第六章 定积分及其应用 前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这是积分学的一个基本问题——不定积分. 第六章 定积分及其应用 前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这是积分学的一个基本问题——不定积分. 这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分. 本章的主要问题有: 1.定积分的概念。 2.定积分的性质。 3.定积分与不定积分的关系。 4.定积分的计算和定积分的应用。

第一节 定积分的概念 一、问题的提出 实例1 求曲边梯形的面积A a b x y o

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

曲边梯形如图所示，

曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为

实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．

（1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值

二、定积分的定义 定义

记为 积分和 积分上限 被积表达式 积分变量 被积函数 积分下限

注意：

三、定积分存在定理 定理1 定理2

四、定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

例1 利用定义计算定积分 解

五、 定积分的性质 性质1 函数的和 (差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即

性质3 如果将积分区间分成两部分,则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和,即设a＜c＜b,则 另外，按定积分的补充规定，不论a,b,c的相对位置 如何，总有等式 性质4 如果在区间[a,b]上f(x)≡1,则

性质5 推论1 如果在区间[a,b] 上f(x)≥g(x),则 推论2 性质6 设M,m分别是函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则

性质7(定积分中值定理) 积分中值公式的几何解释：

例2 解 所以f(x)在[1,2] 上单调减少

例 3 证 则

例4 解 由积分中值定理,有

§6.2 微积分基本定理 Fundamental theorems of calculus §6.2 微积分基本定理 Fundamental theorems of calculus 由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过 求积分和的极限来得到定积分的值, 却非常困难; 下面 寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 :牛顿——莱布尼兹公式(Newton-Leibniz Formula)计算法.

一、 积分上限函数 设函数f(x)在[a,b]上可积,对于x∈[a,b],则函数f(x)在[a,x]上可积.定积分对每一个取定的x值都有一个对应值,记为 (x)是积分上限x的函数,称为积分上限函数,或称变上限函数或变上限积分． 注1

定理1(原函数存在定理) 设函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上限函数 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 证 取x充分小,使x+x∈(a,b),则 于是

由于 x→0时,  →x,而f(x)是连续函数,上式两边取极限有 亦即 或

注2 对于变上限的复合函数有以下推论 推论 若ƒ(x)在[a, b]上连续, (x)在[a, b]上可导, 则

例1 (2) 解 (2)

例2 设f(x)∈C（（-∞,+∞））,且满足方程 解 在方程两端对变量 求导得

例3 求 ,其中f(x)是(－∞，＋∞)内的连续函数． 解 由于 所以

二、微积分基本公式 定理2 设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则 证 因F(x)与 都是f(x)在[a,b]上的原函数, 只能相差一个常数C,即

则 ----微积分基本公式 或牛顿-莱布尼茨公式

由牛顿—莱布尼兹公式知: 要求ƒ(x)在[a, b]上的定积分 只须先求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x),再 计算F(x)在[a , b]上的改变量F(b) – F(a)即可.

例4 计算下列定积分

例5 求 解 原式 例6 设 , 求 . 解

2. 利用定积分的几何意义求定积分： （a＞0）. 解 根据定积分的几何意义知, 及x轴所围成的 表示由曲线 圆面积为 ,所以 (2) 解 根据定积分的几何意义知, 及x轴所围成的 表示由曲线 圆面积为 ,所以 圆的面积,而此

3. 求由方程 所确定的隐函数y=y(x)的导数. 解 方程两边对x求导数得: 又由已知方程有 ,即 . 于是有

所以当x=0时,I(x)有极小值,且极小值为I(0)=0. 有极值? 解 ,令 得驻点 ,又 所以当x=0时,I(x)有极小值,且极小值为I(0)=0. ,

(4) 解

6. 已知f(x)连续，且f(2)=3,求 解 .

§6.3 定积分的计算方法 由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分 的关键在于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 而由 由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分 的关键在于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 而由 第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几种方法来计算定积分 .

一.凑微分法 例1 计算 ． 例2 计算 解

二.换元积分法 定理1 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 而 x =(t) 又满足 (1) 在[α,β]上单调连续且具有连续导数; 证 设F(x)是ƒ(x)的一个原函数,

——此式称为定积分的换元公式. 在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题: (1) 所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件; (2) 换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”; (3) 求出 后,不必象 求不定积分那样把 (t)还原成 x 的函数, 而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可.

