第二节 极限的概念 一、数列的极限 二 、函数的极限 第一章 目标： 理解函数极限的定义；无穷小的性质 掌握极限四则运算法则；运用两个重要极限求极限。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、数列的极限 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 定义: 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 总有 当 n > N 时, 总有 则称该数列 记作 的极限为 a , 或 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1, 收 敛 发 散 趋势不定 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1 . 如果当x的绝对值无限增大时，函数f（x）趋于一个常数A，则称当 时函数f(x)以常数 A 为极限。记作 或 二、函数的极限 1. 时函数的极限 定义1 . 如果当x的绝对值无限增大时，函数f（x）趋于一个常数A，则称当 时函数f(x)以常数 A 为极限。记作 或 定义2 . 如果当x>0且无限增大时，函数f（x）趋于一个常数A，则称当 时函数f(x)以常数 A 为极限。记作 或 定义3. 如果当x<0且无限增大时，函数f（x）趋于一个常数A，则称当 时函数f(x)以常数 A 为极限。记作 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2 求 例3 求 例4 求

2. 时函数的极限 定义 设函数y=f（x）在点 的某个去心领域内有定义，如果当x趋于 时，函数f（x）趋于一个常数A，则称当 时，函数f(x)以常数 A 为极限。记作 或 例5 根据极限定义说明： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 左极限与右极限 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 3 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 设函数 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 3 . 因为 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7 设 ，试判断 是否存在 解： 因为 左右极限均存在且相等，所以， 存在，且等于3

第一章 第三节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 无穷小量 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷小量，简称无穷小 . 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 其中 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 无穷大 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷大量，简称无穷大 . 记作 如， 注意: 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、无穷小与无穷大的关系 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 为无穷大, 则 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、无穷小量的性质 性质1 有限个无穷小量的代数和任然是无穷小量。 性质2 有界变量乘无穷小量任然是无穷小量。 性质1 有限个无穷小量的代数和任然是无穷小量。 性质2 有界变量乘无穷小量任然是无穷小量。 性质3 常数乘无穷小量任然是无穷小量。 性质4 无穷小量乘无穷小量任然是无穷小量。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8 求 解： 因为 又因 所以，根据性质2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

五、无穷小量的阶 是同一变化过程中的两个无穷小量 定义 设 则称 是比 高阶的无穷小量。 （1）若 也称 是比 低阶的无穷小量。 （2）若 定义 设 则称 是比 高阶的无穷小量。 （1）若 也称 是比 低阶的无穷小量。 （2）若 （c是不为0的常数） 则称 与 是同阶无穷小量。 若c=1则称 与 是等阶无穷小量。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第一章 第四节 极限的性质与运算法则 一、 极限的性质 二、 极限的运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、极限的性质 性质1（惟一性）若极限 存在，则极限值惟一。 存在，则函数f（x）在 性质2（有界性）若极限 的某个空心邻域内有界。 性质3（保号性） 若 ( A < 0 ) 且 A > 0 , 则存在 若在 的某去心邻域内 , 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、极限的四则运算法则 定理 若 推论 设 存在，c为常数，n为正整数，则有 注意（1）每个参与运算的函数的极限存在； 定理 若 推论 设 存在，c为常数，n为正整数，则有 注意（1）每个参与运算的函数的极限存在； （2）商的极限要求分母的极限不为零。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结：一般的，有理分式当分母极限不为零时，则有 时的极限等于分子、分母在 处的函数值的商，即 例1求下列各极限 小结：一般的，有理分式当分母极限不为零时，则有 时的极限等于分子、分母在 处的函数值的商，即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结：一般的，有理分式当分母极限为零时，但分子极限不为零，则可先求原来函数倒数的极限。 例2求下列各极限 小结：一般的，有理分式当分母极限为零时，但分子极限不为零，则可先求原来函数倒数的极限。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3求下列各极限 小结： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第一章 第五节 两个重要极限 一、 极限存在的准则 二、 两个重要极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、极限存在准则 夹逼准则： 单调有界准则： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 两个重要极限 证: 当 时， △AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积 即 亦即 故有 显然有 证: 当 时， △AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积 即 亦即 故有 运行时, 点击“注”, 或按钮“注”, 运行计算该极限的过程, 运行结束自动返回. 显然有 注 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求 解: 例2. 求 解: 令 则 因此 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 求 解: 原式 = 例4. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 说明: 计算中注意利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 说明: 此极限也可写为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 求 解: 令 则 说明 ：若利用 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 求 解: 令 则 小结： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 两个重要极限 或 注: 代表相同的表达式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

刘徽(约225 – 295年) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率  的方法 : “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 .

柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.