2;-z2,z2+z3+z4]');%输入矩阵a1 b1=sym('[Us1;-z4*Is-Us2]'); %输入矩阵b1 c1=inv(a1)*b1;c1=simple(c) %解矩阵并化简结果

【例2-8】 求图2-33所示电路虚线框网络的输入阻抗，用戴维南定理求ZL两端的电压。 【解】（1）根据网络输入阻抗的定义式可得 将受控电流源开路，但应保持ZL两端的电压不变，为了利用串联电路的公式，可将大电流支路的电流缩小（1+β）倍，电流缩小了（1+β）倍后，为了保持ZL两端的电压不变， ZL就必须扩大（1+β）倍

（2）cb端开路后的等效电路为 计算含有受控电源网络输出阻抗的简单方法是：将受控电流源开路，电压源短路，因为计算ZO是在（1+β）Ib的支路中进行的，该支路是大电流的电路，应将Z2支路的电流Ib折算为（1+β）Ib支路的电流，所以，必须将Z2所在支路的电流扩大为原来的（1+β）倍，电流扩大后，为了保持Z2两端的电压不变，必须将阻抗Z2缩小为原来的（1+β）倍，处理过程的等效电路图如图所示，

2.5 互感和变压器 2．5．1互感和变压器概述 【例2-9】求如图所示电路电阻R2两端的输出电压u0。 【解】图中的L1、L2组成一个变压器，在物理学课程中已知，变压器是利用磁耦合的原理来实现变压的。磁耦合的工作过程是：两个绕在一起的耦合线圈L1和L2，当线圈L1中通有电流i1时，i1电流在线圈L1上所产生的磁通将交链到线圈L2上，并在线圈L2上激发出感应电动势e21。根据法拉第电磁感应定律，规定电流的参考方向与磁链的参考方向之间符合右螺旋法则，可得 ，式中的M称为互感系数，简称互感，是由两线圈的材料和形状决定的。 同名端的定义是：当一对施感电流i1和i2从同名端流入各自的线圈时，互感起增助作用，互感电压的方向如图所示。

根据上面同名端的定义和KVL可得

在互感电路中，在铁芯的磁导率为无穷大，磁通的外漏，线圈和铁芯的损耗都可以忽略不计的情况下，互感电路所表示的器件为理想变压器。描述理想变压器性能的参数为变压器的变比n，变压器的符号和变比n的定义如图所示。

在通信电路中常用高频变压器和传输线变压器实现通信电路的阻抗匹配。高频变压器和传输线变压器与低频变压器的差别主要在工作频率和磁芯的结构上。 2.5.2 传输线变压器 在通信电路中常用高频变压器和传输线变压器实现通信电路的阻抗匹配。高频变压器和传输线变压器与低频变压器的差别主要在工作频率和磁芯的结构上。 变压器中的传输线采用可传输高频信号的双导线或同轴电缆绕制，通常用互相绝缘的两根漆包线扭绕在一起，形成双线并绕的1：1（变比n=1）变压器。传输线变压器有传输线和变压器两种工作模式，两种工作模式常用的连接方法如图所示。

【例2-10】如图2-46所示的电路是传输线变压器的一种常用接法，求该电路的输入阻抗Zi。 【解】在直流电路分析中，采用加压-求流法来求解电路输入阻抗的问题，加压-求流法同样也适用于交流电路的分析。设外加的电压为，在该电压激励下的电流为，根据图所标注的电流关系和传输线变压器n=1的特点可得： 上述解的结论说明如图所示的电路为1：4的阻抗变换器，可以实现电路阻抗变换的功能。传输线变压器也可以组成4： 1的阻抗变换器

2.5.3h互感和变压器问题的综合例题 【例2-12】列出如图所示电路的网孔电流方程。 【解】设电路的网孔电流如图所示，根据KVL可得

【例2-13】求如图所示电路的输入阻抗Zi。 【解】用加压-求流法来求。在图（a）所示的电路中，设外加的电压为Uab，在该电压的激励下电路的电流为I，根据KVL可得

因为自感系数L是一个大于0的数，由上式可得两线圈相串联的最小互感系数为两线圈自感系数的算术平均值 如图所示的电路为两个电感线圈相串联和相并联的情况，根据上面的计算结果可得：两电感串联或并联的结果等效于一个自感系数为L的电感，等效电感的自感系数L不仅与两电感的自感系数L1和L2有关，还与互感系数M及同名端的排列有关。 因为自感系数L是一个大于0的数，由上式可得两线圈相串联的最小互感系数为两线圈自感系数的算术平均值 由上式可得两线圈相并联的最大互感系数为两线圈自感系数的几何平均值

