上海交通大学 概率论第一、二章测验题 大学数学教研室 童品苗

一、填空题 1．设袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 。 2、甲、乙两人独立地向一目标各射击 一次，其命中的概率分别为0.6和0.5； 现已知目标被射中，则它是被甲射中 的概率为 。

3. 一袋中有N个球，其中一个是白球， 其余全是黑球；现在每次从袋中取出 一个球，并放回一个黑球，这样继续 下去，则第k次取到黑球的概率为 。 若 4. 随机事件A与B相互独立， 且 则概率

5. 已知随机变量X 的概率密度函数为 则当a= 时， 有 6. 已知随机变量X 的概率密度函数为 若随机变量Y 表示对 X的三次独立观察中事件 出现的 次数，则

7、设随机变量X 的分布律为 若已知 则 8、设随机变量X的绝对值不大于1， 且 则概率

9、设随机变量X服从参数为 的二项 随机变量Y服从参数为 的二项 分布， 若 分布； 则 10、一实习生用同一台机器接连独立地制 造了3个相同的零件； 若第i个零件是不合 格品的概率为 以X 表示3个零件中合格品的个数， 则

二、选择题

1、将一枚硬币独立地掷两次，引进事 件： 则事件( )

2、设随机事件A与B 互不相容， 且 则下列结论中 一定成立的是（ ）

3. 当随机事件A与B同时发生时，事件C 发生，则下列各式中正确的是( ) 4、设随机事件A、B、C两两独立,则A、 B、C相互独立的充分必要条件是（ ）

5、设10件产品中有4件不合格品，从中 任取二件，若所取二件中有一件是不合格 品，则另一件也是不合格品的概率为( ) 6、设 是随机变量X的密度函数， 且 为X的分布函数， 则 对于任意实数

7、设随机变量X服从指数分布，则随机 的分布函数（ ） 变量 8、设随机变量X服从正态分布 对给定的 满足 若 则 等于( )

9.设随机变量X的概率密度函数为f (x)， 分布函数为F(x)， 对于任意实数 有( ) 且 10.设随机变量 服从正态分布 则概率

三、计算题

1.设10件产品中有5件一级品，3件二级 品，2件次品；无放回地抽取，每次取 一件，求 在取得二 级品之前 取得一级 品的概率。

2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其 中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙 箱中仅装有3件合格。从甲箱中任取3件 产品放入乙箱后， 试求： (1)求乙箱中次品件数X的概率分布; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率

3.设随机变量X的概率密度为 是X的分布函数， 求随机变量 的分布函数。

4.设随机变量X的概率密度为 对X独立地重复观察4次， 用Y表示观察 值大于 的次数， 求Y的分布列。

四、证明题 设随机事件 且 的最大值 证明 不超过

解答

一、填空题 1、解： 在古典概率中，第k次抽取 的概率与k无关， 故从袋中取得黄球的 概率为 2、解： 因目标被射中，即表示至少 有一人射中了目标，这时其概率为 被甲射中的概率为

3、解： 若第k次摸到白球，则前k-1次都摸到了 黑球。 只考虑前k次摸球，则样本点总数 为 第k次摸到白球的有利事件数为 于是所求的概率为

4、解： 由 和 联立可解得 代入前式得 即 可解得 于是

5、解： 因为 于是 即 6、解： 故Y服从 的二项分布， 因此

7、解： 由 可得 于是 8、解： 9、解： 可得 于是

10、解： 令 表示第i个是合格品的事件， 则 于是

二、选择题 1、解： 由题设条件可知，试验的样本 空间为 因此， 或

由此可得 因此， 两两相互独立； 但 不相互独立， 故 故应选(C)。

2、解： 由于 故 但 从而 故选(C )。 因此 一定不相互独立。 3、解： 由条件知， 故有 即 于是 故应选(B)。

4、解： 两两独立， 由于 故有 若 则有 由此可见， 只要 则可推得 相互独立； 反之显然成立， 故应选(A)。

5、解： 所取二件产品中已知有一件是次 品的事件，相当于“所取二件产品至少有 一件是次品的事件”， 则其样本点数为 已知一件是次品，则另一件也是次品的事 件，相当于二件都是次品；故样本点为 于是所求概率为 故应选(B)。

6、解： 由 可得 从而 令x=-y 因此， 故应选(B)。

7、解： 由于X服从指数分布， 分布函数 因此， 对于随机变量 其分布函数为

从而有 由于 在分段点x=0处连续，在分段 点x=2处间断， 这是因为 而 即 故应选(D)。 所以x=2为间断点,

8、解： 由题设条件可知 如右图所示: 因此，由 可知， 故应选(C)。

9、解： 因为X是连续型随机变量，故取 即 任何定值的概率均等于零。 故应选(B)。 10、解： 由正态分布的 对称性可知， 当 可立即推得， 故应选(B)。

三、计算题 1、解： 设A表示在取得二级品之前取得 一级品的事件； 表示第一次取得一 令 级品， 表示第一次取得次品第二次取得 一级品， 为第一、二次取得次品第三次 取得一级品； 且 两两互不相容。 因此

2(1)解： 由题设条件可知， 随机变量的可 能取值为： 0，1，2，3。 概率分布 则 为： 即 (2) 设 则

3、解： 易见， 对于 有 因此，分布函数为 设 为随机变量 的分布函数， 则 对于

有 因此，

4、解： 由于 因此， 即分布列为

四、证明题： 由已知条件可得 因此有， 即 从而证明了x的值不超过

谢谢大家 测验结束 下节课再见 概率论与数理统计教师童品苗