第十三章 力學波

Ch13 力學波

波的類型 波有二種主要的類型 力學波 電磁波 波傳遞時某些介質會受到波的擾動 波是介質中微擾的一種行進現象 水中的漣漪、聲波就是這一類型的波 這類波不需要介質 光、無線電波、X-射線均屬於電磁波 Ch13 力學波

13.1 擾動的傳遞

波的一般特徵 波行進時，能量會隨波傳送出去 傳遞波的介質不會隨波同行 所有的波都帶有能量 擾動隨波在空間傳遞時，並不會把介質帶著走 波的總能量與產生方式，隨傳遞能量的種類而異 Ch13 力學波

力學波所需條件 要有一產生擾動的波源 要有一能被波擾動的介質 藉由某些機械作用，介質中的成份能夠相互間產生影響 此一要求可以確保一個擾動能在介質中傳遞 Ch13 力學波

繩上的脈衝波 迅速抖動一次握繩端的手，產生此一脈波 繩子是被拉緊的 單一的跳動在繩上形成並沿繩行進 這一個單一的跳動稱為脈波 Ch13 力學波

繩上的脈衝波 繩子就是介質，透過這一介質脈波行進於其間 此一脈波有一固定的高度 脈波在介質中傳遞的速率也是有其一定的大小 如果將手的上下抖動持續進行，就會產生週期性的擾動，於是就有波在繩上形成。 Ch13 力學波

橫波 一個行進的波或脈波，它導致介質中的成份以與波行進方向垂直的方式運動時，這種波稱為橫波 質點的移動以藍色箭頭表示 波行進的方向以紅色箭頭顯示 Ch13 力學波

縱波 行進的波或脈波，它導致介質中的成份沿波行進方向振動時，這種波稱為縱波 彈簧上的每一圈所產生的位移，都沿波行進的方向 Ch13 力學波

行進波 右圖所示為t = 0時的波形 此一波形可以用函數 y = f (x)來表示 此一函數描述了繩上每一質點在 t = 0 時，每一x對應位置上的橫向位置 Ch13 力學波

行進波 脈波的速率為 v 於某一時刻 t 時，脈波沿繩行進了vt 的距離 脈波波形並沒有改變 這是一個單純化的模型 此時繩上各點的橫向位置變成了 y = f (x – vt) Ch13 力學波

行進波 對一個向右行進的脈波而言，它的波函數為 y(x, t) = f(x – vt) 函數 y 稱為波函數 y(x, t) 此一函數表示出在任何一時間 t 時，繩上各點不同 x 位置所對應的 y 座標 Ch13 力學波

行進波 如果把時間 t 固定住，這時候函數 y(x , t) 所呈現的形狀稱為波形 此一函數即表示在那一時刻繩上脈波所呈現的幾何形狀 Ch13 力學波

簡答題 13.1 在一列等候買票的人龍中，最前方的人買到票離開後，其他的人為了填補前面空出來的位置而向前一步，於是在人龍中就形成了一個脈波，當每一個人向前一步的同時，空位即沿著人龍向後移動。請問這個在人龍中傳遞的空位是 (a) 橫波？還是 (b) 縱波？考慮在棒球比賽中，觀眾為球隊加油起立歡呼，在四周看台上所形成的高低起伏波動，請問這種波是一 (c) 橫波？抑或是 (d) 縱波？ Ch13 力學波

簡答題 13.1 (b)，(c)。排隊人龍中人的移動和空位的傳遞在同一條線上；在觀眾席上傳遞的歡呼波動，當波水平傳到席上觀眾處時，該處觀眾會垂直的起立歡呼。 Ch13 力學波

例題13.1 一個沿 x 軸向右行進的脈波，其函數為 式中 x 與 y 的單位為公分，t 的單位為秒。讓我們將 t = 0，t = 1.0 s以及 t = 2.0 s的波形畫出來。 解答 Ch13 力學波

