數學教學評量 林玉鴦

簡 報 大 綱 壹、教學評量的意義 貳、教學評量的目的 参、教學評量的種類 肆、臺北市數學學力檢測命題架構 伍、數學能力 陸、命題注意事項 柒、命題實例 捌、測驗編製 玖、審題實作 拾、結語

壹、教學評量的意義 ※教學評量是依據教學目標，運用科學的方法與技術， 蒐集有關學生的學習行為及其成就的可靠資料，就學 生的學習表現，從事研究、分析與評估的一系列活 動，在教學流程中(如下表)，具有承接轉合的關鍵性 角色與回饋功能。 學前評估 教學目標 教學活動 教學評量 回 饋 作 用

貳、教學評量的目的 ※對教師的回饋作用 瞭解學生的起點行為。 瞭解自己的教學效果。 瞭解學生的學習困難。 教學目標 學前評估 教學活動 回 饋 作 用

参、教學評量的種類 ~依時機區分~ 一、安置性評量~確立具備學習新單元的起點行為 (在進入新單學教學之前的評量) 二、形成性評量~及時發現學習困難以改進教學 (在教學進行中的評量) 三、診斷性評量~分析學習困難的原因以補救教學 (在教學進行中或單元教學結束後的評量) 四、總結性評量~評定學習成績確定教學效果 (在單元教學結束後或月考的評量)

参、教學評量的種類 ~依方法區分~ 一、口頭問答 二、紙筆測驗 三、實作評量 四、數學寫作(數學日誌) 五、檔案評量 六、闖關遊戲 七、線上測驗 ……

参、教學評量的種類 ~紙筆測驗~ ※紙筆測驗指定期考查、平時考試的考卷。 ※題目以課本、習作等資料為主，缺乏非例行性、開放 性、創造思考及過程評量的題目。 ※評量內容偏重較低層次的認知，忽略較高層次的思考 認知內容，以及技能和情意方面的評量。 ※評量偏重學習的結果，忽略學習歷程的理解。

参、教學評量的種類 ~實作評量~ ※實作評量指者根據被評量者實際完成一項特定任 務或是工作表現的評量(吳清山、林天佑，民91)。 ※老師可以透過學生實際操作、口頭報告、數學解題等 方式，直接觀察學生數學知識與能力或是間接從學生 作品去評量。 「例」請你拿一條尼龍繩到操場圍出一個面積6平方公尺 的長方形(邊長是整數公尺)，說說看，你是怎麼 圍的？你所圍出來的長方形周長是多少公尺？ 把你的想法或做法寫下來。

参、教學評量的種類 ~數學寫作(數學日誌)~ ※數學寫作是以寫作的活動來帶動數學的學習。 ※寫作活動就是製造機會讓學生產生省思、分析、或陳 述的活動。 ※教師可將當天上課的內容要求學生利用寫日記的方式 記錄下來，紀錄的參考內容如下： 1.今天的數學課我學到了什麼？ 2.上了今天的數學課，我還有哪些不了解的地方？ 3.今天我覺得哪個同學的發表(或解題策略)很好，為什麼？ 4.我從同學的發表中學到了什麼？ 5.我覺得今天的數學課我的表現如何？ 6.擬題、找碴……。

参、教學評量的種類 ~檔案評量~ ※ 「檔案評量」係指教師根據教學目標或是專題計畫， 引導學生連續一段時間主動收集、組織、省思學習作 品，進而評定自己努力、成長等學習狀況。其著重教 學與評量的整合，強調評量本身就是教學；重視學生 反省與自我評量(盧美貴，民86)。 ※檔案評量中資料蒐集、呈現方式與評量對象均相當多 元化，如：學生於數學解題記錄、實測活動照片或記 錄單、學習單、學習日誌等方面所蒐集與呈現的資料※評量回饋可來自教師、自己(自評)、同學與家長。

