有效運用基本能力評估「網上學與教支援」: 動態幾何軟件 (Dynamic Geometry Software) 於立體圖形學與教上的應用 柯志明 柯為成 教育局 香港教育城評估及考評局組

工作坊概要 以基本能力評估的「網上學與教支援」 (Web-based Learning and Teaching Support, WLTS)為例，分享如何運用動態幾何軟件促進學生對立體圖形的理解 運用動態幾何軟件Cabri 3D製作中小學學與教活動 運用教城網誌分享Cabri 3D學與教資源

數學課程中的立體幾何及現有資源

課程中的立體圖形 初小： 立體圖形 – 柱體、錐體、球體、角柱、圓柱、角錐和圓錐 高小： 立體圖形 – 柱體、錐體和球體的特性； 摺紙圖樣；頂、棱、面和截面 體積 – 立方厘米、立方米、長方體、正方體；容量和體積

課程中的立體圖形 初中： 幾何簡介 – 立體模型、立體的性質、尤拉公式、立體的平面圖像、立體的橫切面 續立體圖形 – 正方體及正四面體的反射和旋轉對稱、立體的摺紙圖樣、由不同角度的平面圖想像和繪畫對應的立體圖形、投影、線與平面及兩平面的相交角 面積和體積 – 立方體、長方體、棱柱、圓柱、棱錐、圓錐和球體的體積和表面面積； 相似物體的邊、表面面積和體積之間的關係

課程中的立體幾何 學習目標 (Targets)： 直觀地探究及構想平面及立體圖形的幾何性質 課程宗旨 (Aims)： 建立空間感及鑑辨結構和規律的能力

學生學得如何？ (KS1-S1-2 把各種立體圖形分類) TSA2006 3MC2 Q27 全港答對率：17.7%

學生學得如何？ (KS2-S1-1辨認柱體、錐體和球體) TSA2007 6MC2 Q33 全港答對率：(a) 77.5% (b) 72.6% TSA2007 6MC4 Q33(b) 全港答對率：68.5%

學生學得如何？ KS3-MS8-1 由正方體，寫出其反射對稱平面的名稱 TSA2008 9MC2 Q40 全港答對率： 18.4%

學生學得如何？ KS3-MS8-5 寫出： (1) 邊在水平/垂直平面上的投影；(2) 線與水平/垂直平面的相交角；(3) 兩平面的相交角，其中一平面是水平/垂直 TSA2008 9MC1 Q41 全港答對率： 48.4%

學生學得如何？ KS3-MS8-5 TSA2008 9MC1 Q41 全港答對率： 39.0%

學生學得如何？ KS3-MS3-5 運用相似物體的邊和表面面積／體積之間的關係解答有關問題(不包括與平截頭體有關的計算) 2008 9MC3 Q10 上圖中，兩個相似角錐的對應斜稜的長度分別是 10 cm 和 20 cm。 若小角錐的體積是 V cm3，則大角錐的體積是 A. 2V cm3 。 47.7% B. 4V cm3 。 9.1% C. 6V cm3 。 6.0% D. 8V cm3 。 *36.4%

Van Hiele 幾何學習模型 層階 能力 形象化 (Visualization) 學生依外貌分辨、命名、比較和操作幾何圖形 1 形象化 (Visualization) 學生依外貌分辨、命名、比較和操作幾何圖形 1 分析 (Analysis) 學生透過實驗分析幾何圖各部份的關係和發現性質/規律 2 非正式論證 (Informal Deduction) 學生能透過給出或領會非正式的論證，把性質/規律邏輯地連繫起來 3 論證 (Deduction) 學生能給定理作出演繹證明，並確立一籃子定理的相互關係 4 嚴謹化 (Rigor) 學生能於不同的公理系統推導定理，且能分析和比較和這些系統

http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/geometry/session9/part_a/index.html

動態幾何軟件 (Dynamic Geometry Software) 平面幾何：Sketchpad, Cabri, GeoGebra, CaR, WinGeom, … 立體幾何：Cabri 3D, WinGeom, Poly, ... 特色：提供虛擬的幾何物件及構作工具，讓用者能夠透過拖曳(dragging)等方式操作物件，以觀察幾何規律及變化。

Cabri 3D 的特色 簡單易用， 可嵌入(embed) PowerPoint、 IE及 Word 等程式 提供一個(虛擬)立體圖形的操作、構造及實驗平台 用者可以不同的角度觀察立體圖形 動態地顯示圖形的變化 用者可觀察規律， 提出猜想及進行探究

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例1：柱體建築師

點擊灰色圓形的紅點， 然後向上拉動，看看我是怎樣建造這個柱體的。 你能發現它的建造方法嗎？ 圓柱體 這個柱體的底是什麽形狀？ 圓形

這是柱體嗎？ 爲什麽？

移動操縱杆，使立體圖形轉一轉，再拉紅點向上。它是不是柱體？ 三角柱體

好好運用判斷柱體的方法!!! 三角柱體

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例2：正方體的反射對稱 工作紙

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例3：正方體的旋轉對稱 工作紙

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例4：直線與平面的相交角 工作紙

示例5： 兩平面的相交角練習 A  VBA B  VBD C  VCD D  VND 圖中的四棱椎中，ABCD 為長方形，N 是BC 的中點，VD是棱錐的高。以下哪一隻角是平面VBC與平面ABCD的相交角？ A  VBA B  VBD C  VCD D  VND

12. 不對！ 提示：點擊下圖，按右鍵拖曳可以不同角度觀察。 拖曳紅點，哪一隻角是平面VBC與平面ABCD的相交角？ 返回

 VCD是平面VBC與平面ABCD的相交角。 12. 答對了！  VCD是平面VBC與平面ABCD的相交角。 (點擊下圖，按右鍵拖曳可以不同角度觀察。)

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例6：相似立體的表面積和體積 工作紙

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例7：球體體積 工作紙

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例8：錐體曲面面積 工作紙

Cabri 3D 於「網上學與教支援」的應用 示例9：球體表面面積 工作紙

運用Cabri 3D製作學與教資源