例題13.1(續) 當 當 當 Ch13 力學波

例題13.1(續) Ch13 力學波

13.2 波的模型

正弦波 可以藉由簡諧運動方式搖動繩子的一端來產生一連續的波 這種波的形狀，由於它和正弦函數曲線相似，故稱為正弦波 波形的形狀保持不變，但是會在繩中行進 在本書中我們以向右行進的波來表示 Ch13 力學波

描述波的一些術語－振幅和波長 波峰是指介質由它常態位置產生最大位移的所在 相鄰二波峰(谷)間的距離稱為波長 l 這一最大位移稱為振幅 A 產生負的最大位移處稱為波谷 相鄰二波峰(谷)間的距離稱為波長 l Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

描述波的一些術語－波長和週期 一種較為普遍的說法，波長是相鄰二波形上任意二完全相同點之間的最短距離 週期 T 是指相鄰二波形上完全相同的二點，通過空間任一固定點所需的時間 波的週期和介質所做的簡諧運動的週期相同 Ch13 力學波

描述波的一些術語－頻率 頻率 f 是指，在單位時間內通過空間某一點的波峰(或波形上任一點)的數目 通常單位時間均以秒計 波的頻率也和介質運動時的頻率相同 Ch13 力學波

描述波的一些術語－頻率 頻率和週期間的關係為 若所使用的單位時間是以秒計時，頻率的單位為 S-1=Hz Hz 稱為赫茲 Ch13 力學波

Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

13.3 行進波

行進波 圖中紅色曲線代表在 t = 0 時的波形 藍色曲線則表示於稍後經過 t 秒時波的形狀 Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

波速 波以某一特定的速度行進 波函數可以寫成 波速決定於傳遞波的介質性質 上式描述一向右行進的波 對向左行進的波而言，式中的 x – vt 由 x + vt 取代即可 Ch13 力學波

波函數－另一種表示法 由於速度是由距離除以時間來決定，是故波速可以表示為 v = l / T 於是上述的波函數可以改寫成 此式顯示出 y 值得時間與空間週期性 Ch13 力學波

波方程式 我們也可以再定義一個稱為角波數(波數) k 的物理量 角頻率 也可以依上法定義 Ch13 力學波

波方程式 波函數可進一步表示成 這時候波速可以寫成 v = lƒ 在 t = 0 時，若 x ¹ 0 那麼波函數可以下面的一般形式來表示 此處 f 稱為相常數 Ch13 力學波

簡答題 13.2 一頻率為 f 的正弦波沿一條拉緊的繩子行進，將繩上的波消除掉後，在同一條繩中另外產生一頻率為 2f 的正弦行進波。(i) 試問第二個波的波速是多少？(a) 是前一個波波速的二倍；(b) 是前一個波波速的一半；(c) 與第一個波的波速相同；(d) 無法決定。(ii) 第二個波的波長是多少？(a) 是第一個波波長的二倍；(b) 是第一個波長的一半；(c) 與第一個波波長相同；(d) 無法決定。(iii) 第二個波的振幅是多大？(a) 是第一個波振幅的二倍；(b) 是第一個波振幅的一半；(c) 與第一個波的振幅相同；(d) 無法決定。 Ch13 力學波

簡答題 13.2 (i)，(c)。因為波速是由介質的性質來決定的，所以在改變頻率時並不會影響到波速。(ii)，(b)。由於波速維持一定，頻率加倍的結果使得波長減半。(iii)，(d)。因為振幅與頻率無關，是以在沒有進一步資訊下無法判定新的振幅。 Ch13 力學波

例題13.2 一沿 x 軸向右行進的正弦波，其振幅為 15.0 cm，波長 40.0 cm且頻率為 8.00 Hz。在 x = 0 且 t = 0 時，該處介質的橫向位移恰好是 15.0 cm，如圖13.9所示。 A.求這個波的角波數、週期、角頻率以及波速。 解答 Ch13 力學波

