6.4 面積與微積分基本定理

6.4 面積與微積分基本定理 學習目標 求定積分值。 利用微積分基本定理求定積分值。 利用定積分求解邊際分析的問題。 求函數在閉區間的平均值。 利用偶函數與奇函數的性質求定積分。 求年金。 第六章　積分與其應用 P.6-27

面積與定積分 在幾何學中，面積為定義某個區域大小的數值，矩形、三角形和圓形的簡單區域都有面積公式。 本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積，如圖 6.5 中區域R 的面積。 第六章　積分與其應用 P.6-27

面積與定積分 第六章　積分與其應用 P.6-27

面積與定積分 第六章　積分與其應用 P.6-27 圖6.5

範例 1　求定積分值 求定積分 。 第六章　積分與其應用 P.6-27

範例 1　求定積分值 （解） 代表圖形 f(x) ＝ 2x、x 軸與直線 x ＝ 2 所圍成區域的面積，如圖 6.6 所示。這區域的形狀為三角形，高為 4 且底為 2。利用三角形的面積公式可求得 第六章　積分與其應用 P.6-27

範例 1　求定積分值 （解） 第六章　積分與其應用 P.6-27 圖6.6

檢查站 1 以幾何的面積公式來求定積分 ，並以簡圖來驗證答案。 第六章　積分與其應用 P.6-27

微積分基本定理 函數 A(x) 為圖 6.7 中陰影區域的面積。 欲知 A 和 f 的關係，可令 x 的增加量為 Δx，則面積的增加量為 ΔA，再令 f(m) 和 f(M) 分別代表 f 在閉區間 [x, x ＋ Δx] 的極小值與極大值。 第六章　積分與其應用 P.6-28

微積分基本定理 第六章　積分與其應用 P.6-28 圖6.7

微積分基本定理 第六章　積分與其應用 P.6-28 圖6.8

微積分基本定理 依圖 6.8，可建立下列的不等式。 第六章　積分與其應用 P.6-28

微積分基本定理 故 f (x) = A (x) 和 A(x) = F (x) + C，其中 F (x) = f (x) 。因為 A (a) = 0，可得 C =－ F (a)，所以 A (x) = F (x)－F (a)，即 由上面的方程式可知，若能找到 f 的反導數，即 可利用該反導數來計算定積分 ，此結果稱為微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)。 第六章　積分與其應用 P.6-28

微積分基本定理 第六章　積分與其應用 P.6-28

微積分基本定理 第六章　積分與其應用 P.6-29

微積分基本定理 在微積分基本定理的推導過程中，假設 f 在閉區間 [a, b] 為非負值，則定積分就是面積。如今，這個定理可放寬定義，使得函數f 在閉區間 [a, b] 可部分或全部為負值。更具體的說，若 f 為在閉區間 [a, b] 的任一連續函數，則從 a 到 b 的定積分可記為 其中 F 為 f 的反導數。請注意，定積分不一定代表面積，它可以是負數、零或正數。 第六章　積分與其應用 P.6-29

微積分基本定理 第六章　積分與其應用 P.6-29

學習提示 請確實了解不定積分與定積分的差異。不定積分 表示一個函數族，每個成員都是 f 的反導數，然而定積分 則是一個數值。 第六章　積分與其應用 P.6-29

範例 2 以微積分基本定理求面積 求 x 軸與函數圖形 f(x) ＝ x2 － 1，1 ≤ x ≤ 2 所圍成區域的面積。 範例 2　以微積分基本定理求面積 求 x 軸與函數圖形 f(x) ＝ x2 － 1，1 ≤ x ≤ 2 所圍成區域的面積。 第六章　積分與其應用 P.6-30

範例 2　以微積分基本定理求面積（解） 如圖 6.9 所示，在區間 1 ≤ x ≤ 2，f(x) ≥ 0。故可用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基本定理即可求得此面積。 所以，該區域的面積為 平方單位。 第六章　積分與其應用 P.6-30