例1 当 a > 0时, 计算

例2 (1) 解

注 由几何意义知, 此定积分 即为圆 在第Ι象限的面积.

例3 设ƒ(x)在[−a, a]上连续, 则 证 (1)若为ƒ(x)偶函数, 则有ƒ(x)=ƒ(− x) 令x = −t, 则 d x = −d t, 且 从而

(2)若ƒ(x)为奇函数, 则有ƒ(x)=−ƒ(− x) 令x = −t, 则 d x = −d t, 且 从而 注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算.

例4 计算 解 原式 偶函数 奇函数 单位圆的面积

证 （1）设

（2）设

例6 解 上式两边对x求导,得 两边对x求导,得

解 设u=x-2,则当x=1时，u=-1;当x=4时，u=2．于是 例7 设函数f(x)= ,求 解 设u=x-2,则当x=1时，u=-1;当x=4时，u=2．于是 ． ．

三.分部积分法 定理2 若u = u(x)及v = v(x)在[a, b]上有连续导数, 则 证 因d(uv) = udv + vdu, 两边积分得 例8 计算

例9 计算 解

例10 计算 解

例11 设 求 解

例12 设 在[0, 1]上连续, 求 解

例13 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证

积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止

于是

思考题

思考题解答

(8) ,则 解 令 时, 当x=0时,t=0;当 , 于是

(11) 解 令 ,则 ,当x=1时,t=1;当x=2,t= 于是 ;

(x＞0)； 3. 证明下列等式： 证 令 则 , 即

，若f(t)为奇函数,则f(-t)=- f(t),从而 证 令 是偶函数； 若f(t)是连续函数且为偶函数，证明 是奇函数. . ，若f(t)为奇函数,则f(-t)=- f(t),从而 证 令 所以 是偶函数. 若f(t)为偶函数,则f(-t)=f(t),从而 所以 是奇函数.

5※. 设f(x)在(-∞，+∞)内连续，且F(x)= 证 其中 在x与0之间.当x>0时,x> ,由f(x)单调不减有 ,即 当x<0 时, > x,由f(x)单调不减有 ;综上所述知F(x)单调不增 ,即

3※. 利用分部积分公式证明： 证明

练 习 题

§ 6.4 定积分的应用 定积分的应用极其广泛, 以下仅介绍它在几何与经济上的应用; 并希望同学们通过本节的学习能熟练地掌握运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法—— 微元法 (元素法) 一.微元法的基本思想 如图:我们已经知道，曲边梯形AabB 的面积S= 这里的被积表达式 y y=ƒ(x) B ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]上的任意 小区间[ x, x + ∆ x] 上的窄曲边梯形 A C D H DEFH 面积ΔS 的近似值, E F o a x x+Δx b x 即

S= ΔS=ƒ(x)dx + o(dx). 当∆x = dx→0时, 根据微分的定义有 = . dS 于是 y ΔS=ƒ(x)dx + o(dx). 当∆x = dx→0时, y=ƒ(x) B A C 根据微分的定义有 = . D dS H 于是 S= E F o a x x x+Δx b 求曲边梯形 AabB 的面积 S 的方法为: (1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],求出总量 S 的微分dS = ƒ(x)dx ; (面积微元) (2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积微元进行求和累加) 即可。

抛开 S 的具体含义，把这种思想加以抽象, 就得到微元法思想的一般表述: 若总量A与变量 x 的变化区间[a, b]有关, 且对区间有 可加性 (即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和); 且在区间[x , x + d x ] 上对应分量的近似值 为ƒ(x)dx , 则有 dA=ƒ(x)dx 总量 数学上将这种思想方法称之为微元法.总量A的微 分dA=ƒ(x)dx, 称为总量A 的积分微元.

1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间, 且其 二 求平面图形的面积 1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间, 且其 上下边界的方程分别为 y = ƒ(x)和 y = g(x) 则图形的面积为 y y=ƒ(x) y=g(x) o a x x+dx b x

为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形。 解 例 1 计算由两条抛物线: 所围成图形的面积。 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形。 解 为了定出图形的所在范围, 应先求出这两条抛物线的交点，为此, y (1,1) 解方程组 o x+dx x 即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1)。 x 1 注意对称性 从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间。 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 则

解 = 例2 计算由抛物线 y=-x2+1与 y=x2-x 所围图形的面积A． 两抛物线交点由 于是图形位于直线x= 解得 及(1，0)，

2. 若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左右边界的方程分别为x =φ (y) 及x =ψ (y), 则图形的面积为 y+dy y x=φ(y) o x x=ψ(y) c