例題13.2(續) Ch13 力學波

例題13.2(續) Ch13 力學波

例題13.2(續) B.求波函數中的相常數 ，並寫出此波函數的表示法。 解答 或 (或是 ) Ch13 力學波

線性波動方程式 介質橫向運動的最大速率 vy, max 與加速度 ay, max 分別可表示為： vy, max = wA ay, max = w2A 橫向速率與加速度它們不會在介質的同一位置發生 在 y = 0 處， vy 最大 在 y = ±A 處， ay最大 Ch13 力學波

線性波動方程式 波函數 y (x, t) 是線性波方程式的解 此一方程式提供了對波運動行為的完整描述 由此一方程式可以得到波的速率 線性波方程式，它是描述某些形式波的基礎 Ch13 力學波

線性波動方程式－一般形式 波動方程式可寫成下式 此一關係式可以適用於不同類型的橫波 式中 y 可以代表不同的物理量 Ch13 力學波

線性波動方程式－一般形式 波函數 y(x, t) = f(x ± vt) 滿足線性波動方程式 非線性波分析起來較為複雜 非線性波的振幅不會較波長短 Ch13 力學波

例題13.3 驗證例題13.1中所表示的波函數，為線性波動方程式的解。 解答 Ch13 力學波

例題13.3(續) Ch13 力學波

13.4 弦上橫波的波速

線性波方程式運用於繩上的波 繩中張力為 T 拿繩上一小段長度 Ds 來分析 此段繩子在 y 方向所受淨力為 此處採用了小角度的近似表示法 Ch13 力學波

線性波方程式運用於繩上的波 mDs 為長度Ds 的繩子質量 將正弦波函數代入線性波方程式中並加以微分，可以得到 此處的 v 即為繩中波行進的速率 它適用於任何形狀的脈波 Ch13 力學波

簡答題 13.3 假設你將拉緊繩子的自由端上下抖動，在繩中製造出一個脈波，繩子的另外一端綁在遠端的牆上，脈波花了 Dt 的時間抵達牆端。下述那一種動作能夠讓脈波本身從自由端抵達牆壁所花的時間減少？可能有不只一個單一的答案。(a) 依然維持上下抖動的幅度，但手抖動得更快；(b) 依然維持手上下抖動的幅度，但抖動得較慢； Ch13 力學波

簡答題 13.3 (c) 在相同的時間內，以較大的上下移動距離來抖動繩子；(d) 在相同的時間內，以較小的上下移動距離來抖動繩子；(e) 在相同張力與長度下換用一條較粗的繩子；(f) 在相同張力與長度下改用一條較輕的繩子；(g) 採用線密度相同的繩子，但繩中的張力較小；(h) 採用線密度相同的繩子，但繩中張力較原繩為大。 Ch13 力學波

簡答題 13.3 只有選項 (f) 與 (h) 是正確的。選項 (a) 及 (b) 會影響繩上質點橫向移動的速率，但是不會影響波在繩上行進的速率。選項 (c) 與 (d) 會改變振幅。選項 (e) 及 (g) 會使波速減小，以致傳遞時間會增加。 Ch13 力學波

例題13.4 粗細均勻的繩索質量 0.300 kg，長 6.00 m，繩索中的張力靠懸掛於索另一端，質量為 2.00 kg的物體來提供 (圖13.11)，求繩索中脈波的波速。 解答 Ch13 力學波

例題13.4(續) Ch13 力學波

例題13.5 在暴風雨後，一位80.0 kg的登山客被困在山崖邊，救難直升機飛臨他的上方並垂下一條繩索，繩索質量8.00 kg，長15.0 m，繩索下端附有一質量70.0 kg的吊籃，登山客爬上吊籃後，直升機隨即加速上升。在半空中登山客由於恐慌，試圖在繩索上製造一個橫波，向上傳送給飛行員。脈波在繩索中向上傳送共花了0.250 s，試問直升機向上加速飛行的加速度為何？ 解答 Ch13 力學波