【例2-13】如图所示的电路为接收机输入电路的等效电路，为了实现电路的阻抗匹配，求自感分压系数与电容分压系数的关系。 【解】当电源所带的负载等于电源的输出阻抗时，电路可实现阻抗匹配。在图所示的电路中，电源通过电感分压电路输出，负载电阻通过电容分压电路与电源的输出电压相连。根据阻抗变换的公式可得

【例2-14】如图所示的电路中，已知R=0. 5kΩ，C=50μ，ab端口的输入电压u(t)=(1+1 【例2-14】如图所示的电路中，已知R=0.5kΩ，C=50μ，ab端口的输入电压u(t)=(1+1.5cos200t)V，求各支路的电流I(t)、i1(t)和i2(t)。 【解】因输入电压是直流电压和正弦交流电压的叠加，先将输入电压分解成直流电压和正弦交流电压，然后，利用叠加定理来求解。直流电压单独作用时各支路的电流为

同相的条件是XL=XC，该条件就是串联谐振的条件。 在具有R、L、C元件的正弦交流电路中，电路两端的电压与电流一般是不同相的。如果改变电路元件的参数值或调节电源的频率，可使电路的电压与电流同相，使电路的阻抗呈现电阻的性质，处在这种状态下的电路称为谐振。 2.6 正弦交流电路的谐振 2.6.1 RLC串联谐振 同相的条件是XL=XC，该条件就是串联谐振的条件。 （1）谐振发生时，因XL=XC，所以，阻抗 达到最小值，电路呈电阻性。 （2）在电压U不变的情况下，电路中的电流 达到最大值， I0称为谐振电流。 （3）由于谐振时XL=XC，所以 ， 而 和 的相位相反， 相加时互相抵消，所以电阻上的电压等于电源的电压U0，即

电感和电容上的电压分别为 称为RLC串联电路的品质因数，Q是一个无量纲的量，它的物理意义是谐振电路的储能与耗能的比，描述了谐振电路的感抗（容抗）与电阻的比。Q值的大小反映了谐振电路的性能，在感抗和容抗大大于电阻R时，Q将大大于1。 说明在串联谐振的情况下有可能会出现UL（UC）远远大于电源电压U的现象，因此，串联谐振又称为电压谐振

为了突出电路的幅频特性，谐振曲线常用输出量（UR或UL）和输入量（U）比值的频率特性来表示。取的频率特性为RLC串联谐振电路的谐振曲线，根据RLC串联谐振电路复阻抗的表达式可得 %画谐振曲线的程序 Q1=1;Q2=6;Q3=60; %设置不同的Q值 x=0.0000001:0.01:3; figure; y1=1./sqrt(1+Q1^2*(x-1./x).^2); %画谐振曲线y1 plot(x,y1,'-b');hold on; y2=1./sqrt(1+Q2^2*(x-1./x).^2); %画谐振曲线y2 plot(x,y2,'-r');hold on; y3=1./sqrt(1+Q3^2*(x-1./x).^2); %画谐振曲线y3 plot(x,y3,'-k'); xlabel('w/w0'); ylabel('UR/U'); title('谐振曲线');

图给出了三种不同Q值的谐振曲线。由图可见，RLC串联谐振电路的谐振曲线具有明显的选择性。 谐振曲线的选择性描述了，谐振回路从含有各种不同频率的信号中选出有用的信号，抑制干扰信号的能力。 由图可见，RLC串联谐振电路在谐振点上谐振曲线有最大值，当频率偏离谐振点时，曲线逐渐下降，下降的速度随Q值的不同而不同。Q值越大，下降的速度越快，选择性越好。工程上将的值下降到原值的0.707时，所对应的两个频率ω2和ω1称为谐振电路的通带截止频率，两频率的差称为谐振电路的通频带宽度fbW，通常用符号BW0.7来表示

谐振电路的选择性和通频带宽度是一对矛盾。选择性好的，通频带宽度就窄；选择性差的，通频带宽度就宽。 在实际应用中，选择性常用谐振回路的幅频特性下降到0.1时的频带宽度BW0.1来表示，BW0.1越小，回路的选择性越好。计算频带宽度BW0.1的示意图如图2-53（a）所示。为了提高选择性，降低频率失真，要求谐振回路的幅频特性具有如图2-53（b）所示的矩形形状。 为了说明实际谐振回路的谐振曲线接近矩形的程度，引入“矩形系数”D的概念。 串联谐振的现象在电力工程中应避免，这是因为，当串联谐振发生时，电感线圈或电容元件上的电压将增高，可能导致电感线圈或电容器绝缘层被击穿。但在无线电工程中，利用串联谐振现象的选择性和所获得的较高电压，可将所需要接收的高频载波信号提取出来。 例如、收音机的输入电路就是一个由电感线圈（线圈电阻为R）与可变电容器C组成的串联谐振电路，如图所示。

