第三章 DFT 离散傅里叶变换

点击进入 目 录 §3-1 引言 §3-2 傅氏变换的几种可能形式 §3-3 周期序列的DFS §3-4 DFS的性质 §3-1 引言 §3-2 傅氏变换的几种可能形式 §3-3 周期序列的DFS 目 录 §3-4 DFS的性质 §3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 §3-6 DFT的性质 §3-7 抽样Z变换--频域抽样理论 §3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近

§ 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。 返回目录

本节结束-返回 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 离散量化 DFT(FFT)

§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换 t 返回目录

时域信号 频域信号 连续的 非周期的 对称性: 时域连续，则 频域非周期。 反之亦然。 返回目录

二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 t --- 返回目录

*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 返回目录

由抽样定理知，离散信号的频谱是原联系信号频谱的周期延拓 三.离散时间、连续频率的傅氏变换变换 由抽样定理知，离散信号的频谱是原联系信号频谱的周期延拓 x(nT) T -T 2T t --- --- 返回目录

时域信号 频域信号 离散的 非周期的 周期的 连续的 常见信号的频谱如下： 返回目录

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四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT 本节结束-返回

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§ 3-3 周期序列的DFS 导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期为 信号的复数傅氏级数开始的： 对上式进行抽样，得： DFS和DFT的表达式推导方法一 （参考书）作者王世一，北京理工出版 推导过程很好 一.周期序列DFS的引入（教材上的推导思路） 导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期为 信号的复数傅氏级数开始的： 对上式进行抽样，得： 返回目录

其中： 因 是离散的，所以 应是周期的。 而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。 返回目录

这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。 又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。 返回目录

二. 的k次谐波系数 的求法 1.预备知识 返回目录

同样，当 时，p也为任意整数，则 亦即 所以 返回目录

的表达式 将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和， 则： 返回目录

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的DFS 返回目录

通常将定标因子1/N移到 表示式中。即： 由于 和 都是周期的无限长序列，可以看成级数,因而成为傅立叶级数。 返回目录

3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则： 正变换： 反变换：

4. 的周期性与通过Z变换的求 方法 周期性： 返回目录

用Z变换的求 ： 的一个周期内序列记作 ,而且 = , 0n N-1 0 , 其他n 对 作Z变换， 返回目录

可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。 1 2 3 4 5 6 7 (N-1) k=0 如果 ，则有 可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。 本节结束返回目录

以下性质均在条件：x1(n)和x2(n)都是周期为N的周期序列 § 3-4 DFS的性质 以下性质均在条件：x1(n)和x2(n)都是周期为N的周期序列 一.线性 如果 则有 其中，a,b为任意常数。 返回目录

二.序列的移位 如果 则有： 返回目录

n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m 证明： 令i=m+n,则 n=i-m。 n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m 所以 * 和 都是以N为周期的周期函数。 返回目录

三.调制特性 如果 则有 返回目录

时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。 证明： 时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。 返回目录

周期卷积是线性卷积的周期延拓-------Go!! 证明过程在教材P94。 四.周期卷积和*** 重点*** 1.如果 则： 周期卷积的方法举例—说明它仍然是同周期的DFS 并引导出与线性卷积的关系—next page 周期卷积是线性卷积的周期延拓-------Go!! 线性卷积的长度及周期卷积代替线性卷积的条件-----GO! 圆周卷积的定义及求解过程----GO!! 利用DFT求解线性卷积的步骤—Go!! 返回目录

2.两个周期序列的周期卷积过程*** （1）画出 和 的图形； （2）将 翻摺,得到 可计算出： 返回目录

m 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 m 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 计算区 m 0 1 2 3 4 5 返回目录

（3）将 右移一位、得到 可计算出： 返回目录

m 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 m 0 1 2 3 4 5 计算区 m 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 计算区 m 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 返回目录

