2.4 节 点 电 压 法 (Nodal Analysis) 节点法是为了减少方程个数、简便手工计算过程的又一类改进方法。 2.4 节 点 电 压 法 (Nodal Analysis) 节点法是为了减少方程个数、简便手工计算过程的又一类改进方法。 适用于结点较少的电路。

2.4 节 点 电 压 法 Vb = -5V 2.4.1 节点电压法 Va = +5V a 点电位： a b 1 5A a b 1 5A 2.4 节 点 电 压 法 2.4.1 节点电压法 以节点电压为未知电路变量，并对独立节点用KCL列出（用节点电压表达的）有关支路电流的方程，这种求解电路参数的方法称为节点法。 1、定义 2、节点电压的概念 在电路中任意选择一个节点为参考节点，设其电位为零（用 标记）； 其余节点与此参考节点之间的电压，称为节点电压或节点电位，各节点电压的极性均以参考节点为“-”极。 节点电位记为：“VX”（注意：电位为单下标）。 Va = +5V a 点电位： a b 1 5A a b 1 5A Vb = -5V b 点电位：

2.4 节 点 电 压 法 2、节点电压的概念 如图电路，选节点4作参考点，其余各节点的电压分别记为u1、u2和u3。 2.4 节 点 电 压 法 2、节点电压的概念 如图电路，选节点4作参考点，其余各节点的电压分别记为u1、u2和u3。 支路电压可用节点电压表示为： u12 = u1- u2， u23 = u2- u3， u13 = u1- u3， u14 = u1， u24 = u2， u34 = u3 对电路的任意回路，如回路A，有： u13 – u23 – u12 = u1–u3 –(u2- u3) –(u1- u2)≡ 0 所以，节点电压法自动满足KVL方程。 节点法中不需要列出KVL方程，只需要列出节点的KCL方程。 注意：电位和电压的区别 电位值是相对的，参考点选得不同，电路中其它各点的电位也将随之改变； 电路中两点间的电压值是固定的，不会因参考点的不同而改变。

2.4 节 点 电 压 法 如图电路,选定节点4为参考节点，则节点1,2,3为独立节点。 3、独立节点 2.4 节 点 电 压 法 3、独立节点 对于有n个节点的电路，KCL独立方程有n-1个。 节点电压法中，只要选定参考节点，其余n-1个独立节点确定为独立节点。 以独立节点电压为变量，对此n-1个独立节点列出用节点电压表达的KCL方程，求解各节点电压后，再求得其它电路参数。 如图电路,选定节点4为参考节点，则节点1,2,3为独立节点。

2.4 节 点 电 压 法 4、节点法方程的列写规律 如图电路, 对独立节点1,2,3分别列出KCL方程：(设流出取正） 2.4 节 点 电 压 法 4、节点法方程的列写规律 如图电路, 对独立节点1,2,3分别列出KCL方程：(设流出取正） i1 + i2 + iS2 + i4 – iS4 = 0 i3 + i5 – i2 – iS2 = 0 i6 + iS6 – i1 – i3 = 0 利用OL，各电阻上的电流可用节点电压表示为 i1 = G1(u1 – u3)， i2 = G2(u1 – u2) ， i3 = G3(u2 – u3), i4 = G4 u1， i5 = G5 u2， i6 = G6 u3 代入并合并整理后得用节点电压表达的KCL方程 节点 1： (G1 +G2 + G4) u1 – G2 u 2 – G1 u 3 = iS4 –iS2 G11 G12 G13 (∑IS)1 节点 2： – G2 u1 + (G2 +G3 + G5) u 2 – G3 u 3 = iS2 G21 G22 G23 (∑IS)2 节点 3： – G1 u1 – G3 u 2 + (G1 +G3 + G6) u 3 = - iS6 G31 G32 G33 (∑IS)3

2.4 节 点 电 压 法 4、节点法方程的列写规律 或写成电导矩阵形式为 (2.4-5) 2.4 节 点 电 压 法 4、节点法方程的列写规律 或写成电导矩阵形式为 (2.4-5) 对于仅含独立源和线性电导的电路，恒有Gkj=Gjk，电导矩阵是对称矩阵。 节点 1： (G1 +G2 + G4) u1 – G2 u 2 – G1 u 3 = iS4 –iS2 G11 G12 G13 (∑IS)1 节点 2： – G2 u1 + (G2 +G3 + G5) u 2 – G3 u 3 = iS2 G21 G22 G23 (∑IS)2 节点 3： – G1 u1 – G3 u 2 + (G1 +G3 + G6) u 3 = - iS6 G31 G32 G33 (∑IS)3

