數字系統與資料表示法

本章提要 電腦的儲存單位 數字系統 數字系統間的轉換 資料表示法

為何電腦採用二進位數字系統 最主要的理由是電腦應用到電(正電壓和0電壓， 電的運作方式)、磁(陽極和陰極，磁碟機的運作 方式)和光(有反射光和無反射光)等性質來判斷 訊號，所以對於電腦而言二進位數字是最能反 應其物理性質的數字系統。

電腦儲存單位 位元 (Bit)：最小的儲存單位叫做位元, 一個位元有 0 與 1 兩種狀態。

電腦儲存單位 位元組 (Byte) ：存取資料的基本單位是位 元組, 就是將『8 個位元組成一組』，可表 示出28 = 256 種訊號。

電腦的儲存單位 1 Kilo Byte (KB) = 210 Bytes = 1024 Bytes 1 Mega Byte (MB) = 220 Bytes = 1024 KB 1 Giga Byte (GB) = 230 Bytes = 1024 MB 1 Tera Byte (TB) = 240 Bytes = 1024 GB

數字系統 人類習慣以十進位來計算事物, 同時也會使用 到其他的數字系統。 時與分採六十進位。 日與時的換算則為二十四進位。 月與年則使用十二進位來計算。 電腦的世界中為二進位系統。

常用的數字系統 十進位數字系統：是一套以 10 為基數, 逢 10 即進位的數字系統, 由 0、1、2、3、4、5、 6、7、8、9 等十個數元所組成。 二進位數字系統：是一套以 2 為基數, 逢 2 即進位的數字系統, 任何數都只用 0 和 1 兩 種數元所組成的符號來表示。

常用的數字系統 八進位數字系統：是一套以 8 為基數, 逢 8 即進位的數字系統。由 0、1、2、3、4、 5、6、7 等八個數元組成。 八進位數字系統：是一套以 8 為基數, 逢 8 即進位的數字系統。由 0、1、2、3、4、 5、6、7 等八個數元組成。 十六進位數字系統：是一套以 16 為基數, 逢 16 即進位的數字系統, 此數字系統是 由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、 C、D、E、F 等十六個數元所組成。

常用的數字系統對照表

數字系統的表示法 一組數值採用何種數字系統, 一般是將數值加 上小括號, 然後在右下角標註其數字系統。 二進位 (101101)2 二進位 (101101)2 十六進位 (ACD8)16

二進位轉換成十進位

十進位轉換成二進位 以 (29.75)10 來示範, 整數部份：

十進位轉換成二進位 (cont.) 以 (29.75)10 來示範, 小數部份：

十進位轉換成二進位 (cont.) 將整數部份加上小數部份： 11101 + 0.11 = 11101.11。 所以 (29.75)10 =(11101.11)2

八進位轉換成十進位 整數部份右邊第一位的位值為 80、第二位的 位值為 81…。小數部份, 左邊第一位的位值 為 8–1、第二位的位值為8–2 …。 八進位轉換成十進位, 只要將每一個八進位數 乘以該數的位值, 然後相加即可求得。

十進位轉換成八進位 以 (87.375)10 來示範, 整數部份：

十進位轉換成八進位 (cont.) 小數部份：

十進位轉換成八進位 (cont.) 最後將整數部份加上小數部份： 127 + 0.3 = 127.3。 所以 (87.375)8 =(127.3)10

十六進位轉換成十進位 以 (BCE.1E)16 來示範：

十進位轉換成十六進位 以 (43969.6719)10 來示範, 整數部份：

十進位轉換成十六進位 (cont.) 以 (43969.6719)10 來示範, 小數部份：

十進位轉換成十六進位 (cont.) 最後將整數部份加上小數部份： ABC1 + 0.AC01 = ABC1.AC01。 所以 (4.3969.6719)10 =(ABC1.AC01)16

與十進位互轉的通則 十進位轉成 r 進位的原則：整數部份除以 r ，由 下往上取；小數部份乘以 r ，然後由上往下取。

八進位與二進位間的轉換 二進位與八進位互相轉換時, 以 3 個 一組為 單位來轉換會較為方便。 八進位數與等值的二進位數之對照表：

二進位轉換成八進位 將二進位的整數部份由右至左, 每 3 個分成一 組, 不足 3 個即往前補 0。 小數部份則由左至右每 3 個分成一組, 不足往 後補 0, 再將其轉換成對應的八進位數即可。

八進位轉換成二進位 將八進位的數值轉換成每 3 個一組的二進位數 值即可：

十六進位數與二進位數之對照表

二進位轉換成十六進位 整數部份, 由右往左每 4 個一組進行轉換, 不到 4 個時, 就在前端補 0。 整數部份, 由右往左每 4 個一組進行轉換, 不到 4 個時, 就在前端補 0。 小數部份則是由左往右每 4 個一組進行轉換, 不到 4 個時, 就在後面補 0,再將其轉換成對 應的十六進位數即可。

十六進位轉換成二進位 將十六進位的數值轉換成每 4 個一組的二進位 數值：

八進位轉換成十六進位 先轉換二進位數字, 再將二進位轉換成十六進 位：

十六進位轉換成八進位 先轉換成二進位數字之後, 再由二進位轉成八 進位：

二、八、十六進位轉換的通則 二進位與八進位：要以 3 個為一組來轉換。 二進位與十六進位：要以 4 個為一組來轉換。 八進位與十六進位：必須先轉成二進位後再進 行轉換。