2．6．2 RLC并联谐振 1、并联谐振的条件和固有频率 与串联谐振时计算固有频率的公式完全相同。

2、并联谐振电路的特点 （1）．并联谐振时，I与U同相，电路呈阻性，电路的总阻抗|Z|为 （2）．因为，并联谐振电路的R«ω0L，所以，当电路谐振时，电感上的电流IL和电容上的电流IC的大小关系为： 说明，并联谐振时，支路电流是总电流的Q倍。而R总是«ω0L，所以，IC=IL»I。，因此，并联谐振又称电流谐振。

2．6．3．负载和电源内阻对谐振电路的影响 如图所示的谐振电路不带负载，且电源为理想的电压源，处在这种状态下的谐振电路称为空载。谐振电路处在带负载和信号源内阻不能忽略的状态称为加载。为了讨论加载对谐振电路性能的影响，用符号Q0表示谐振电路空载状态下的品质因数，用符号Q表示谐振电路加载状态下的品质因数。 加载以后的G，大于空载的G，所以，谐振电路加载后的Q值将减小。谐振电路Q值的变化，将影响谐振电路的通频带和选择性。为了减少加载对谐振电路Q值的影响，要求负载和电源要满足功率匹配GL=GS的条件，通常这个条件不能自然地得到满足，利用各种阻抗变换的方法可以实现功率匹配的条件，以减少加载对谐振电路Q值的影响

常见的阻抗变换电路是如图所示的变压器耦合，电感分接和电容分接电路。

【例2-15】在如图所示的电路中，设C1=1000pF，C2=2000pF，L=20μH，RL=1kΩ，求：信号源的内阻R0的值，谐振电路品质因数和带宽。 用MATLAB软件进行计算的程序为 %例题2.15解的程序 C1=10^-9;C2=2*10^-9;L=2*10^-5;RL=10^3; %输入变量的值 C=C1*C2/(C1+C2),w0=1/(L*C)^0.5;f0=w0/2/pi %计算总电容和谐振频率 R0=((C1+C2)/C1)^2*RL,G=2/R0, %计算总电导 Q=w0*C/G,BW=w0/Q/2/pi, %计算品质因数和带宽 该程序运行的结果为 C =6.6667e-010；f0 =1.3783e+006；R0 = 9000； G =2.2222e-004；Q =25.9808；BW =5.3052e+004。

在电子技术中，常利用并联谐振电路阻抗高的特点，在LC并联谐振电路的两端获得在谐振状态下，f=f0信号的较高电压，以实现选频的目的。图2-61（a）所示的电路就是高频电路中谐振放大器的选频电路，利用该电路可以将无线电广播中465kHz的中频信号选出来。 在图2-61（a）所示的电路中，谐振电路只有一个，称为单调谐回路。单调谐回路的选择性和通频带宽度是一对矛盾，选择性好的，通频带宽度就窄；选择性差的，通频带宽度就宽。在要求通频带宽度较大的场合可以采用双调谐回路，双调谐回路的电路结构如图2-61（b）所示。 比较图2-61（a），（b）所示的电路可得，两个电路的主要差别在谐振回路的数量上，单调谐电路只有一个谐振回路，而双调谐电路有两个谐振回路。双调谐回路通常采用参差调谐的技术来增大谐振回路的通频带，根据参差调谐技术的原理，用MATLAB软件编写的画谐振曲线的程序为：

%画双调谐回路谐振曲线的程序 Q=10 %设置Q值 x=0.0000001:0.01:3; figure; y1=1./sqrt(1+Q^2*(0.96*x-1./(0.96*x)).^2); %画谐振曲线y1 plot(x,y1,'-b');hold on; y2=1./sqrt(1+Q^2*(1.04*x-1./(1.04*x)).^2); %画谐振曲线y2 plot(x,y2,'-r');hold on; y3=y1+y2; %画双调谐回路的谐振曲线y3 plot(x,y3,'-k'); xlabel('w/w0'); ylabel('UR/U'); title('谐振曲线');

