第5章 間斷機率分佈

前言 如果生男生女得機會各半，那麼連生3個女兒的機率是多少？ 如果公車平均10分鐘一班，那麼等了15分鐘，公車還不來的機率有多大？ 如果產品的合格率是20%，那麼要挑到5件合格的產品之前，必須先挑到20件不合格的產品的機率有多大？ 這些問題都是在探討機率時會碰到的基本問題，本章和第六章就在說明這些機率分佈及其應用。

第一節 機率理論 （1） 機率理論主要可區分為三種主要理論： 1. 先天機率或事前機率（a priori probability）理論，又稱古典機率理論。 在一樣本空間（sample space）裡，共有N個樣本點，且每一個樣本點出現的機會相等。若事件A包括其中的nA的樣本點，事件A出現的機率：

第一節 機率理論 （2） 例如一個骰子有六點，且假設每點出現的機率都相等，那麼出現偶數點的機率就是 (1 + 1 + 1) / 6 = 0.5。 古典機率的缺點在於只適用於有限的樣本點。除此之外，既然假定每個樣本點的機會相等，那麼機率這個概念就變得多餘。

第一節 機率理論 （3） 2. 經驗機率（empirical probability） 要知道某事件出現的機率，就是實證的去做實驗。例如重複了N次實驗，事件A共出現了nA次，那麼事件A的機率就是 當N越大，機率就越準確。

第一節 機率理論 （6） 丟骰子10次，也許會發現出現偶數點的機率離一半甚遠。如果丟1000次時，出現偶數點的機率就會很接近一半。 當實驗的次數越大，經驗機率就越接近先天機率，這就是所謂的大數法則（law of large numbers）。 經驗機率的缺點在於事件的機率必須無數次重複實驗後，才能求得。但現實上，只能根據有限的次數來推估事件的機率。

第一節 機率理論 （7） 3. 主觀機率（subjective probability） 它是個人對某事件出現的相信程度。例如張三明年能考上大學的機率是80%。明天股市會大漲的機率是60%。 這都是主觀的看法，既不建立在先天的機率理論上，也沒重複無數次的實驗。只是根據過去的經驗，個人的知識，加以猜測。 主觀機率的缺點就在於不夠客觀，例如我認為張三明年能考上大學的機率是80%，但他的老師可能認為張三考上的機率是30%而已。

第一節 機率理論 （8） 以上三種理論必須吻合一些規則才能叫做機率，這些規則就是機率公設（probability axioms） 1. 樣本空間中任一事件的機率不小於0。 2. 互斥事件聯集的機率就是各事件機率之和。 3. 樣本空間中所有事件發生機率的總和等於1。 根據這三個公設，建立運算定理，然後導出機率論的整個體系。

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （1） 聯合機率 （joint probability） 兩個或兩個以上事件同時發生的機率。 由上表知P(吃檳榔，患口腔癌)= 0.2%。即P(不吃檳榔，患口腔癌)=1.8%。吃檳榔比不吃檳榔患口腔癌的機率更小，因此可以放心吃檳榔？！

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （2） 邊緣機率（marginal probability） 在兩個或以上的樣本空間中，忽略某個樣本空間，而只考慮另個樣本空間中事件的發生機率 。 例如忽略吃檳榔這個變項，而只考慮患口腔癌與否的機率，則患P(患口腔癌)= 2%， P(正常)= 98%。

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （3） 條件機率 （conditional probability） 固定在某樣本空間的某一事件下，另一樣本空間中事件所發生的機率 。 例如P(患口腔癌|吃檳榔)= 20.00% P(正常|吃檳榔)= 80.00% 從這些條件機率中，發現如果吃檳榔，患口腔癌的機會為20%，但如果不吃檳榔，患口腔癌的機會只有1.82%。還是不要吃檳榔的好。

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （4） 令變項X和Y的聯合機率為f(X, Y)，則 f(xi, yj) = P(X = xi  Y = yj) 即X變項為xi，且Y變項為yj的機率為f(xi, yj)。 例如P(吃檳榔，患口腔癌)= 0.2%

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （5） X變項的邊緣機率f(X)和Y變項邊緣機率f(Y) 為 P(患口腔癌)= P(吃檳榔，患口腔癌) + P(不吃檳榔，患口腔癌) P(吃檳榔)= P(吃檳榔，患口腔癌) + P(吃檳榔，正常)

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （6） 當Y = yj的情況下，X的條件機率為 P(患口腔癌|吃檳榔)= P(吃檳榔，患口腔癌) / P(吃檳榔)。 聯合機率等於邊緣機率乘以條件機率 ： f(xi,yj) = f(yj)f(xi | yj) = f(xi)f(yj | xi)