（4）将 再右移一位、得到 可计算出： 返回目录

（5）以此类推， 返回目录

2 3 1 2 3 1 2 3 1 n 计算区 返回目录

3.频域卷积定理 如果 ，则 证明从略。 本节结束返回目录

§ 3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 一.预备知识 1.余数运算表达式 如果 ， m为整数；则有： 如果 ， m为整数；则有： 此运算符表示n被N除，商为m，余数为 。 是 的解,或称作取余数,或说作n对N取模值, 或简称为取模值,n模N。 返回目录

例如： (1) (2) 返回目录

2. 先取模值，后进行函数运作; 而 视作将 周期延拓。 返回目录

周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。 = , 0nN-1 0 , 其他n 有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。 返回目录

定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。 x(n) 如： n N-1 ... n N-1 定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。 返回目录

同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。 返回目录

从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。 四.从DFS到DFT 从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。 因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。 返回目录

, 0kN-1 , 0nN-1 或者： 本节结束返回目录

§ 3-6 DFT的性质 一.线性 1.两序列都是N点时 如果 则有： 返回目录

2. 和 的长度N1和N2不等时， 选择 为变换长度,短者 进行补零达到N点。线性性质仍然成立 返回目录

二.序列的圆周移位**** 1.定义 一个有限长序列 的圆周移位定义为 这里包括三层意思： 先将 进行周期延拓 再进行移位 一个有限长序列 的圆周移位定义为 这里包括三层意思： 先将 进行周期延拓 再进行移位 最后取主值序列： 返回目录

n N-1 返回目录

n 周期延拓 左移2 返回目录

n 取主值 N-1 返回目录

由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主 值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同 2.圆周位移的含义****** 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主 值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同 值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列 一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆 上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时， 看到就是周期序列 : 。 返回目录

2 1 n=0 3 N=6 4 5 返回目录

周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为 三、共轭对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量 周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为 同样，有 返回目录

2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称 分量分别定义为 由于 所以 这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同 的两个分量。 返回目录

3.共轭对称特性之一 证明： 返回目录

4.共轭对称特性之二 证明： 可知： 返回目录

5.共轭对称特性之三 证明： 返回目录

6.共轭对称特性之四 证明： 返回目录

8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性 7.共轭对称特性之五、六 8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性 返回目录

当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k) 又据Xop(k)的对称性： 9.实、虚序列的对称特性 当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k) 又据Xep(k)的对称性： 当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k) 又据Xop(k)的对称性： 返回目录

四.圆周卷积和*** 1.时域卷积定理 设 和 均为长度为N的有限长序列， 且 ， 如果 ，则 N 返回目录

证明： 相当于将 作周期卷积和后， 再取主值序列。 将 周期延拓： 则有： 返回目录

在主值区间，所以： N 同样可证： N 返回目录

2.时域圆周卷积过程 N-1 n 返回目录

m m m m 返回目录

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最后结果： 2 3 1 N-1 n N 返回目录

五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积*** 1.线性卷积的长度 的长度为 它们线性卷积为 返回目录

的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间，为 长。 例如: 1 n 1 2 1 n 1 2 3 返回目录

m -1 -2 -3 1 2 返回目录

1 2 m m 3 3 2 2 1 1 n 1 2 3 4 5 返回目录

圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. 2.用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. 的长度为 , 的长度为 ,先构造长度均为L长的序列, 即将 补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，即 所以得到周期卷积： 返回目录

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可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为L.由于 有 个非零值,所以周期L必须满足: 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即 本节结束返回目录

对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。 § 3-7 抽样Z变换--频域抽样理论 一.如何从频域抽样恢复原序列 1.两种抽样 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。 返回目录

一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为 2.由频域抽样恢复序列 一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为 由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到 返回目录

对 进行反变换,并令其为 ,则 返回目录

1 , m=n+rN , 0 , 其他m 可见,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。 可见,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。 返回目录

