第二节 柯西积分定理 3.2.1 Cauchy积分定理 3.2.2 Cauchy定理的推广 3.2.3 复周线情形的Cauchy定理 3.2.4 不定积分 3.2.4 小结与思考

引言: 目的 研究复积分与路径的无关性: 由例3.1受到的启发积分与路径无关与函数沿着围线的积分值为零有何关系 首先:若复积分与路径无关,则对任意围线C, C2 在其上任取两点按a(起点),b(终点) b C 将曲线C分成两部分 a 因为积分与路径无关,所以: C1

结论1:若函数f(z)的积分与路径无关, 反之:若对任意围线C,f(z)沿着C的积分为零,若复积分与路径无关, 则对任意两条以a为起点,b为终点的曲线C1,C2,令: C2 则C是周线，从而： b a C1 结论2: 函数f(z)的积分与路径无关,

目的 研究复积分与路径的无关性: 转换为研究函数沿着周线的积分为零: 观察上节例3.1 观察上节例3.2

由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 受此启发,Cahchy与1825年给出如下定理 1900,法国数学家Goursat给出如下定理: 如果f(z)A(D) f'(z) A(D) f'(z) C(D),这样就得到了定理3.3

3.3.单连通区域的Cauchy积分定理 定理3.3 柯西－古萨基本定理 此定理常称为柯西积分定理. 定理中的 C 可以不是简单曲线. 定理3.3 柯西－古萨基本定理 此定理常称为柯西积分定理. 定理中的 C 可以不是简单曲线. 古萨介绍 柯西介绍

3.2.2 Cauchy定理的推广 不必是简单闭曲线 推论3.4 柯西定理 推论3.5 柯西定理

与定理3.3等价的形式是: 定理3.3 如果周线 C的内部 是区域,(I(C)=D) 定理3.9 如果 C是周线, I(C)=D是区域

例1 解 根据柯西定理, 有 例2 证 由柯西－古萨定理,

由柯西－古萨定理, 由上节例4可知,

例3 解 根据柯西－古萨定理得

3.3.4 复周线情形的Cauchy定理 根据本章第一节例4可知, 由此希望将基本定理推广到多连域中.

1. 闭路变形原理 ︵

︵ ︵

得 ︵ ︵ ︵ ︵

说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理

2. 复周线情形的Cauchy定理 则称C+C1-+C2-+···+Cn-为复围线,D为其内部,记为I(D).

这个定理是计算周线内部有奇点的积分的有利武器!!!

例4 打洞! 解 依题意知, 根据复合闭路定理3.10,

Cauchy定理 重要公式 重要 公式 Cauchy定理

例5 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理,

例6 解

由复合闭路定理, 重要积分公式例3.2 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为C不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线C内即可.

例7 解 由上例可知

3.2.4原函数与不定积分 1. 带活动上限的积分: 定理3.5 由定理3.5可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图)

定理3.6 定理3.6 证 利用导数的定义来证.

(1) 由于积分与路线无关,

由积分的估值性质,

[证毕] 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.

由于在证明过程中只用到了两个结论: (1) 积分与路线无关, 定理3.6可以改写为: 定理3.7 (1) f(z)在D内的积分与路线无关,

2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证

[证毕] 根据以上讨论可知: 那末它就有无穷多个原函数,

3. 不定积分的定义: 定理3.8 (复积分的Newton-Leibnitz公式)

证 根据柯西基本定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.

例8 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 例9 使用“凑微分” 解

例10 解 由牛顿-莱布尼兹公式知,

例10 使用:“分部积分法” 另解

例11 解 利用分部积分法可得 课堂练习 答案

例12 解

例13 解 所以积分与路线无关, 根据N-L公式:

2.3.5 小结与思考 1. 通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理: 并注意定理成立的条件.

2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点. 常用结论: 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.

思考题: 1. 应用柯西–古萨定理应注意什么? 答案: (1) 注意定理的条件“单连通域”. (2) 注意定理的不能反过来用.

答案 2.复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题? 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法. 使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向.

答案 3. 解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同? 两者的提法和结果是类似的. 两者对函数的要求差异很大.

Augustin-Louis Cauchy 柯西资料 Augustin-Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France

古萨资料 Goursat Born: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, France Died: 25 Nov 1936 in Paris, France