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （7） 獨立事件（independent events） 兩事件xi和yj互為獨立事件，若且唯若： f(xi,yj) = f(xi)f(yj) f(xi | yj) = f(xi) f(yj | xi) = f(yj) 丟硬幣和丟骰子是獨立事件。丟一硬幣和骰子，硬幣出現正面，且骰子出現6點的聯合機率等於1/12，也就是硬幣出現正面的機率1/2乘以骰子出現6點的機率1/6。換句話說，聯合機率就是個別機率的乘積

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （8） 在硬幣出現正面的情況下，骰子出現6點的機率仍然是1/6，因為丟骰子和丟硬幣是獨立事件，彼此不會干擾 。 在骰子出現6點的情況下，硬幣出現正面的機率仍是1/2 。也就是說條件機率等於該事件的機率。

第二節 聯合、邊緣、條件機率 （9） 如果這3個公式不成立，就表示兩事件不是獨立事件，而會有連帶關係。 以上表為例，f(吃檳榔, 患口腔癌)=0.2%，f(吃檳榔) = 1%，f(患口腔癌)= 2%。 如果兩者是獨立事件的話，f(吃檳榔, 患口腔癌)應該是1%  2% = 0.02%。 而今f(吃檳榔, 患口腔癌)卻等於0.2%，與理論相距10倍之多，因此吃檳榔與患口腔癌並非獨立事件，兩者之間有頗大的關連性。

第三節 貝氏定理 （1） 貝氏定理（Bayes’s theorem） 其中f(yj|~xi)表示在非xi的情況下，事件yj發生的條件機率。f(~xi)表示非xi的機率，等於1-f(xi)。 假設若分割為K部份，依序為k = 1, 2, …, K，則

第三節 貝氏定理 （2） 例子2 令x1表示患口腔癌，x2表示正常。y1表示吃檳榔，y2表示不吃檳榔。假設依照過去的經驗，患口腔癌者佔2%，未患口腔癌者佔98%。某研究者想瞭解吃檳榔的話，得到口腔癌的機率有多大。 他隨機調查了100位口腔癌患者，發現他們之中有10%的人吃檳榔。同樣的也隨機調查了10000位正常人（未患口腔癌者），發現有0.82%的人吃檳榔。現有1人，他吃檳榔，他患口腔癌的機率是多少？

第三節 貝氏定理 （3） 作法 由題意知f(x1) = 2%；f(x2) = 98%； f(y1|x1) = 10%； f(y1|x2) = 0.82%，所欲求的是f(x1|y1)。 由公式（5.11）知： 他患口腔癌的機率為0.2，正常的機率為0.8。

第三節 貝氏定理 （4） 在公式（5.11）裡，已知f(xk)和條件機率f(y1|xk)，然後計算另一種條件機率f(xk|y1)。 f(xk)又稱事前機率（a priori probability）。f(xk|y1)稱為事後機率（posterior probability）。 事前機率必須建立在過去的經驗和知識。條件機率則是我們當前透過研究蒐集到的新資訊。研究的目的就在於瞭解事後機率。

第四節 間斷機率分佈（1） 所有事件的機率所形成的分佈就是機率分佈。有的隨機變項是間斷的，所以就形成間斷機率分佈（discrete probability distribution）。 有的隨機變項是連續的，所以就形成連續機率分佈。

第四節 間斷機率分佈（2） 就間斷機率分佈而言，平均數依照定義為： 其中m為平均數，N為個數，xi為第i個間斷變項的數值，f(xi)為xi的機率。平均數就是某個數值乘以該數值的機率的總和。 間斷機率分佈的變異數，依定義為： 也就是每個值減去平均數後平方的平均數。

第四節 間斷機率分佈（3） 例子3 丟骰子出現1點到6點的機率都是1/6。則丟骰子點數的平均數和變異數各為多少？ 作法

第四節 間斷機率分佈（4） 白努力分佈 定義變項X為白努力試驗（Bernoulli trial），共有兩種結果：成功和失敗。若成功，則X = 1；若失敗，則X = 0。X的機率函數就是 f(X = x; p) = px (1 - p) 1- x 其中大寫的X表示變項，小寫的x表示該變項的某個數值，其中分號後面的p是參數，在此為成功的機率，1 - p就是失敗的機率。 白努力分佈的平均數m = p，變異數s2 = p(1-p)。

第四節 間斷機率分佈（5） 例子4 丟硬幣為白努力試驗，如果出現正面則X = 1，否則X = 0。假設出現正面的機率是1/2，那麼平均數和變異數各為多少？ 作法 由於p = 1/2，平均數就是1/2。變異數為1/4。

第四節 間斷機率分佈（6） 二項式分佈 適用於實驗中含有多次的試驗，而每次試驗都是互為獨立的白努力事件，且成功的機率都是p。在n次嘗試中，共成功X次的機率就是二項式分佈（binomial distribution）： 為從n中每次取x的組合數：

第四節 間斷機率分佈（7） 二項分佈的累積分佈函數就是 二項式分佈的平均數m = np。 變異數s2 = np(1-p)。