2．6．4石英晶体谐振器

【例2-15】图2-56为RC串、并联选频网络，试确定该电路的谐振频率和谐振时U0和UI的比值。

2.6.2 三相电路分析 因为三相电路可以看成是由单相电路组成的，所以分析、计算单相电路的方法一样适用于三相电路。当三相电路接有对称负载时，因各相电流也是对称的，所以，只需计算一相即可完成对三相电路的分析。当三相电路接不对称负载时，因各相电流不对称，因此要逐相分别计算。 1．负载作三角形连接

（1）对称三相负载 对称负载三角形连接，线电流的大小是相电流大小的

2．负载作星形连接 当负载的额定电压等于电源的相电压时，三相负载应作如图所示的星形连接。三相负载星形连接的相电流等于流过负载的电流，也等于线电流，计算相电流的公式是： （1）对称三相负载 在对称三相负载的情况下，由上式可得，电流也是对称的，三相电流的大小相等，相位互差120°。此时中性线上的电流IN＝0，由此可以得出这样的结论：三相对称负载作星形连接时，由于中性线上的电流为零，因此负载中点不必与中性线相连。 （2）不对称三相负载 在不对称三相负载的情况下，由于三相电源的相电压仍然是对称的，按上式逐相求得的各相负载电流 然后按相量计算的方法相加。

【例2-16】如图2-62所示电路的相电压为220V，a相接有220V，100W的白炽灯5盏，b相接220V，100W的计算机5台，c相接220V，1 000W的空调一台，求： （1）在开关S闭合时，中性线的电流 。 （2）在开关S断开以后，中线不慎在打*号处断开，此时灯的亮度将发生什么变化？继续运行下去会发生什么故障？ 【解】（1）该电路是不对称三相负载星形连接，根据阻抗的计算公式和星形连接电流的计算公式可得 %例题2.16解的程序 Z1=220^2/500;Z2=220^2/500;Z3=220^2/1000; %计算各相的阻抗值 I1=220/Z1;I2=220*exp(-i*120*pi/180)/Z2;%计算各相的电流值 I3=220*exp(i*120*pi/180)/Z3; %计算各相的电流值 I=I1+I2+I3,IN=abs(I),a=angle(I)*180/pi %计算中性线的电流

（2）当开关S断开以后，中性线在打*号处断开，相当于Za和Zc相串联以后接在380V的线电压上，根据串联分压公式可得Za和Zc所分的电压为 由计算的结果可见，因Za大于Zc，Ua的值将大于Uc的值。又因为，Ua的值大于白炽灯的额定电压220V，而Uc的值小于空调的额定电压220V，所以，白炽灯的亮度将增加，而空调则会因电压不够不能正常工作。这种现象若不及时排除，将出现白炽灯因高压的作用而烧坏的故障。 由上面的讨论可知，在三相四线制供电系统中，因各相的负载不平衡，中性线上的电流IN不为零，中性线不允许断开。若发生中性线断开的故障现象，线电压对不对称负载分压作用的结果，将使阻抗小的负载分得较小的电压，而阻抗大的负载将分得较大的电压。阻抗大的负载所分到的电压有可能超过该负载的额定工作电压，而将该负载烧坏。因此，在三相四线制供电系统中，中性线绝不允许断开，也不允许在中性线上安装开关或熔断器等装置。

【例2-17】如图2-63所示对称三相电源的线电压是380V，负载Z1=3+j4Ω，Z2=-j12Ω。求电流表A1和A2的读数及三相负载所吸收的总有功功率，总无功功率，总视在功率和功率因数。 【解】因为Z1与三相电路是星型连接，Z2与三相电路是Δ型连接，根据星形连接和Δ形连接线电流和相电流的关系可得 因电路中既有感性负载，又有容性负载，所以计算功率的方法必须利用Y-Δ变换的方法将Δ连接的Z2负载变换成Y形连接，根据Y-Δ变换的法则可得 %例题2.17解的程序 Z1=3+4i;Z2=-12i; %输入阻抗的值 I2=3^.5*380/abs(Z2) %计算线电流 Z21=Z2/3;Z=Z1*Z21/(Z1+Z21); %计算总阻抗 P=3*(220/abs(Z))^2*real(Z) %计算有功功率 Q=3*(220/abs(Z))^2*abs(imag(Z)) %计算无功功率 S=(P^2+Q^2)^.5,c=P/S %计算视在功率和功率因数