当x(n)不是有限长时，无法周期延拓； 当x(n)为长度M,只有频域抽样点NM时,才能不失真的恢复信号,即 3.频域抽样不失真的条件 当x(n)不是有限长时，无法周期延拓； 当x(n)为长度M,只有频域抽样点NM时,才能不失真的恢复信号,即 返回目录

二.由X(k)表达 X(Z)与 的问题——内插公式 序列x(n),（0nN-1）的Z变换为 由于 ，所以（下页！） 返回目录

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上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中 称作内插函数。 返回目录

2.内插函数的特性 将内插函数写成如下式: 。 返回目录

与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不 对插值函数 令分子为零得： 所以有N个零点。令分母为零,得 为 一阶极点, Z=0为(N-1)阶极点。在 处极点 与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不 为零,其他(N-1)个抽样点均为零，提问恢复情况？。 返回目录

3.频率响应 单位圆上的Z变换即为频响, 代入 4.内插函数的频率特性 返回目录

可见, 既是 的函数又是k的函数,其可表示为 当k=0时,则有 返回目录

时, ，所以 返回目录

当N=5时, 的幅度特性 和相位特性 如下图： 其中， 返回目录

N=5 返回目录

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由于i与k均为整数,所以i k 时 这就是说,内插函数在本抽样点 上 , 而在其他抽样点上 返回目录

5. 与X(k)的关系 由于 的特性可知,在每个抽 样点 上其值为1, 故 就精确等于X(k)。即 返回目录

而在抽样点之间, 等于加权的内 插函数值 叠加而得。 本节结束返回目录

一.用DFT计算连续时间信号的频谱(傅氏变换) 时 可能出现的问题讨论 1.混叠现象 为避免混叠,由抽样定理可知，须满足 其中, 为抽样频率; 为信号的最高频率分量； 或者 其中,T为抽样间隔。一般 返回目录

2.频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测的信号 限制在一定的时间间隔内,也 就是说， 在时域对信号进行截断操作,或 称作加时 间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定 理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖 尾现象,即带限的频谱泄漏成非带限的， 称之为频谱泄漏. 返回目录

n n n 返回目录

3.栅栏效应 用DFT计算频谱时，只是知道为频率 的整数倍 处的频谱。 的整数倍 处的频谱。 在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。 <…时间序列尾部补零点加大周期 ，可使 变小得到高密度谱，以减少栅栏效应。> 返回目录

4.DFT的分辨力（率）问题 §3-8 DFT应用中有关问题的讨论（续） 分辨率的两种定义 定义一的引导过程： 实际中信号可能是无限长的即 ，DFT对信号的分析和处理的手段要求信号总是有限长的，即N点的 。 的获得，可以看成是无限长信号的一部分，即对其截短而得。这个过程可描述为： 这里 是长度为N的矩形窗函数。 返回目录

这里 是矩形窗函数的频谱，如图。 为主瓣宽度。 DFT的分辨力（率）问题—续1 则信号的频谱变化关系为： 这里 是矩形窗函数的频谱，如图。 为主瓣宽度。 返回目录

DFT的分辨力（率）问题—续2 ) ( e X 设原始信号 中有我们关心的两个靠得比较紧的频谱分量 和 如图，则 的频谱为两者则卷积的结果。 设原始信号 中有我们关心的两个靠得比较紧的频谱分量 和 如图，则　　　的频谱为两者则卷积的结果。 ) ( w j N e X 返回目录

的频谱可能是单峰的，不能看出我们关心的两个谱线；也可能是双峰的，可以看出两个谱线的存在。请问取决于什么条件？？ DFT的分辨力（率）问题—续３ 的频谱可能是单峰的，不能看出我们关心的两个谱线；也可能是双峰的，可以看出两个谱线的存在。请问取决于什么条件？？ 返回目录