參、教學評量的種類 ~闖關遊戲~ ※闖關遊戲是依據單元目標，設計一個與學生生活經驗 相關聯的問題情境，透過師生的互動，讓學生在愉快 的氣氛中藉由實學操作，圖像表徵、肢體表達、語言 描述與溝通進行解題，並記錄解題痕跡。 ※闖關遊戲是一種寓教於遊戲的評量方式，它不僅 能激 發學生參與興趣，也能從活動或遊戲的真實情境中評 量學生達成學習目標的程度。 例如：精打細算的闖關~評量學生數字加減的應用能力。 立體形體組合的闖關~認識立體形體的構成要素。 應用解題的闖關……。

肆、臺北市數學學力檢測命題架構 內 容 領 域 數學能力 程序性知識 概念性理解 應用解題 小 數 量 與 實 測 幾 何 內 容 領 域 程序性知識 概念性理解 應用解題 小 數 量 與 實 測 幾 何 數學能力 統 計 與 機 率 代 數

伍、數學能力 一、程序性知識 ※程序性知識包含數學上各種的計算算則，此算則是作 為一種工具，創造有效率的需求。 ※在臺北市數學檢測中，將閱讀與製作圖表，幾何作圖， 及執行一些非計算技能，如四捨五入法、排序也都被 認為是程序性知識。 ※學生要能選擇及應用適當的正確程序，驗證與判斷程 序的正確性，來展示他們的程序性知識。 「例1」9000－1284＝( ) 「例2」一枝鉛筆15元，一枝原子筆28元，各買一枝共要 付多少元？

伍、數學能力 二、概念性理解 ※概念性了解為有意義執行程序上所不可缺少且與解題 有密切的連結。 ※學生展示概念性了解有許多不同的方式，包含產生一 般的範例及反例，使用模式、圖形與符號，辨認與使用原理，知道與應用事實及定義，建立不同表徵模式的連結，比較、對照、及統整概念，解釋與應用符號去表示概念，及解釋假定與關係等。 「例」八角柱有( )個面、( )個頂點、( )條邊。

伍、數學能力 三、應用解題 ※應用解題包含在新情境中使用已累積的數學知識的能 力。 ※學生展示解題技能有辨認及形成數學問題，決定是否 充分與一致性的資料，使用策略、數據、模式、及相 關的數學，使用推理(空間、歸納、演繹、統計、比例) 及判斷答案的合理性與正確性。 「例」甲數是乙數的3倍，已知甲、乙兩數的和是200， 那麼甲、乙兩數各是多少？

陸、命題注意事項 ~名辭釋疑~ 「題幹」：指試題中陳述問題的部分。 「選項」：指所有試題所列的備選答案 「答案」：指該題的正確解答，本身並須具備充 足的理由以說明其正確性。 「誘答選項」：指答案以外的所有選項，且每個 都需具有足夠〝不對〞的理由。

陸、命題注意事項 ~誘答選項的設計~ 題幹：若以x代表小明身上的錢數，以y代表小華身上的錢數，且已知x與y的 關係式為x+30=y，則下列哪一個敘述是正確的？ 選項：（1）小明與小華共有30元　（誘答選項） （2）小明的錢比小華多30元（誘答選項） （3）小明與小華的錢差30元（答案） （4）從此關係式無法得知誰的錢多（誘答選項） ※一個有誘答力的選項，會吸引概念不正確或不具備該能力的學生選擇，但概念正確的學生，仍能分辨出正確答案與誘答選項。 ※為使誘答選項具有誘答力，設計選項時，每個選項的詞語表達、長度、題幹間的邏輯性都應該儘量相同。

陸、命題注意事項 ~命題原則~ 1.題意完整明確、提供足夠解題資訊且切合評量目標。 2.每個試題只問一個問題，避免同時包含太多概念。 3.試題的文字敘述應簡潔、明白，避免出現跟答案無關 的內容。 4.取材需為課程中重要觀念且情境自然合理，符合學生 的生活經驗。 5.試題若含圖表，圖表必須是答題重要資訊的來源且須 簡潔清楚。 6.答案明確唯一，不會引起爭議。