例3 计算由抛物线 与直线 y = x - 4 所围成图 形的面积。 解 解方程组 (8,4) y+dy y x 即这两条抛物线的交点为 (2, -2) 及 (8, 4)。 o (2,– 2) – 4 x=y+4 图形在直线 y = -2 及 y = 4 之间。 取 y 为积分变量,且 y ∈[-2, 4], 微元为

则 思考: 若选 x 为积分变量，应该如何做? y (8,4) x o 4 8 (2,– 2) – 4

例4 求由曲线y=sinx,y=cosx及直线x=0, 所围图形的面积A． 解 两线交点由 解得 , 取x为积分变量，有 ＝2( -1)．

解 因为椭圆关于两坐标轴对称，所以椭圆所围图形的面积 是第一象限内那部分面积的4倍，即有 例5 求椭圆 所围图形的面积A． 解 因为椭圆关于两坐标轴对称，所以椭圆所围图形的面积 是第一象限内那部分面积的4倍，即有 令 x=acost， 则 dx=-asintdt． 当x=0时，t= ． ;当x= 时，t=0．于是

例6 设曲线 x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形 被曲线 分为面积相等的两部分，试确定a值。 解 如图， 解方程组 而 再由 得

求由下列曲线所围成的平面图形的面积 (1)

(5) y= , x轴与直线y=x及x=2;

三. 求立体的体积 1.平行截面面积已知的立体的体积 已知介于过x轴上点x=a及x=b且垂直于x轴的两平行平面之间的立体，其在x(a≤x≤b)处垂直于x轴的截面面积可以用x的连续函数A(x)来表示，求该立体的体积V. 在[a,b]内取小区间[x,x+dx], 用以底面积为A(x),高为dx的柱 体体积近似代替小区间[x,x+dx]上 对应的体积部分量,则得体积元素 于是

对于介于过y轴上点y=c及y=d且垂直于y轴的两平行平面之间的立体,若在y(c≤y≤d)处垂直于y轴的截面面积可以用y的连续函数B(y)来表示,则其体积为

例7 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与 底面交成角α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解 建立如图所示的坐标系, 从而底面圆的方程为 – R S(x) 设x为[–R,R]上之任意一点, α y o y 过该点且垂直 x 轴的截面 α x 面积为S(x),则由三角形的面积公式, 有 R x 则

都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形 绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的 2.旋转体的体积 y 旋转体就是由一个平面图形 绕这平面内一条直线旋转一周而 成的立体 。这条直线叫做旋转轴. y=ƒ(x) o a b x 圆柱、圆锥、圆台、球体 都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形 绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的 直径旋转一周而成的立体, 所以它们都是旋转体。 上述旋转体都可以看作是由连续曲线y =ƒ(x) 、 直线 x = a 、 直线x = b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周而成的立体.

在[a, b]上任取一个小区间[x, x + dx], 则此小区间上的 的体积微元 窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 下面用微元法来求它的体积. y y y=ƒ(x) y=ƒ(x) o a x x+dx b x o a x x+dx b x 在[a, b]上任取一个小区间[x, x + dx], 则此小区间上的 的体积微元 窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 (近似值)为 在[a, b]上作定积分得

类似地, 由曲线 x =φ(y) 、 直线 y = c 、 = d(c<d)与 y 轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的 体积为 y d y+dy y o x=φ(y) x c

计算由椭圆 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积. 例8 解 该旋转椭球体可以看作是由 和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体.

例9 求曲线 和 y = 0所围成的图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积. 解 为了确定积分区间, 应先求 两曲线之交点. y (1,1) 解方程组 o x x (2,0) 绕 x 轴旋转的体积微元为 在[0, 2]上作定积分得

y (1,1) o 1 x (2,0) 则绕 y 轴旋转的体积微元为 另解参看17页的方法. 故

四、 定积分的经济学应用 1.由边际函数求总函数 设某产品的固定成本为C0,边际成本函数为C(Q)，边际收益函数为R(Q),其中Q为产量,并假定该产品处于产销平衡状态. 则 总成本函数 总收益函数 总利润函数

例10 设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量 x(单位: 百台)的函数 总收入R(单位:万元)的 边际收入 是产量 x 的函数 (1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各 增加多少? (2)已知固定成本C(0)=1万元.分别求出总成本、总收益、 总利润与产量 x 的函数关系式; (3)产量为多少时, 总利润最大; 并求此时的最大总利润,总成本及总收益各为多少?