例題13.5(續) Ch13 力學波

13.5 波的反射和透射

固定端的波反射 當波行進到繩的固定端時，波會被反射沿相反方向在繩中行進 此即為反射波 當波是被一個固定的界面反射時，反射波波形會顛倒 Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

自由端的波反射 如果將繩子的固定端改成自由端，此時端點處的繩子就能夠上下自由運動 波在端點處仍然會被反射 如果波是被一個自由端反射時，反射波的波形不會顛倒 Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

波的透射 如果界面是介於上述二極端狀況之間時 入射波所攜帶的能量，部份會被反射，而另一部份則穿透界面繼續前行 有一部份能量會從界面通過 Ch13 力學波

波的透射 假設有一條較輕的繩與一條較重的繩相連 一個脈波在輕繩中行進，最後抵達二繩相接的界面 脈波的一部份被反射而回，此一反射波波形恰好與入射波形上下顛倒 反射波的振幅較原先的入射波為小 Ch13 力學波

波的透射 如今假設一條重繩接上一條輕繩 部份的波被反射，部份的波則穿透到輕繩中 此時反射波的波形並沒有和入射波波形顛倒 Ch13 力學波

波的透射 能量守恆定律支配著波的反射與穿透行為 若在界面處，波一分為二，其一反射另一穿透，反射與穿透二波能量的總合必與原先的入射波能量相同 Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

13.6 繩中正弦波的能量傳送率

繩波中的能量 當波在介質中行進時，它傳送的是能量 我們可以將繩中每一成份看作是在做簡諧運動 繩上每一成份都有相同的總能 介質的振盪沿著 y 方向 繩上每一成份都有相同的總能 Ch13 力學波

Ch13 力學波

波的能量 每一段成份可視為具有Dm 的質量 它的動能 由於質量Dm = mDx 於是動能可寫成 當這一段長度縮小到接近零時，動能的表示法即可寫成微分形式： Ch13 力學波

波的能量 針對每一小段的動能加以積分，可以得到一個長範圍內，波的動能 而一個波長範圍內的位能為 於是得到波(脈波)的總能量 Ch13 力學波

伴隨著波的功率 功率是單位時間的能量傳遞率 繩上一正弦波所傳遞的功率與下列因素成正比 波頻率的平方 波振幅的平方 波的速率 Ch13 力學波

Ch13 力學波

簡答題 13.4 下列何者對一個在繩中行進波的能量傳送率提升影響最大？(a) 將繩子的線質量密度減半；(b) 將繩中的波長加倍；(c) 將繩中張力加倍；(d) 將波的振幅加倍。 Ch13 力學波

簡答題 13.4 (d)。波的振幅加倍，會使功率增為4倍。在 (a) 選項中，將繩子的單位長度質量減半，會導致功率減為原來的0.71倍。在選項 (b) 中，將波長加倍，會使頻率減半，如此一來會使得功率減為原來的0.25倍。在選項 (c) 中，將繩中張力加倍會使波速增加，使得功率變為原來的1.4倍，還是比選項 (d) 的功率小。 Ch13 力學波

例題13.6 一條線質量密度 的繩子，內部張力 。為了要在這條繩子中產生一個頻率60.0 Hz，振幅6.00 cm的正弦波，需對這條繩子輸入多大的功率？ 解答 Ch13 力學波

例題13.6(續) Ch13 力學波

13.7 聲波

聲波的介紹 聲波為縱波 它能在任何一種材質的介質中行進 波速大小，決定於介質的特性 正弦聲波的數學描述和繩中的正弦波極為類似 Ch13 力學波

Ch13 力學波

聲波的速率 用可壓縮氣體來當介質，同時將它組裝成右圖 在活塞位移動前，氣體在管內有均勻的密度 當活塞突然朝右移動時，只有在活塞前方的那部份氣體受到壓擠 圖中較暗的區域，表示氣體受到擠壓 Ch13 力學波