範例 2　以微積分基本定理求面積（解） 第六章　積分與其應用 P.6-30 圖6.9

檢查站 2 求 x 軸與函數圖形f(x) ＝ x2 ＋ 1，2 ≤ x ≤ 3所圍成區域的面積。 第六章　積分與其應用 P.6-30

學習提示 在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議將反導數的積分上下限標示在不同的括號中，如範例 2 所示。 第六章 積分與其應用 第六章　積分與其應用 P.6-30

範例 3　求定積分 求定積分 ，並畫出此積分所代表面積的區域。 第六章　積分與其應用 P.6-30

範例 3　求定積分 （解） 此區域的圖形如圖 6.10 所示。 第六章　積分與其應用 P.6-30

範例 3　求定積分 （解） 第六章　積分與其應用 P.6-30 圖6.10

檢查站 3 求 。 第六章　積分與其應用 P.6-30

範例 4　求定積分 求下列定積分。 第六章　積分與其應用 P.6-31

範例 4　求定積分 （解） 第六章　積分與其應用 P.6-31

範例 4　求定積分 （解） 第六章　積分與其應用 P.6-31

學習提示 請注意，範例 4(c) 的定積分之值為負數。 第六章　積分與其應用 P.6-31

檢查站 4 求下列定積分。 第六章　積分與其應用 P.6-31

範例 5　絕對值的解釋 計算 。 第六章　積分與其應用 P.6-31

範例 5　絕對值的解釋 （解） 該定積分代表的區域畫在圖 6.11，由於絕對值的意義為 第六章　積分與其應用 P.6-31

範例 5　絕對值的解釋 （解） 第六章　積分與其應用 P.6-31 圖6.11

範例 5　絕對值的解釋 （解） 再利用定積分的性質 3，將積分改寫成兩個定積分的和。 第六章　積分與其應用 P.6-31

檢查站 5 求 。 第六章　積分與其應用 P.6-31

邊際分析 在介紹導數與微分量時 (3.3 與 4.8 節)，我們討論過邊際分析。在給定成本、收入或利潤函數時，導數可用來估算多生產或銷售一單位產品時的額外成本、收入或利潤。本節則採反向推算；即給定邊際成本、邊際收入或邊際利潤，在多銷售一單位或幾個單位時，以定積分來計算成本、收入或利潤的實際增加量或減少量。 第六章　積分與其應用 P.6-31~6-32

邊際分析 譬如，我們想求得銷售量從 x1 增加到 x2 時的額外收入，若已知收入函數 R，只要將 R(x2) 減去 R(x1)；若不知收入函數，可以利用邊際收入函數 dR/dx，以定積分 　來求得額外的收入。 第六章　積分與其應用 P.6-32

範例 6 分析利潤函數 某產品的邊際利潤函數可表示為 a. 求銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤。 範例 6　分析利潤函數 某產品的邊際利潤函數可表示為 a. 求銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤。 b. 求銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤。 第六章　積分與其應用 P.6-32

範例 6　分析利潤函數 （解） a. 當銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤為 第六章　積分與其應用 P.6-32

範例 6　分析利潤函數 （解） b. 當銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤為 第六章　積分與其應用 P.6-32

檢查站 6 某產品的邊際利潤函數可表示為 a. 求銷售量從 100 增加到 101時的額外利潤。 b. 求銷售量從 100 增加到 110時的額外利潤。 第六章　積分與其應用 P.6-32

平均值 函數在某閉區間的平均值的定義如下： 在 4.5 節提到以平均成本函數來計算生產量對成本的影響，下個例子將以積分來求得平均成本，來計算時間對成本的影響。 第六章　積分與其應用 P.6-32~6-33

範例 7 求平均成本 在兩年期間內，生產 MP3 播放機的單位成本 c 可表示為 範例 7 求平均成本 在兩年期間內，生產 MP3 播放機的單位成本 c 可表示為 c = 0.005t2 + 0.01t + 13.15, 0 ≤ t ≤ 24 其中 t 是時間 (月)。試估算這兩年內的單位平均成本。 第六章　積分與其應用 P.6-33