2.4 节 点 电 压 法 4、节点法方程的列写规律 推广之： 节点电压向量 节点电导矩阵 节点源电流向量

2.4 节 点 电 压 法 注意 由电路直接列写节点方程的规律总结 4、节点法方程的列写规律 2.4 节 点 电 压 法 4、节点法方程的列写规律 由电路直接列写节点方程的规律总结 Gii(i =1,2,3)称为节点i的自电导= 与节点i相连的所有支路的电导 之和，恒取“+” ； Gij (i≠j)称为节点i与节点j的互电导=节点i与节点j之间共有支路 电导之和；恒取“-”。当两 节点无共有支路电导时，则 相应的互电导为零。 (∑IS)i 称为节点i的等效电流源= 流入节点i的所有电流源电流 的代数和。即，电流源电流 流入该节点时取 “ + ” ；流 出时取“ - ”。 注意 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。

2.4 节 点 电 压 法 5、节点法步骤归纳如下： （1）指定电路中某一节点为参考点，并标出n-1个各独立节点的电压。 2.4 节 点 电 压 法 5、节点法步骤归纳如下： （1）指定电路中某一节点为参考点，并标出n-1个各独立节点的电压。 （2）对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，按照规律列出节点KCL方程。 自电导恒取正值，互电导恒为负。 （3）联立求解上述方程，解出n-1个节点电压。 （4）根据节点电压再求其它待求量。 （5）其它分析

2.4 节 点 电 压 法 例1 用节点法求各支路电流。 20k 10k 40k +120V -240V Un1 Un2 I4 I2 2.4 节 点 电 压 法 例1 用节点法求各支路电流。 20k 10k 40k +120V -240V Un1 Un2 I4 I2 I1 I3 I5 解： Un1=21.8V Un2=-21.82V 各支路电流： I1=(120-Un1)/20k= 4.91mA I2= (Un1- Un2)/10k= 4.36mA I3=(Un2 +240)/40k= 5.46mA I4= Un2 /40=0.546mA I5= Un2 /20=-1.09mA

需列2个独立的电位方程 A B I2 I3 I4 I5 I1 C 例2： 用节点电位法求各支路电流 R1 R2 + - U1 U2 R3 设VC=0 未知数有2个：VA和VB 需列2个独立的电位方程 步骤： 1. 列出A节点和B节点2个节点电流方程; 2. 列出5个支路的电流方程, 用VA和VB表示; 3. 将5个支路电流方程代入2个节点电流方程, 得到2个关于VA和VB的电位方程; 4. 解电位方程组, 得VA和VB; 5. 将VA和VB代入支路电流方程,得各支路电流.

1 R U V - = + 2个独立的电位方程如下： A B I2 I3 I4 I5 I1 C 例2： R1 R2 + - U1 U2 R3

电位在电路中的表示法 - U + R U1 + _ U2 R1 R2 R3 2 R1 R3 +12V -12V 3 R2 6 R1 A R1 R2 R3 +U1 -U2 A I1 I2 I3 A VA= 2 1 R U + - 3 A点电位方程: I1 =5A I2 =- 14/3A I3 =1/3A =2V

2.4 节 点 电 压 法 2.4.2 节点电压法中特殊情况处理 1、电压源的处理方法 例1 列出图示电路的节点电压方程。 2.4 节 点 电 压 法 2.4.2 节点电压法中特殊情况处理 1、电压源的处理方法 例1 列出图示电路的节点电压方程。 解 ： 设节点1、2、3电压分别为u1、 u2、 u3。图中有三个电压源，其中电压源uS3有一电阻与其串联，称为有伴电压源，可将它转换为电流源与电阻并联的形式，如图。 另两个电压源uS1和uS2称为无伴电压源。uS1有一端接在参考点，故节点2的电压u2= uS1已知，因此，就不用对节点2列方程了。 小结： ①对有伴电压源将它等效电流源与电阻并联的形式； ②对于无伴电压源，若其有一端接参考点，则另一端的节点电压已知，对此节点就不用列节点方程了；否则在电压源上假设一电流，并把它看成电流源, 再补一方程（该电压源与节点电压关系）。 对电压源uS2的处理办法是：先假设uS2上的电流为I，并把它看成是电流为I的电流源即可。列节点1和3的方程为 G1u1 – G1u2 = iS – I (G2 + G3) u3 – G2u2 = I + G3 u3 对uS2补一方程： u1 – u3 = uS2

2.4 节 点 电 压 法 2、受控源的处理方法 例2 如图(a)电路，用节点法求电流i1和i2。 2.4 节 点 电 压 法 2、受控源的处理方法 例2 如图(a)电路，用节点法求电流i1和i2。 解 ： 本例中含受控源(CCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。将有伴电压源转换为电流源与电阻的并联形式,如图(b)所示。 设独立节点a、b电压为ua和ub，则可列出节点方程组为 (1+1) ua – ub= 9 + 1 + 2 i1 (1+ 0.5) ub – ua= – 2 i1 再将控制量用节点电压表示,即 i1 = 9 – ua/1 解得: ua = 8V, ub = 4V, i1 = 1A i2 = ub /2 = 2(A) 小结：对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，对每个受控源再补一个方程将其控制量用节点电压表示。