I2 =54.8483；P =17424；Q =13068；S =21780；c =0.8000

2.6.3 安全用电常识 1．触电事故对人体损伤程度的各种因素 （1）通过人体电流的大小 2.6.3 安全用电常识 1．触电事故对人体损伤程度的各种因素 （1）通过人体电流的大小 据有关资料报道，当通过触电者心脏的工频交流电大于10mA，或直流电大于50mA以上时，触电者将不能自己摆脱电源，有生命危险。在小于上述电流的情况下，触电者能自己摆脱带电体，但时间太长同样也有生命危险。一般情况下，人们触及36V以下的电压，通过人体的电流很小，不会产生危险，所以工程上规定不会对人体产生危险的电压值为安全电压值。我国规定的安全电压为50V，安全电压等级分为42V、36V、24V、12V、6V五个等级。 （2）人体的电阻 人体的电阻愈高，触电时通过人体的电流就愈小，伤害的程度也愈轻。当皮肤有完好的角质层，且很干燥时，人体的电阻可达104~106Ω。若皮肤湿潮，如出汗或带有导电性尘土时，人体的电阻将急剧下降，约为lkΩ。人体电阻还与触电时人体接触带电体的面积及触电的电压等有关，接触面积愈大，触电电压愈高，人体的电阻就愈低。 （3）触电形式 最危险的触电事故是电流通过人的心脏，因此，当触电电流从一手流到另一手，或由手通过身体流到脚时比较危险。但并不是说人体其他部分通过电流就没有危险，因为人体任何部分触电都可能引起肌肉的收缩和痉挛，以及脉搏、呼吸和神经中枢的急剧失调而丧失意识，造成触电伤亡事故。

保护接地通常用在三相电源中点不接地的供电系统中。如车间的动力设备与照明用电不共用同一电源时就是采用保护接地的供电系统。 2．保护接地与保护接零 （1）保护接地 所谓的保护接地就是将三相用电设备的外壳用接地线和接地电阻相焊接。接地电阻通常是指将专用的钢管或钢板深埋在大地中，形成的接地点的接地电阻按规定不得大于4Ω。 保护接地通常用在三相电源中点不接地的供电系统中。如车间的动力设备与照明用电不共用同一电源时就是采用保护接地的供电系统。 保护接地的工作原理是：当人们碰到一相因绝缘损坏而与金属外壳短路的电机时，相当于在电机旁边并上一个阻值较大的电路，此时电流将分两路入地，因人体的电阻比外壳接地的电阻大很多，大部分电流将通过接地电阻入地，流过人体的电流极微小，人身安全得到保障。 （2）保护接零 所谓的保护接零就是将设备的外壳用导线和中性线相连。在动力设备和照明共用同一个低压三相四线制的供电系统时，电源的中点接地，这时应采用保护接零（接中线）的办法。 保护接零的工作原理是：当电气设备的绕阻与机壳相碰时，该相导线即与中性线形成短路，将接在该相上的熔丝熔断，避免了触电事故。 必须指出的是，在同一个配电线路中，不允许一部分设备接地，另一部分设备接中线。因为当接地设备的外壳碰线时，该设备的外壳与相邻接零设备的外壳之间具有相电压的电位差，此时，人若同时接触这两台设备的外壳，则将承受相电压的冲击，是非常危险的。

2.7 小结和讨论 正弦交流电量的参考方向指的是交流电在正半周时的实际方向。描述正弦交流电量的三要素是：最大值、角频率和初相位。两个同频率的正弦交流电量可进行相位差的比较，两个同频率的正弦交流电量的相位差就是它们的初相差。 正弦交流电量的表示方法有解析法、波形法和相量法 . 用相量来表示正弦交流电量的方法称为相量法。 电阻R、电感L和电容C是描述电路性质的三个参数，单一参数电路电流和电压瞬时值之间的关系.在RLC串联电路中，存在着电压三角形、阻抗三角形和功率三角形。虽然这三个三角形所表示各量的物理意义不相同，但它们的数值关系满足相似三角形的关系，利用解相似三角形的方法可确定这三个三角形各边的数值关系。分析正弦稳态电路所用的公式、定理和方法与直流电路分析所用的公式、定理和方法形式相同，差别仅是运算的方法。 两个线圈套在一起可组成变压器，变压器的工作原理是磁耦合的原理。描述线圈磁耦合性质的物理量是互感系数.互感线圈同名端的定义是：当一对施感电流i1和i2从同名端流入各自的线圈时，互感起增助的作用。 由RLC相串联组成的电路当容抗等于感抗时，电路的电抗为零，阻抗呈纯电阻的性质，处在这种状态下的RLC串联电路称为串联谐振。RLC电路处在谐振状态的特征是阻抗为纯电阻的实数，根据这个特点可确定谐振电路的固有频率f0。