聲波的速率 當活塞停下來後，氣體被壓縮的部份仍持續前進 圖中較淡的區域氣體較為稀薄 這相當於一個縱向的脈波以速率 V 在管中移動 活塞移動的速率和波移動的速率並不一致 圖中較淡的區域氣體較為稀薄 Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

聲波的描述 相鄰二壓縮區(或二稀薄氣體區域)間的距離稱為波長 l 隨著這些壓縮區域的移動，區域內的氣體分子在波移動方向來來回回作簡諧運動 這些分子振動的方向與波行進方向平行 Ch13 力學波

位移波方程式 管中氣體分子隨聲波移動的位移函數s(x, t)可寫成 s(x, t) = smax sin (kx – wt) 上一式為位移波的方程式 式中 k 為波數 w 為活塞震動的角頻率 Ch13 力學波

壓力波方程式 相對於平衡時的氣體壓力，在波傳遞時氣體壓力的變化 DP 也是正弦函數的形式 壓力振幅與位移振幅成正比 壓力振幅 DPmax 為相對於平衡時壓力變化的最大值 壓力振幅與位移振幅成正比 Ch13 力學波

Ch13 力學波

聲波猶如位移波或壓力波 聲波可視為位移波或是壓力波 壓力波與位移波的相差為 90o Ch13 力學波

聲波速率的一般表示法 空氣中聲波的速率僅與溫度有關 TC 為空氣的攝氏溫度 聲音的速率在0°C的空氣中為 331 公尺/秒 Ch13 力學波

13.8 都卜勒效應

都卜勒效應 由於波源或觀察的移動，所觀測到的頻率(或波長)變化，此一現象稱為都卜勒效應 當聲源或是觀察者朝對方移動，所測得的頻率會增加 當聲源或是觀察者分離時，所測得的頻率會下降 Ch13 力學波

觀察者運動情況下的都卜勒效應 觀察者以 vo 速率運動 假設點波源相對於空氣為靜止 可以把聲波畫成一系列的同心圓，而以聲源為圓心 這些同心圓表面稱為波前 Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

觀察者運動情況下的都卜勒效應 二相鄰波前之間的距離稱為波長 聲音速率為 v，頻率 f，波長為 l 當觀測者朝聲源接近時，聲波相對於觀測者的速率變為 聲音的波長並未改變 Ch13 力學波

觀察者運動情況下的都卜勒效應 當觀察者朝聲源靠近時，觀察者所聽到的頻率 f’會增加 當觀察者遠離開聲源時，觀察者所聽到的頻率 f’會減少 Ch13 力學波

聲源運動情形下的都卜勒效應 考慮觀察者靜止而聲源運動的情形 當聲源朝觀察者接近時，聲波波長看起來會變長 當聲源自觀察者遠離時，聲波波長看起來會變短 Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

聲源運動情形下的都卜勒效應 當聲源朝觀察者接近時，頻率 f’會顯得較高 當聲源自觀察者遠離時，頻率 f’會顯得較低 Ch13 力學波

都卜勒效應的一般表示法 把聲源和觀察者同時在運動的情形合併起來，聽到的頻率 f’ 可寫成 上式 vO與 vS 的正、負號取決於速度的方向 Ch13 力學波

都卜勒效應 正負號規則的一個簡便判斷法 都卜勒效應對任何形式的波都適用 都卜勒效應和距離無關 聲源與觀察者相向接近，聽到的頻率會增加 當二者相互分開時，聽到的頻率會減少 都卜勒效應對任何形式的波都適用 都卜勒效應和距離無關 Ch13 力學波

激震波 聲源移動的速率有可能超過聲波的速率 在聲源的前方，由於能量的累積結果就產生了激震波 Ch13 力學波

簡答題 13.5 考慮在互動圖13.22b的A、B以及C三處來測量水波，下列那一項敘述是正確的？(a) 在A點的波速最大；(b) 在C點的波速最大；(c) 在B點所量得的波長最長；(d) 在C所量得的波長最長；(e) 在C點所測得的頻率最高；(f) 在A點所測得的頻率最高。 Ch13 力學波