範例 7 求平均成本（解） 單位平均成本可由對 c 在 [0, 24] 積分來算出， 第六章　積分與其應用 P.6-33

範例 7 求平均成本（解） 第六章　積分與其應用 P.6-33 圖6.12

檢查站 7 生產直排輪的單位成本 c 可表示為 c ＝ 0.005t2 ＋ 0.02t ＋ 12.5，0 ≤ t ≤ 24， 第六章　積分與其應用 P.6-33

平均值 若要確認範例 7 所算出的平均值是否合理，可使用試算表軟體，如圖所示，試算表假設從剛開始t ＝ 0 到結束 t ＝ 24，每個月只生產一單位的產品，當 t ＝ 0 時，成本為 c = 0.005(0)2 + 0.01(0) + 13.15 = $13.15 當 t ＝ 1 時，成本為 c = 0.005(1)2 + 0.01(1) + 13.15  $13.17 第六章　積分與其應用 P.6-33

平均值 第六章　積分與其應用 P.6-33

平均值 以此類推。請注意，從試算表的結果可知每個月的成本是遞增的，其 25 個月的平均值為 $14.25。所以，範例 7 的單位平均成本是合理的。 第六章　積分與其應用 P.6-33

偶函數與奇函數 幾個常見的函數圖形往往對稱於 y 軸或原點，參見圖 6.13；若f 的圖形對稱於 y 軸，如圖 6.13(a) 所示，則 f(－x) ＝ f(x) 偶函數 且 f 稱為偶函數 (even function)；若 f 的圖形對稱於原點，如圖 6.13(b)所示，則 f(－x) ＝ －f(x) 奇函數 且 f 稱為奇函數 (odd function)。 第六章　積分與其應用 P.6-33

偶函數與奇函數 第六章　積分與其應用 P.6-34 圖6.33

偶函數與奇函數 第六章　積分與其應用 P.6-34

範例 8　偶函數與奇函數的積分 求下列定積分。 第六章　積分與其應用 P.6-34

範例 8 偶函數與奇函數的積分（解） a. 因為 f(x) ＝ x2 為偶函數，故 b. 因為 f(x) ＝ x3 為奇函數，故 範例 8　偶函數與奇函數的積分（解） a. 因為 f(x) ＝ x2 為偶函數，故 b. 因為 f(x) ＝ x3 為奇函數，故 第六章　積分與其應用 P.6-34

檢查站 8 計算下列定積分。 第六章　積分與其應用 P.6-34

年金 在一時段內，定時地以相同金額付款，稱為年金 (annuity)。年金的例子可為薪資儲蓄規劃、房屋貸款月付額，及個人退休帳戶等。年金終值 (amount of annuity) 為全部支付額再加上利息所得，可由下列的方法算出。 第六章　積分與其應用 P.6-34

年金 第六章　積分與其應用 P.6-35

範例 9　求年金終值 若每年以 $2,000 存入 15 年期，年利率為 5% 且連續複利的個人退休帳戶 (IRA)，則 15 年後的 IRA 帳戶餘額為何？ 第六章　積分與其應用 P.6-35

範例 9　求年金終值 （解） 每年存入的所得函數為 c(t) ＝ 2000，則 15 年後的年金終值為 第六章　積分與其應用 P.6-35

檢查站 9 若每年以 $1000 存入 10 年期，年利率為 4% 且連續複利的儲蓄帳戶，則 10 年後帳戶有多少錢？ 第六章 積分與其應用 第六章　積分與其應用 P.6-35

總結 (6.4 節) 寫出定積分的定義，參考範例 1。 寫出微積分基本定理，參考範例 2 和 3。 寫出定積分的性質，參考範例 4 和 5。 寫出函數平均值的定義，參考範例 7。 寫出對偶函數與奇函數積分的法則，參考範例 8。 第六章　積分與其應用 P.6-35