2.4 节 点 电 压 法 un2 un1 ⓪ 3 电阻或电压源与电流源串联的处理方法 例3用节点电压法列写图示电路 方程 2.4 节 点 电 压 法 3　电阻或电压源与电流源串联的处理方法 例3用节点电压法列写图示电路　方程 解　选参考节点0如图示，列写1,2节点的KCL方程 un2 un1 小结：列写节点电压方程时，与电流源串联的电阻或电压源不出现在方程中（视其为短路）。 ⓪

2.4 节 点 电 压 法 教材例 2.4-1 如图2.4-2(a)所示的电路，求各节点电压。 2.4 节 点 电 压 法 　　教材例 2.4-1 　如图2.4-2(a)所示的电路，求各节点电压。 　　解 选节点0为参考节点，其余各节点电压分别设为un1、un2和un3。 注意：图中各支路给出的是电阻值，在节点方程中采用电导。

2.4 节 点 电 压 法 图2.4-2(b)简略地标出了各支路电导值及注入或流出各节点的电流源。 2.4 节 点 电 压 法 图2.4-2(b)简略地标出了各支路电导值及注入或流出各节点的电流源。 图2.4-2(a)中3 Ω和1 A电流源相串联的支路，按电流源与电阻相串联的规则仍等效为1A的电流源，该支路电导为零。

2.4 节 点 电 压 法 根据图2.4-2(a)或(b)列出节点电压方程为 整理后，得

例： U = Un2 注意 列写电路的结点电压方程 解 3 1 2 1V ＋ － 2 3 1 5 4V U 4U 3A 增补方程： 与电流源串接的电阻不参与列方程。

2.4 节 点 电 压 法 例 2.4-2 如图2.4-3所示的电路，求i1和i2。 2.4 节 点 电 压 法 例 2.4-2 如图2.4-3所示的电路，求i1和i2。 解 选定参考点，令独立节点电压为un1和un2，如图所示。

2.4 节 点 电 压 法 按图2.4-3，列出节点方程为 (2.4-6) 　　由图可见，控制变量i1、i2与节点电压的关系为 (2.4-7)

2.4 节 点 电 压 法 将它们代入式(2.4-6)，得 整理后，可得

2.4 节 点 电 压 法 利用节点分析法求解电路时，如果电路中含有无伴电压源（含无伴受控电压源）支路，则对联接此支路的两个节点不能直接套用公式列写方程。此时常用下列二种处理方法： 1. 选电压源的一端节点作为参考节点，则该电压源的另一端节点电压为已知，只须对其它节点列写节点方程即可； 2. 增设电压源的电流为未知变量，并将此电流当作电流源电流列写节点方程，再增加一个与电压源相联接节点的电压差等于电压源电压的补充方程；

2.4 节 点 电 压 法 例2.4-3 如图2.4-4所示的电路，求电流源端电压u和电流i 。 2.4 节 点 电 压 法 　　例2.4-3 如图2.4-4所示的电路，求电流源端电压u和电流i 。 解法一 　一般而言，可以选电压源的电流为变量，如图中的ia，并暂时把它当未知电流源来处理。 以0为参考点，设定独立节点电压为un1、un2和un3，可列出节点电压方程为： (2.4-8)

2.4 节 点 电 压 法 再补充理想电压源与节点电压的关系，由图2.4-4，有 un1－ un3 = 2 V (2.4-9) 2.4 节 点 电 压 法 再补充理想电压源与节点电压的关系，由图2.4-4，有 (2.4-9) un1－ un3 = 2 V 由式(2.4-8)和(2.4-9)可解得un1=3 V，un2=6 V，un3=1 V。因此，电流源端电压 u=un2=6 V

2.4 节 点 电 压 法 解法二 对于图2.4-4这样的电路，若选电压源的“-”极为参考节点，将更为简便。 2.4 节 点 电 压 法 　解法二 　对于图2.4-4这样的电路，若选电压源的“-”极为参考节点，将更为简便。 　　选节点3为参考节点，设节点0、1、2到参考点的电压为u03、u13和u23。这时u13=2 V为已知。因而只需列出节点0和2的节点电压方程。按图2.4-4，可列得方程为

2.4 节 点 电 压 法 将u13=2 V代入上式，得 可解得 u03=-1 V，u23=5 V。于是可得电流源端电压 2.4 节 点 电 压 法 将u13=2 V代入上式，得 可解得 u03=-1 V，u23=5 V。于是可得电流源端电压 电流 u = u20 = u23 – u03 = 6 V