簡答題 13.5 (e)。移動波源並不能改變波速，因此 (a) 與 (b) 是不正確的。圖中在A點所測得的波長最長，是故 (c) 與 (d) 錯誤。選項 (f) 也不對，因為在A點所測得的頻率最低。只有選項 (e) 是對的，因為在C處波長最小，所測得的頻率必然最高。 Ch13 力學波

簡答題 13.6 假設你站在火車站的月台上，傾聽一輛以等速駛入車站的火車。當火車接近月台但尚未抵達月台期間，你會聽到 (a) 火車所發出聲音的強度與頻率都逐漸在增加；(b) 聲音的強度與頻率都在逐漸降低；(c) 聲音的強度增加但頻率降低；(d) 聲音的強度降低但頻率增加；(e) 聲音強度增加但頻率保持不變；(f) 聲音強度降低但頻率保持不變。 Ch13 力學波

簡答題 13.6 (e)。由於火車朝你開來，聲音的強度必然增加。又因為火車是以等速率行駛，都卜勒頻率偏移是固定不變的。 Ch13 力學波

都卜勒效應－以潛水艇為例 潛艇A(聲源)以8.00公尺/秒速率行駛，發射頻率為1400赫的聲波 聲音在水中速率為1533公尺/秒 潛艇B(觀察者)以9.00公尺/秒行駛 當二艘潛艇相互接近時，觀測到的頻率是多少？ 若二艘潛艇各自倒退遠離時，所聽到的聲音頻率又是多少？ Ch13 力學波

都卜勒效應－以潛水艇為例 二者相互靠近(vO與vS取正) 相互倒退分開(vO 與vS取負) Ch13 力學波

例題13.7 潛艇A與潛艇B在水下相互接近，潛艇A以8.00 m/s的速率在水中行駛，發出一頻率為1400 Hz的聲納波，潛艇B則以9.00 m/s速率行駛於水中，已知聲音在水中的速率為1533 m/s。 A.當二艇相互接近中，潛艇B上的觀察者測得聲納頻率為何？ 解答 Ch13 力學波

例題13.7(續) B.二艇在相互會面且各自通過對方艇身時，B艇上觀察者所測得的頻率為何？ 解答 Ch13 力學波

例題13.7(續) C.當二艇相互接近時，由A艇發出的聲納，有一部分會被B艇反射後再回到A艇。這種反射而回的聲納，由A艇上的觀察者測得的頻率為何？ 解答 Ch13 力學波

13.9 延伸議題：地震波

聲波速率 聲波在介質中的速率取決於介質的壓縮性和密度 某些狀況下介質的壓縮性可以用材料的彈性係數來表示 所有力學波的速率 v，一般可表示成 Ch13 力學波

大塊固體中橫波的速率 材料的切變係數為 S 材料的密度為 r 介質中的聲速 vS 可表示為 Ch13 力學波

液體或氣體中的聲速 材料的體積彈性係數為 B 材料的密度為 r 介質中的聲速 v 可寫成 Ch13 力學波

固體中縱波的波速 材料的體積彈性係數為 B 材料的切變係數為 S 材料的密度為 r 介質中縱波的波速 v 可寫成 Ch13 力學波

地震波 當地震發生時，大量的能量在震源(focus)處瞬間被釋放出來 震央(epicenter)是地球中心與震源連線，位於地球表面上的位置 自震源釋放出來的能量，會以地震波(seismic wave)的方式向外傳送 Ch13 力學波

地震波的類型 P 波 S 波 P 代表主要的 它是縱波 它最先抵達地震計上 S 代表次級的 它是橫波 它較 P 波略晚抵達地震計 Ch13 力學波

地震計上的紀錄 Ch13 力學波

Ch13 力學波

NEXT If you can't see the image above, please install If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch13 力學波

地球的斷層面 Ch13 力學波