陸、命題注意事項 ~命題原則~ 7.正確答案隨機變化位置，且其出現在各選項的機率應大致相等。 8.選項要具有誘答力，宜依某種邏輯次序排列並盡量字數相近。 9.標點符號的使用要準確。 10.圖示一般以參考為主，但不宜與事實差距太大。 11.試題盡量避免問「何者為非/錯誤」 。

陸、命題注意事項 ~選擇題的題幹~ 1.試題的題幹應僅提出「一個明確的問題」。 2.不要將四個是非題拼湊成一個選擇題，以致缺少一個明確的中心問題。 3.題幹本身應為完整的敘述，不能只是一個字、詞、或是一個名詞。 4.若以「未完成敘述句」作為題幹，題幹應能傳達完整的問題。 5.題幹應只有一個核心概念，否則失去診斷價值。 6.題幹要簡潔，避免無關陳述(100字以內約為合理範圍)。 7.題意需明確完整，使受試者不必閱譯選項即了解題意。 8.儘可能將共同的用字移到題幹上。

陸、命題注意事項 ~選擇題的題幹~ 9.題幹避免用否定敘述，如須以否定句陳述問題，則需強調否定用字。 10.試題必須重新組織，避免抄襲課文。 11.若題幹要求學生從選項中選出一正確者或錯誤者，請使用以下之固定敘述方式： (1)下列有關…的敘述，哪一個是正確的？ (哪一個是錯誤的？) 或 (2)(引言)…，哪一個敘述(或選項)是正確的？

陸、命題注意事項 ~選擇題的選項~ 1.盡量以隨機方式變化正確答案的位置，正確答案出現在各 選項的機率應大致相等。 2.選項不要放在題幹中間，以免題幹分裂為二。 3.標準答案必須是唯一的正確答案或是最佳答案。 4.誘答選項必須具有同質性與似真性。 5.選項避免出現「總是、一定、絕對、從來、所有」等副詞。 6.不要過度使用「以上皆是」或「以上皆非」的選項。 7.選項宜依邏輯次序(如由小至大、時間先後等)排列。 8.選項之間應為獨立、互斥，避免意義重疊。 9.選項具有誘答力。

柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例1」個位數是9，十位數是6的數是多少？ ①89②69③99④96 「例2」( )+35＝50， ( )是多少？ ①85②15③55④35 「例3」八月共有幾天？ ①30②28③29④31

柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ ③30分④7分30秒 ③梯形④正方形 「例4」450秒是①4分50秒②5分30秒 柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例4」450秒是①4分50秒②5分30秒 ③30分④7分30秒 「例5」2個全等三角形不可以拼成一個 ①長方形②平行四邊形 ③梯形④正方形 「例6」6公里＝( ①6000②600③100)公尺

柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例7」一張長方形的色紙，剪去一個角之 後，還剩下多少個角？ (1)3個 (2)4個 柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例7」一張長方形的色紙，剪去一個角之 後，還剩下多少個角？ (1)3個　　　(2)4個 (3)5個　　　(4)以上皆非

柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例7」一張長方形的色紙，剪去一個角之後，還剩下 ★因為不同的剪法有不同的答案， (如下圖) 柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例7」一張長方形的色紙，剪去一個角之後，還剩下 多少個角？ ① 3個② 4個③ 5個④以上皆非　　　 ★因為不同的剪法有不同的答案， (如下圖) 因此，這個題目的題意敘述不夠清楚，

柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例8」「2960092480020」第一個9是第二個9的幾倍 ①1000 ②10000 ③100000 ④1000000 「例9」丁丁要將2公升的牛奶，分裝在每瓶容量是100 毫升的牛奶瓶中，可以裝幾瓶？ (1)20瓶 (2)21瓶 (3)12瓶 (4)102瓶

柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例10」從1號開始，依序拿白、黃、黑、紅、綠色彩球， 阿博是102號，他該拿什麼顏色的彩球？ (1)黑色 (2)黃色 (3)白色 (4)紅色

柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例11」觀察下列圖形規律，請問圖二十會是哪個圖形？ (1)●○○ (2)○●○ (3)○○● 柒、命題實例(大家來找碴) ~選擇題~ 「例11」觀察下列圖形規律，請問圖二十會是哪個圖形？ (1)●○○ (2)○●○ (3)○○● (4)○○○

柒、命題實例(大家來找碴) ~填充題~ ( )和5合起來是( )

柒、命題實例(大家來找碴) ~填充題~

柒、命題實例(大家來找碴) ~填充題~

柒、命題實例(大家來找碴) ~填充題~

柒、命題實例(大家來找碴) ~排序~

柒、命題實例(大家來找碴) ~畫線對稱圖形~ 柒、命題實例(大家來找碴) ~畫線對稱圖形~

柒、命題實例(大家來找碴) ~應用題~ 「例1」媽媽買6個蓮霧包裝禮盒， 重1公斤950公克，包裝盒重150公克， 平均1顆蓮霧重多少公克？ 「例2」修建道路全長11.36公里，其中的5.02 公里的路旁，已修建完成，剩下多少道 路未完工？

柒、命題實例(大家來找碴) ~應用題~ 「例3」 「例4」

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例1」下表中哪一輛車行駛的速率比較快？ (1)保時捷 (2)BMW (3)賓士 重點在考思維判斷數字安排巧思 (4)不一定 重點在考思維判斷數字安排巧思

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例2」歐德颱風今天午夜12時，中心位置在鵝鸞鼻東南 方25公里處，在圖上把颱風中心位置標示出來。 與生活結合

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例3」如圖，飛機上共有11排座位，乘客按照號碼順序 入座，請問： (1)150號坐在哪一排？ (2)若座位只剩下143~160號，但想選靠窗的位 置，有哪些位子是可以選的？

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例4」下面的每一個小方格子面積為1平方公分。 請依現有的粗線條繼續畫完此圖形， 使圍起來的面積為13平方公分。

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例5」 1 5 9 乙、請你將 、 、 三張數字填入下列的格子讓它們相乘的結果為最大。 1 4 5 ＋ ×

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例6」下圖表示一個菜園，這菜園的50%種豌豆，25%種豆莢， 15%種玉米，10%種紅蘿蔔。請分割這菜園並表示哪塊 區域種什麼？

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例7」右圖是一整個圖形的一半。 你認為整個圖形會是怎樣呢？ 請找出超過一種以上的答案。 「例8」右圖是一整個圖形的一半。

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例9」

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例10」

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例11」

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例12」

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例13」

柒、命題實例 ~觀摩試題~ 「例14」

柒、命題實例 ~PISA試題(一)木匠~ 木匠有32公尺的木材，想要在花圃周圍做邊界。 他考慮將花圃設計成以下的造型。

柒、命題實例 ~PISA試題(一)木匠~ 問題：上面花圃的設計是否可以用長度32公尺的木板 來圍成，在下表中的每一種設計圈出是或否。

柒、命題實例 ~PISA試題(二)測驗分數~ 下圖是兩組學生參加科學測驗的結果，這兩組學生分別 稱為A組和B組。A組的平均分數是62.0分，B組的平均分 數是64.5分。當學生得分為50分或以上時他們便通過這 個測驗。

柒、命題實例 ~PISA試題(二)測驗分數~ 問題：由上圖，老師認為B組學生比A組學生的 表現較佳。但A組學生不同意老師的看法。 他們試著說服老師B組並不一定比較好。 依據上圖，寫出一個A組學生可能使用的 數學論點。