当电路中只有两个节点时，如图所示 + - E1 R1 I1 E2 R2 I2 E3 R3 I3 R4 I4 U a b 由欧姆定律可得： 结点电压法 当电路中只有两个节点时，如图所示 + - E1 R1 I1 E2 R2 I2 E3 R3 I3 R4 I4 U a b 由欧姆定律可得： U=E１－I1R1 ∵ I1＋I2＋I3－I4＝0 U=E2－I2R2 U=E3－I3R3 U=I4R4

该式称为弥尔曼定理，它是弥尔曼在1940年提出来的。 结点电压法 + - E1 R1 I1 E2 R2 I2 E3 R3 I3 R4 I4 U a b 整理得： 该式称为弥尔曼定理，它是弥尔曼在1940年提出来的。

例： 试求各支路电流。 解：①求节点电压 Uab b a I2 I3 42V + – I1 12 6 7A 3 ② 应用欧姆定律求各电流

【例】以0为参考点，列出图示电路的结点电压方程。 解 需增列控制量补充方程 补充方程 将补充方程代入上面第二式，整理得

【例】以0为参考点，列出图示电路的结点电压方程。 解 由第二章的讨论知，与电流源串联的电阻R1和R7对外电路不起作用。故所列方程同例3-10。 方程正确性的说明 ⑴ 对结点1、2列出KCL方程 用结点电压表示各电流 代入KCL方程，得

⑵ 在电路中增加两个点 ① ② ③ ④ ⑤

将①＋③、 ②＋④分别得关于结点1、2的结点电压方程 方程中没有R1和R7，即R1和R7对结点电压不起作用。

小结 1、支路电流法就是以支路电流为未知量，利用基尔 霍夫定律列方程进行求解。 2、对于网孔少、节点多的网络，应采用网孔电流法。 3、对于网孔多、节点少的网络，应采用节点电压法。 4、对于含有受控源的电路，在建立电路方程时，先 将受控源当做独立源，随后，将方程中出现的非自变量 转换成自变量，并将方程整理成一般形式。

支路法、网孔法和节点法的比较： (1) 方程数的比较 支路法 网孔法 节点法 KCL方程 KVL方程 n-1 b-n+1 方程总数 b (2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。 (3) 网孔法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。

1、2b法 以各支路的电压和电流为求解变量。 KVL方程数 （ b – n + 1）个 KCL方程数 （ n –1）个 （2 b ）个 VCR方程数 （ b ）个 2、支路电流法 以各支路的电流为求解变量。各支路电压用支路电流来表示。 KVL方程数 （ b – n + 1）个 （ b ）个 KCL方程数 （ n –1）个

列出支路电流法的电路方程的步骤： （1）选定各支路电流的参考方向； （2）根据KCL对（n-1）个独立节点列出方程； （3）选取（b-n+1）个独立回路，指定回路的绕行方向，列出用支路电流表示的KVL方程。 （4）若某个支路含有无伴电流源时，该支路电压无法用支路电流来表示，可设该支路电压为解变量，由于该支路电流为已知，变量的总数没有变化。

3、网孔分析法 以假想的各网孔电流为求解变量。 KVL方程数 （ b – n + 1）个 列写网孔电流方程的步骤： (1) 标注各网孔电流的方向。 (2) 按通式写出回路电流方程。

R11il1+R12il2+ …+R1l ill= uSl1 … R21il1+R22il2+ …+R2l ill= uSl2 Rl1il1+Rl2il2+ …+Rll ill= uSll 注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压升的代数和。 (3) 电路中含有受控源时应按独立源来处理，并补充控制量与网孔电流的关系方程。 电路中含有无伴电流源时，需要特殊处理。 a. 该电流源在边界支路上; b.设该电流源的端电压为求解变量，用网孔电流列出一个增补方程。

4、节点电压法 以各独立节点的节点电压为求解变量。 KCL方程数 （ n –1）个 列写节点电压方程的步骤： （1）指定参考节点，其余节点对参考节点之间的电压就是节点电压。 （2）按通式写出节点电压方程。 G11un1+G12un2+…+G1nunn= iSn1 G21un1+G22un2+…+G2nunn= iSn2 … … … Gn1un1+Gn2un2+…+Gnnunn= iSnn 自导为正，互导总为负，注入各节点的电流为正。

（3）电路中含有受控源时应按独立源来处理。并补充控制量与节点电流的关系方程。 （4）电路中含有无伴电压源时可选择该电压源的一端作为参考结点。 8、 比较 支路法 网孔法 节点法 KCL方程 KVL方程 n-1 b-n+1 方程总数 b