选修1-1第3章、2-2第1章 导数及其应用 DAO SHU JI QI YING YONG

 内容 一、本章主要内容与结构 （1）导数的概念：平均变化率，瞬时变化率——导数  内容 （1）导数的概念：平均变化率，瞬时变化率——导数 （2）导数的运算：常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导数，简单复合函数的导数 （3）导数在研究函数中的应用：单调性，极值点，最大值与最小值 （4）导数在实际生活中的应用 （5）定积分：曲边形的面积，定积分，微积分基本定理

 结构 导数 定积分 实际背景 导 数 的 概 念 导 数 的 运 算 导 数 的 应 用 定积分的概念 微分与积分的关系

 重点  难点 二、本章教学重点和难点 （1）导数的概念、运算及其应用； （2）利用微积分基本定理计算定积分。 复合函数的导数，定积分的概念，微积分基本定理

三、内容解析 1．导数的概念 导 言 数学刻画 平均变化率 实 际 背 景 平均变化率 瞬时变化率 导 数

（1）平均变化率  生活实例——导言  几何背景 如何刻画变量变化的“快”与“慢”？ 曲线的“陡峭”程度不同  生活实例——导言 导言  几何背景 如何刻画变量变化的“快”与“慢”？ 直观描述 曲线的“陡峭”程度不同 如何刻画“陡峭”程度 数学对象：平均变化率（斜率）

（2）瞬时变化率——导数  曲线上一点处的导数 (直观描述/探究/数值分析) 如图所示，直线l1，l2为经过 曲线上一点P的两条直线． y O x l1 l2 P  曲线上一点处的导数 (直观描述/探究/数值分析) 如图所示，直线l1，l2为经过 曲线上一点P的两条直线． （1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线； （2）在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？ （3）在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线l4吗？ 割线→切线 切线的斜率

 瞬时速度和瞬时加速度  运动物体位移S(t)的平均变化率 ,如果当t无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t = t0时的 瞬时速度。  运动物体速度的平均变化率 ,如果当t无限趋近于0时， 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t = t0时的瞬时 加速度。

 一般化——导数 函数在某一点处的瞬时变化率 导数 设函数y = f (x)在区间(a，b)上有定义，x0  (a, b)，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f (x)在点x = x0处可导，并称该常数A为函数f (x)在x = x0处的导数(derivative)，记作f '(x0)． 注意：书写格式问题

2．导数的运算 （1）求函数的导数的流程图—— 求导流程图 （2）会根据定义求y = c， y = x， y = x2， y = x3， y = ，y = 的导数。 （3）基本初等函数的求导公式—— 求导公式 （4）函数的和、差、积、商的导数——会用求导法则，证明不作要求 （5）复合函数f(ax + b)的导数

3．导数在研究函数中的应用 （1）单调性——对于函数y = f(x)： （2）极值点——函数的局部性质 如果在某区间上f '(x) > 0，那么f(x)为该区间上的增函数； 如果在某区间上f '(x) < 0，那么f(x)为该区间上的减函数． 注意：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f '(x) > 0吗？ （2）极值点——函数的局部性质 （3）最大值与最小值——函数的整体性质

4．导数在实际生活中的应用 （1）案例1——无盖长方体容积问题 （2）案例2——罐头设计问题 （3）案例3——电功率问题 录像 （2）案例2——罐头设计问题 （3）案例3——电功率问题 （4）案例4——照度问题 （5）案例5——边际成本及利润问题

5．定积分 （1）曲边梯形的面积 算法思想 逼近思想 提出问题及呈现方式——  从微积分的两个基本问题出发，提出课题  从特例情形(曲线为直线、折线)引入一般性问题 用以直代曲的方法求曲边图形的面积——  提出3种以直代曲的方案，以其中之一为例说明 算法思想 逼近思想

（2）定积分 （3）微积分基本定理  提出问题  呈现方式  关于随机模拟 定积分的定义 按“分割、以直代曲、作和、逼近”求积分 规律？  呈现方式 给出结论 特例验证 推导 阅读  关于随机模拟 随机模拟

四、教学建议 1．重视过程 2．揭示本质 提出问题的过程 / 思考问题的过程 解决问题的过程 / 概念形成的过程 提出问题的过程 / 思考问题的过程 解决问题的过程 / 概念形成的过程 2．揭示本质 注重直观，贴近生活 / 为何不先引入极限概念 有限与无限 / 形的逼近与量的逼近 借助现代技术

3．导函数的概念 x = 1、x = 2、…处的导数 x = a 处的导数 导函数（导数是x的函数） x = x 处的导数

5．有效改进教与学的方式（求导公式与求导法则的教学） 4．注重算法思想（求导步骤） 5．有效改进教与学的方式（求导公式与求导法则的教学） 6．注重教材的整体贯通 P22练习6为复合函数的导数打伏笔 P24阅读将复合函数的导数与函数图像变换相贯穿 P27习题13为定积分打伏笔 P38阅读是圆锥曲线部分的补充说明(光学性质) P57习题17与必修2中立体几何中的习题相呼应

特殊函数的导数 特殊函数的积分 7．感受数学研究的模式和数学知识的结构 导数——定义 积分——定义 运 算 法 则 导数的运算 积分的运算 微分与积分的关系 特殊函数的导数 特殊函数的积分

谢谢！