解 (1)产量由1百台增加到5百台时总成本与总 收入分别为 (2)因总成本是固定成本与可变成本的和, 则总成本 函数为 总收益为 则总利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) =

得驻点 x = 4 故当产量 x = 4(百台)时, 有最大利润 L(4) = 9(万元). 此时的总成本为 C(4) =19 (万元) R(4) = 28 (万元). 及总收入为

2. 消费者剩余和生产者剩余 供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量,供给曲线是单调递增的． 需求曲线则反映了顾客的购买行为.需求曲线随价格的上升而单调递减. 在市场经济中,有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P*更高的价格,由此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS) .

右边第一项表示消费者愿意支出的货币量,第二项表示消费者的实际支出. 有时也有一些生产者愿意以比市场价格低的价格出售他们的商品,由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS).

设在时间区间[0,T]内t时刻的单位时间收入即边际收入(或称为收入率)为f(t), 则在时间区间[t,t+dt]内收入的近似值为 ， 3.资本现值与投资问题 现有货币 元, 若按年利率r作连续复利计算,则t年后的价值为 ert元;反之,若t年后要有货币A元,则按连续复利计算,现在应有 Ae-rt元,称此值为资本现值． 设在时间区间[0,T]内t时刻的单位时间收入即边际收入(或称为收入率)为f(t), 则在时间区间[t,t+dt]内收入的近似值为 ， 若按年利率为r的连续复利计算， 其现值为 在[0,T]内总收入的现值为

若收入率f(t)=a(a为常数),称此为均匀收入率. 如果年利率r也为常数,则总收入的现值为

五、 定积分在其他方面的应用 例11 城市人口数的分布规律是:离市中心越近人口密度越大,离市中心越远,人口密度越小.若假设该城的边缘处人口密度为0,且以市中心为心,r为半径的圆型区域上人口的分布密度为 (r)=10000(20-r) (人/每平方千米)． 试求出这个城市的人口总数N． 解 城市半径可由(r)=10000(20-r)=0得r=20千米.

例 12 若某公路在距第1个收费站x千米处的汽车密度(以每千米多少辆汽车为单位)为 ,试求距第1个收费站40千米的一段公路上有多少辆汽车. 解

2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的 旋转体的体积：

§6.5 广义积分 前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a, b]有限, 而且 Improper integral 前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a, b]有限, 而且 还要求被积函数ƒ(x)在[a , b]上有界. 然而实际还经常遇到 无限区间或无界函数的积分问题. 这两类积分统称为广义积分. 其中前者称为无穷积分, 后者称为瑕积分. 一.无穷积分 形如 的积分,统称为无穷积分.

定义2 设ƒ(x)在[a, +∞)上连续, 任取 b>a , 若极限 存在, 则称无穷积分 收敛; 否则, 称无穷积分 发散. 类似地可定义 只有当无穷积分 同时收敛时, 才称 收敛.

例1 计算广义积分

例2 讨论无穷积分 解 当 p =1时, 当p ≠ 1时, 重要结论: 当p > 1时, 收敛; 当p ≤ 1时, 发散.

判断下列广义积分的 敛散性，若收敛，则求其值 判断下列广义积分的 敛散性，若收敛，则求其值 (1) 此广义积分发散. .(2) 不存在,所以,此广义积分发散. ,收敛.

二.瑕积分 若ƒ(x)在[a, b]上有无界点(即无穷间断点), 则称积分 为瑕积分, 并称ƒ(x)的无界点为瑕点. 若对于任给的 定义2 设ƒ(x)在(a, b]上连续, 且 则称瑕积分 ε>0, 极限 收敛; 否则, 称瑕积分

a为瑕点。 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点 c(a<c<b)时, 瑕积分 的敛散性, 即 (1)若瑕点为b, 则定义 例3 计算瑕积分 a为瑕点。

例4 讨论瑕积分 (p>0)的敛散性.

例4 讨论瑕积分 (p>0)的敛散性. 解 x = a为瑕点, 而当 p = 1时, 而当p ≠ 1时, 重要结论: 当 p<1时, 收敛; 当 p≥1时, 发散.

定义: 可以证明

例5 (1) 解

此积分是概率论中常用的积分.

此广义积分发散.

总复习 一.填空题

二.计算