柒、命題實例 ~PISA試題(三)披薩 披薩店供應兩種厚度相同但大小不同的披薩。 小披的直徑是30 公分，售價為30 元。 大披薩的直徑是40 公分，售價為40元。 問題：那個披薩比較划算？請寫出你的理由。

柒、命題實例 ~PISA試題(四)匯率 來自新加坡的美玲準備前往南非當交換學生3個月。 她需要將新加坡幣 (SGD)兌換為南非幣 (ZAR)。 問題 1：美玲發現兩國間的貨幣匯率為：1 SGD = 4.2 ZAR 依此匯率中，美玲將3000元的新加坡幣兌換為南非 幣。美玲可兌換成多少元的南非幣？ 問題 2：3個月後回到新加坡時，美玲身上還有3900元的南非 幣，她想要換回新加坡幣，此時兩國間的匯率為： 1 SGD = 4.0 ZAR 。美玲可換得多少新加坡幣？ 問題 3：在這3個月間，匯率從每1元新加坡幣兌換4.2元南非 幣，變成為4.0元南非幣。此時以這個匯率換回新加 坡幣，對美玲而言是否有利？請寫出你的理由。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~96年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~96年度 題 目：一隻非洲象重4.8公噸，牠大約是多少個六年 級學生合起來的重量？你是怎麼估算的？ 把你的想法與做法寫下來。 評量目的：學生能(1)能理解公噸與公斤之間的關係並 加以換算。 (2)具有重量的量感並進行重量的估算。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~97年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~97年度 題目：請回答下列問題： (1)在下面的數線上標示A、B兩點的位置，使A點在 1.25的位置，B點在 的位置。 (2)你是怎麼精確標示出A、B這兩點的位置呢？ 把你的想法或做法寫下來。 評量目的：本試題主要評量學生是否能將分數與小數作 正確的互換，並能正確的標記在數線上。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~98年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~98年度 題 目：請你設計一個數學題目，這個題目可以用 「15＋20×4」算出答案。把你設計的題目 寫下來。 評量目的：本試題主要是希望透過讓學生自己「擬題」 的方式，來了解學生是否確實理解加、乘 兩步驟的解題方法，也希望能藉此提升孩子 的語文能力。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~99年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~99年度 題 目：小明要用一條18公分長的繩子圍長方形(邊長 都是整數)，有幾種圍法？它們的面積分別是 多少？把你的做法寫下來。 評量目的：本試題主要評量學生能否依題意，由已知之 長方形周長，推理出所有長與寬的整數組 合；再計算出所有長方形的面積。本題能診 斷出學生對長方形周長及面積概念是否產生 混淆。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~100年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~100年度 題 目：在一個邊長12公分的正方形紙張的四個角，分別剪下一個 正方形後，將它摺成一個無蓋的長方體(如下圖) 。 想想看，是不是剪下的正方形越大，容積就會 越大？ 請把理由寫出來。 12公分

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~101年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~101年度 題 目：下表是甲、乙、丙三家超商飲料的特價情形： 小蘭總共要買10瓶每瓶原價20元的飲料，你會建議她到哪一 家超商買比較便宜呢？為什麼？把你的想法或做法寫下來。 評量目的：了解學生是否能認識打折的意義，是否能將所學應用於 日常生活中。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~102年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~102年度 題 目：右圖表示一張百格板。 請你在下圖中用塗色或畫斜線的方式， 分別畫出0.6張和0.24張百格板。 評量目的：本試題主要在評量學生是否能理解小數的意義， 並在圖形上表徵出來。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~103年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~103年度 題 目：把一個正方形農地分割成甲、乙、丙、丁四個長方形。 甲的面積是6平方公尺，乙的面積是21平方公尺，並量出 乙的一邊長是7公尺，如圖。求丙、丁的面積分別是多少 平方公尺？把你的想法或做法寫在答案卡上。 評量目的：本試題主要在評量學生是否能運用題目所提供的資訊及 長方形和正方形面積公式，推算出題目所要求的面積。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~104年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~104年度 題 目：將8個1平方公分的正方形，利用邊靠邊的方式 拼成下面圖形： (1)這個圖形的周長是多少？ (2)如果再增加1個1平方公分的正方形，應該要拼放在哪 裡，才會使拼組後的圖形周長不變？在下圖中畫出你 拼放的位置，並將所有可能的拼法都畫出來。 評量目的：本試題主要在評量學生能否認識並實測周長。

柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~104年度 柒、命題實例 臺北市能力檢測建構反應題~104年度 題 目：有一個數學問題：「爸爸買了兩顆西瓜，分別 重8公斤和10公斤，他一共付了432元，西瓜 1公斤賣多少元？」 全班討論的做法如右: 8 + 10 = 18(公斤) 432÷ 18 = 24(元) 小傑將這題的做法用一個算式記成：432÷8+10=24 你覺得小傑的記法正確嗎？為什麼？把你的想法寫下來。 評量目的：本試題主要在評量學生能否用併式紀錄兩步驟問題。

捌、測驗編製 ~試題難度~ ※測驗的編製計畫會因測驗目的的不同，而有不同的考量，因此在 進行測驗的規劃時，必須清楚測驗的目標為何，目標不同，試題 內容及難易度也不一樣。 ※安置性的測驗~其試題的困難度較低，但必須包含每一項必要的 起點行為，以便將學生安置在適當的教學計劃中。 ※診斷性的測驗~其試題難度不必太高，但試題必須包含學生常犯 的錯誤，以找出特出錯誤的類型和原因。 ※總結性的測驗~其試題必須反映教育目標，且試題難度的分布範圍 較廣，以評量學生的學習結果，評量結果主要是用 來確定教育目標是否達成

捌、測驗編製 ~雙向細目表(一) ※測驗編製前應先建立雙向細目表的「細目」，並以雙向細目表為 命題的依據。

捌、測驗編製 ~雙向細目表(二)

捌、測驗編製 ~編製流程~ ※數學測驗編製的流程如下： 1.確定測驗的目的 2.分析單元目標 3.分析活動目標 4.設計雙向細目表 5.選擇試題的題型及編擬試題 6.編製測驗 7.審題及修正測驗 8.完成測驗編製

玖、審題實作 ~五年級~

玖、審題實作 ~五年級~

玖、審題實作 ~五年級~

玖、審題實作 ~五年級~

玖、審題實作 ~五年級~

玖、審題實作 ~五年級~

玖、審題實作 ~五年級~

拾、結語 ※數學的評量不宜考記憶性的題目，也不宜考太艱深、數字太繁雜 ※評量是檢驗教學效果的過程，教師應透過各種評量方式，來改善 自己的教學，且視教學現場的需要，選擇適切的評量方式。 ※數學的評量不宜考記憶性的題目，也不宜考太艱深、數字太繁雜 的計算題目，無論計算題或應用題，數字都要經過縝密設計。 ※數學評量不是僅出例行性的題目，也應試著考些非例行性的題目， 讓孩子養成思考的習慣。 ※希望老師能妥善利用數學評量，透過評量了解教學成效及學生學 習的 困難，以便進行有效的補救教學。

拾、結語 ※一份優良的試題可以準確的考驗學生所學得之能力， 亦可從學生的錯誤類型中讓教師了解教學之不足。 ※一張好的數學試卷應注意下列幾點： 1.試題的難易度宜適中。 2.整張試卷的題型要多元，至少要包括選擇、填充、 計算及應用……等題型，。 3.整張考卷各單元的配分，能依其授課時數做較適當 的分配。 4.各單元試題類型應兼顧概念理解、程序知識與 應用解題。 5.題幹敘述要完整……。

謝 謝 聆 聽 祝 教 學 愉 快