數值資料表示法 數值資料分類： 整數：不含小數的數值稱為『整數』(integer) ，包括正數、負數與0。例如 3200，-1，+58 …等這些數值資料都 可稱為整數。 浮點數：含有小數點的數值即為『浮點數』(Floating-Point Number)，也就是我們一般所說的實數。例如86.2564、0.317522、 -148.87612 … 等這些數值都可稱為浮點數。 電腦內部並沒有 "+" 、 "-" 等符號來表示正、 負數, 也沒有表示小數點的符號。所以有幾種不 同的負數與浮點數表示方法。

最高位元表示法 以最高位元來表示正負號, 最高位元為 0 表示 正數, 最高位元為 1 表示負數。 缺點：就是產生了 2 個 0 (+0 與 –0), 使得原來 總共可以表示 256 個數, 便成只能表示 255 個數。

最高位元表示法

2 的補數表示法 使用 2 的補數表示法時, 一個數的負數即是將該數的每 一位元取其反相 (即 1 變 0, 0 變 1) 再加1。 以一個Byte來表示整數資料:

數值資料的算術運算 補數運算概念 A,B若是兩個K進位數字，則A-B等於A+(B的K 補數) 補數加的運算 範例：(278)10 + (125)10

補數減的運算 範例：(278)10 - (125)10

浮點資料表示法 IEEE Standard 754之浮點表示法分為單精確度 (Single Precision，佔32位元)，雙精確度(Double Precision，佔64位元)。一個以浮點表示的二進 位數字包含三部分，如圖13.3所示。它們分別是 正/負符號 (Sign)，偏差指數 (Biased Exponent)部 分，與小數 (Significant或Mantissa)部分。

浮點資料表示法 一個以浮點表示的二進位數字包含三部分 其中小數部分佔23位元，指數部分佔8位元，符號佔1位元，共計32位 元。每個部分說明如下﹕ 正/負符號(S)：由單一位元 b31 形成，若 b31=0 表示此實數為正數； b31=1 表示此實數為負數。

浮點資料表示法 偏差指數(E)：由 b30…b23 八個位元組成。8位元可表示 的非負整數值為0~255。但實數可由很小至很大，故需 要正、負二種指數，因此以127為指數偏差值 (Exponent Bias)，實際的指數值=偏差指數-127。故若偏 差指數的範圍為127 ~ 255，則代表真正指數值為0 ~ 128；而偏差指數介於0 ~ 126之間，則代表真正指數值 介於-127 ~ -1之間。例如偏差指數是132，其真正指數 則為5；偏差指數是120，其真正指數即是-7。 小數部分(M)：此部分由 b22…b0 這23個位元所組成。 此處的小數部分是經過正規化 (Normalization)後的小數。 由於它有23位元，所以可準確到小數點後23位(2-23)。

浮點資料表示法 正規化 (Normalization) 是將任何實數表示成二進位1.xxx × 2指數的形式。 17.75可先表成定點表示法為(10001.11)2，之後再正 規化為1.000111 × 24。 32位元以表示17.75：

範例 -0.111 × 2-4 之浮點表式法為何? 解答： 因此數為負值，故 b31 = 1。將-0.111 × 2-4正規化 成 -1.11 × 2-5，其指數為-5，所以偏差指數是 - 5+127 = 122，表示成八位元的二進位數字為 01111010。有效小數部份則為110…0 (21個0)。 所以此數被儲存為 10111101011000000000000000000000

一個32位元的浮點表示法字串其所代表的真正 實數可用下列公式導出： (-1)S × (1 + M) × 2(E- 指數偏差值) S:正/負符號，0表示此實數為正數；1表 示此實數為負數。M:小數部分，即 b22…b0。E:偏差指數即b30…b23，8位元的 非負整數值0~255。

範例 IEEE 754 之 32 位元浮點表示法字串 11000000101000000000000000000000 其所代表的實數為何? 解答： b31=1，故此實數為負值。偏差指數為10000001相當於十 進位的 129，真正的指數是 2 (即129-127)。小數部份為 1.01 相當於十進位的 1.25。因此，其所代表的實數為 (-1) × (1+0.01)2 × 22 經計算後其所代表的實數為 -5。

文字資料表示法 輸入電腦的文字資料, 亦會被轉換成二進位碼 的形式儲存。 將文字資料轉換成二進位碼的系統就稱為編碼 系統。 不同的系統可能會使用不同的編碼方式。

文字資料表示法

ASCII碼 美國標準資訊交換碼的縮寫 ( American Standard Code for Information Interchange )。 ASCII 碼共有 128 個, 每一個碼對應一個字元。 在電腦中是以 1 個 Byte 來儲存。

ASCII 碼

EBCDIC 碼 EBCDIC 碼的全名是 Extended Binary Code Decimal Interchange Code, 是美國 IBM 公司所 制定的編碼系統。 EBCDIC 碼的每一個字元是由 8 個位元所組成。 共有 28 種組合,可以表示 256 個字元。

中文編碼系統 中文字是以 2 Bytes (16 Bits) 來編碼。 常見的繁體中文碼有 BIG-5 碼、通用碼、公 會碼、倚天碼、王安碼…等。 亞洲的方塊字多半使用 2 Bytes 來編碼, 如日 本的 JIS 碼、簡體中文的 GB 碼…等等都是。 近年來為了便利網路上的相關應用, 也出現了 Unicode 這種編碼, 它將亞洲國家的常用、共 用字編在一起, 藉此達成統一編碼的目的。

Step 1. 使用者在鍵盤上鍵入大寫字母D。 Step 2. 大寫字母D的電子訊號被送至系統主機。 Step 4. 處理完後，大寫字母D的二進位碼會被轉成一個影像，且被顯示在裝置上。 Step 3. 大寫字母D的訊號被轉成它的ASCII二進位碼 (01000100)，然後被儲存在記憶體中等待處理。