欧拉公式的 发现与证明

一、教材分析 1．教材的地位与作用 欧拉公式是在学习了多面体（棱柱、棱锥、棱台）之后，作为研究性学习的课题而安排的，通过学习不仅可进一步探讨多面体的一般性质，还可让学生获得亲身参与研究探索的体验，激发学生的学习热情，拓展学生的视野。

2．教学目标 知识目标： 1）理解欧拉公式的表达式及欧拉公式的证明； 2）会用欧拉公式解决某些数学问题。 1）通过探究欧拉公式的发现过程，培养学生观察与实践、联想与类比、抽象与概括的能力。 能力目标： 2）通过欧拉公式的证明与应用，培养学生的逻辑推理能力和探究创新能力。

通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生良好的意志品格，激励学生大胆猜想，善于发现，勇于创新的精神。 情感目标：

3.教学重点与难点 重点：探究欧拉公式的发现过程。 难点：欧拉公式的证明。

二、教法分析 从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步一步地进行归纳和猜想，得出平面网络的定义及平面网络中点、线、面之间的数量关系：V+F-E=1，再联想类比，引申到空间中的多面体，研究多面体中点、线、面之间的数量关系，发现欧拉公式V+F-E=2

三、过程分析 （一）引入课题 1.介绍欧拉 2.七桥问题

(二)探讨研究 1．网络的定义 2.观察平面网络图形，猜想V、E、F之间的规律 3.证明猜想:V+F-E=1

欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学 的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清． 欧拉还创设了许多数学符号，例如π，i，e，sin和cos，tg，Σ，f(x) 等等。

由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛。766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究，凭着记忆和心算解决了许多数学上的难题，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章。 欧拉的一生是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。

2.七桥问题 十八世纪，北欧的哥尼斯堡城建在普雷格尔河畔，河中有两个小岛，全城由七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图)。 当时，那里的居民都热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎么才能一次走遍七座桥，每座桥只经过一次，最后又回到出发点?

这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此他用点A、D表示两个小岛，点B、C表示河的左右两岸。再用连接两点的线表示桥，从而得到一个由4个点和、7条线组成的图形(如图) 利用这个图形，问题就变成能否一笔画出这个图形，并且最后返回起点的“一笔画”问题。

善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为其绞尽脑汁而百思不得其解的难题，引起了人们的惊叹和赞赏。但欧拉并没有满足于七桥问题的解诀，而是以此为基础，研究了超出通常欧几里德几何范围的几何问题，从而奠定了称之为“网络论”的几何学科的基础。

(二)探讨研究 1．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一 条线段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫做网络的顶点。 在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个点，两点间又有几条线段连接。

网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。

观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。   顶点数V 边数E 面数F 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）

(2) (3) (1) (4) V顶点数 E边数 F面数 V-E+F 图（1） 2 1 图（2） 6 5 图（3） 4 7 图（4） 9

证明猜想：V+F-E =1 网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F保持不变。 如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边同时去掉，则V减少1，E减少1，而F保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F也保持不变。 现在假定你从一个已知网络出发，继续不断的去掉一切可能挪去的外边和“尾”点，最后你将得到一张只有一个顶点的网络，这时,V=1，E=0,F=0，V-E+F=1成立

联想：多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之间是否也有上述关系？ 观察图形，填出下表． （4） （1） （2） （3） V顶点数 E棱数 F面数 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）

证明凸多面体中 V+F-E =2 假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面，把其余的面展平，并保持原表面的多边形边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1（多媒体演示），而前已证在平面上的网络中V+F-E=1．所以凸多面体中V+F-E=2

欧拉公式的应用 如果把组成足球的每一个面看成平面，足球就 是一个多面体。 它有点象1996年诺贝尔化学奖获得者发现的C60．C60是由60个C原子构成的分子。

例1：C60是由60个C原子构成的分子，如图9－104，这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60中有多少个五边形和六边形吗？ 解：设C60 中五边形和六边形的个数分别 为x个和y个． C60 分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y， 由顶点出发得棱数E= (3×60)/2=90 由多边形的边数得棱数E= （5x+6y）/2

解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个． C60分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y， 由顶点出发得棱数E= (3×60)/2=90 由多边形的边数得棱数E= （5x+6y）/2 因此 解方程（1）和（2）组成的方程组， 得 x=12 ， y=20 于是我们可知，C60 分子中有12个五边形，20个六边形

思考题：为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。 正多面体定义：每个面都是有同数边的正多边形，在每个顶点都有同数棱的凸多面体，叫正多面体。

证明：设各个面都是正n边形，每个顶点汇集m条棱 先计算棱的总条数： （1）从边数出发计算，因为每个面有n条边，F个面就有nF条边，但由于每条边是两个面所公有，这里把每条棱按边数计算了两次，所以有：nF=2E （2）从顶点数出发计算，因为每个顶点处有m条边，V个顶点就有mV条边，但由于每条边有两个对端点，这里把每条棱按端点数计算了两次，所以有：mV=2E

则 由（1）和（2）得 代入（3）得 因此 其中n,m都是正整数，且n≥3,m≥3 由于n>3且m>3时不可能的（否则 与（4）矛盾），因此，n,m中至少有一个等于3。 1） 当n=3时，得： ，所以 2）当m=3时，得： ，所以 综合1）2），有

综合1）2），有 将 代入（3）得： 将上面5组解分别代入，得：F=4、8、20、6、12 即正多面体共有5种：正四 面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体。

（四）归纳总结 (1)   欧拉公式描述了凸多面体的顶点数、面数、棱数之间的一个规律，它的重要性体现在公式的发现过程、公式的推导证明过程中所蕴含着的数学思想方法。欧拉公式是在观念和方法上创新而的取得的。

（五）布置作业 （1）练习册：p39 1、2 （2）思考题： 上网检索了解欧拉公式证明的其它方法；并判断是否所有的多面体都适用欧拉公式，为什么？

四、评价分析 （1）本节课介绍欧拉的生平，对激发学生学习数学的热情，培养学生对科学严谨的态度和敢于创新的精神有良好的启示作用。 （2）本节课对欧拉公式的发现与证明过程的探究，使学生养成将实际问题转化为数学问题的应用意识，激发学生的创造欲望。使学生感悟“问题、猜想、类比、证明”探究式思维方法，提高学生的创造能力。

四、评价分析 （3）课堂上学生的自主思考，集体讨论，可培养学生的协作意识和团队精神。 （4）总结和思考题，把探究延续到课外，进一步培养学生的自主学习能力，提高学生的探究能力和创新能力。

再见！