定义二：在进行DFT图形推导时，要在频域内对连续的频谱进行抽样，设抽样间隔为 结论一：截取无限长信号的长度N越大， 的主瓣宽度越小，卷积后越易看到 的两个谱线。即N截取信号越长，分辨率越高。 定义二：在进行DFT图形推导时，要在频域内对连续的频谱进行抽样，设抽样间隔为 或 这里 而 定义为 频谱的分辨率。 结论二：截取连续信号长度T越长，分辨率越高。 问题：当截取连续信号长度T一定时，能否认为提高采样频率，使采样点N增大，则 越小，所以，分辨率越高？？ 返回目录

DFT的分辨力（率）问题—续 5 结论是不能提高分辨率。 证明： 返回目录

5.序列尾部补零可得到--高密度频谱 --虽不能提高分辨力，但可改善栅栏效应 (1)序列尾部补零,并没有增加截取的连续信号的长度T,则DFT的分辨率并未得到提高—但可以得到高密度谱。（时域尾部补0，得到的频谱对影响并不为0）。 只有增加T才可以提高分辨率 (2)序列尾部补零，在根据DFT的定义式进行求解X(K)时，在一个周期内可以得到更多的频域样值，细化频谱的的轮廓，但不能提高分辨率。 高密度谱只能改善栅栏效应，不能提高分辨率 返回目录

6. DFT分析信号频谱的方法只是一种近似方法----有误差产生！！ X(K)只是原连续信号频谱的近似，共有两处可能因入误差， 请分析？！（P118 图3-15） 返回目录

[例] 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。 假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频 率分辨率为 ，（2） 信号的最高频率 ，试确定 以下参量：（1）最小记录长度 ;(2) 抽样点间的最大时间 间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。 解： （a） 最小记录长度 （b）最大的抽样时间间隔T (c) 最小记录点数N 返回目录

二.DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定 1.连续时间非周期信号傅氏变换对 2.连续时间周期信号傅氏级数变换对 返回目录

3.DFT变换时: 返回目录

4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换 用DFT计算所得的频谱分量乘以采样时间间隔T， 就等于频谱的正常幅度值；用IDFT计算非周 期信号的傅氏反变换，再乘以 就得到所需 时域信号的正常幅度值。所以,从时间到频率, 再从频率到时间，整个过程总共乘了 幅度值未受到影响。 返回目录

用DFT计算所得的频谱分量乘以 采样时间间隔T的理由： 时域有限长信号，时域离散化如下：设 返回目录

频域离散化如下：设 返回目录

用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换乘以 的理由 返回目录

IDFT的计算结果乘以N才等于周期信号。 见式（3-112）和式（3-113）（pp.117）。 于周期信号的频谱的正常幅度电平。而用 IDFT的计算结果乘以N才等于周期信号。 见式（3-112）和式（3-113）（pp.117）。 本章结束返回目录

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周期卷积是线性卷积的周期延拓-2-1 设长度分别为N1和N2的序列 和 ， 分别进行周期延拓，设周期为 ， 即： 和 return

周期卷积是线性卷积的周期延拓-2-2 return

线性卷积的长度及周期卷积代替线性卷积的条件 设长度分别为N1和N2的序列 和 即:长度分别为N1和N2的序列的线性卷积的长度为N1+N2+1长； 周期卷积代替线性卷积的条件为：对有限长信号周期延拓的 长度N应满足： return

2：圆周卷积将序列放置到圆周上，通过圆周移位为代替周期序列的周期移位。 3：举例 圆周卷积的定义及求解过程 1：圆周卷积是周期卷积的一个主值区间。 2：圆周卷积将序列放置到圆周上，通过圆周移位为代替周期序列的周期移位。 3：举例 要点：a:将两个序列分别在圆周上逆/顺时针排列，以表示信号的反转。 b:将一个序列移位后，对应项相乘相加。 return

利用DFT求解线性卷积的步骤 2：计算 1：将长度分别为N1和N2的序列 ，分别进行周期延拓，设周期为 3：计算 前 项，即为线性卷积的结果。 return