第二节 随机事件的概率

随机事件的频率Frequency A=“出现正面” 出现正面m次 随机试验 抛掷一枚均匀的硬币 试验总次数n 将硬币抛掷n次 随机事件

Experiment of tossing coin 抛掷硬币的试验 Experiment of tossing coin 历史纪录 试 验 者 抛 掷 次 数n 出现正面的次数m 出现正面的频率m/n 2048 1061 0.518 德.摩 根 2048 蒲 丰 0.5069 4040 皮尔逊 12000 6019 0.5016 24000 皮尔逊 12012 0.5005 维 尼 30000 14994 0.4998 程序模拟 抛掷硬币模拟试验

频率和概率 频率的稳定性 随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显 事件的概率 事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率

概率的统计定义 当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率 对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称p为事件Ａ的概率 当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率

再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2： 发芽率 发芽粒数 种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.

概率的统计定义 频率 稳定于概率 性质 （1） （2） （3） 若A，B互斥，则

古典概率模型 有限性 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间Ω是个有限集 等可能性 每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即 其中 , .

古典概型的概率计算 确定试验的基本事件总数 设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性 确定事件A包含的基本事件数 事件Ａ由其中的m个基本事件组成

古典概率的计算：抛掷骰子 抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率． 试验 样本空间 Ω ={1，2，3，4，5，6} n=6 事件A m=2 Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数” ={4，6} 事件A的概率

古典概率的计算：正品率和次品率 设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正品． 这批产品的次品率 mA＝ 4 n＝ 100 任取3件，全是正品的概率 任取3件，刚好两件正品的概率

古典概率的计算： 有放回抽样和无放回抽样 设在10 件产品中，有2件次品，8件正品． A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品” 第一次抽取后，产品放回去 第一次抽取后，产品不放回去

古典概率的计算：投球入盒 把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。 A=“指定的三个盒内各有一球 B =“存在三个盒，其中各有一球 a b c d e

古典概率的计算：生日问题 某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天） 分析 此问题可以用投球入盒模型来模拟 50个学生 50个小球 365天 365个盒子 相似地有分房问题 人 小球 房子 盒子

生日问题模型 某班有n个学生，设一年N天,则他们的生日各不相同的概率为 没问题！ 可能吗？ 至少有两人生日相同的概率为 N 10 20 23 30 40 50 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97

古典概率的计算：抽签 10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率。 基本事件总数 基本事件总数 另外9个学生抽取剩下9张 第五个学生抽到入场券 所以抽签后千万别和别人说结果！！！！！

古典概率的计算：数字排列 用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数 没有相同数字的三位数的概率 没有相同数字的三位偶数的概率 ＝ 0.192 百位十位 个位

生活中的数字排列 彩票 买一注7位数中彩票的概率是？？？ 小概率事件的存在 小概率事件的意义：飞机、火车、汽车的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次试验中一般认为不会发生，但是试验次数多就会必然发生。

 匹 配 问 题 某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中， 求全部装对的概率。 解 设“全部装对”为事件A 匹 配 问 题 某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中， 求全部装对的概率。  解 设“全部装对”为事件A 总的基本事件数为 4！ A所包含的基本事件数为 1 所以

概率的古典定义 性质 （1） （2） （3） 若A，B互斥，则

几何概型 Geometric Probability 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。 特点 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 几何度量--------指长度、面积或体积

几何概型的计算 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。 = [2 , 3] = 3-2 = 1 = 5- 0 = 5

几何概型的计算：会面问题 甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。 解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则 30 10 y x 二人会面

布丰的投针试验 公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。 试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！” 众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”

几何概型的计算：布丰投针问题 设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线， 向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（l<a）的针，求 针与直线相交的概率。 θ d 2a l 解 设针的中点离较近直线的距离 为d，针与较近直线的交角为θ。 则d与θ的可取值为 0<d<a , 0<θ<π 针与直线相交 0<d<lsinθ d a θ π 所求概率为

几 何 概 型 性质 （1） （2） （3） 若A，B互斥，则

练一练 一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘 客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件 的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同 的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有 4人在第8层下}。 解 总的基本事件数： 各事件含有的基本事件数分别为： A1 A2 A3 A4 1 所以，各事件的概率为： ………..

思考题 1、 从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四 只，问能凑成两双的概率是多少？ 解 设“能凑成两双鞋”为事件A 总的基本事件数： 有利事件数： 所以，所求概率为

思考题 2， 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？ C 解 以A为起点，逆时针方向为正， r B C O r 解 以A为起点，逆时针方向为正， B至A的曲线距离为x，C至A的 曲线距离为y，则 ∆ABC为锐角三角形 或

思考题 2， 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？ 解 …….. ∆ABC为锐角三角形 或 所求概率为 解 …….. ∆ABC为锐角三角形 或 所求概率为 直角三角形？钝角三角形？？

3，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现 6点”，“点数之和为8”的概率。 解 总的基本事件数为 事件A“至少出现一个6点”所包含的基本事件数为 事件B“点数之和为8”所包含的样本点为 所以

4， 包括甲，乙在内的10个人随机地排成 一行，求甲与乙相邻的概率。若这10个人 随机地排成一圈，又如何呢？ 解 总的基本事件数为 排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 所求概率为

概率的公理化定义及其性质

概率的公理 化定义 给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于任意一个事件Ａ，赋予一个实数 ，如果 满足下列三条公理， 那么，称 为事件Ａ的概率． 非负性： Ｐ(Ａ)≥0 规范性： Ｐ(Ω)=1 可列可加性： 两两互不相容时 Ｐ（Ａ1 ∪Ａ2 ∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…

概率的性质 证明 由公理 3 知 所以 不可能事件的概率为零

注意事项 但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如： 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。

有限可加性 设A1，A2， … , An两两互不相容，则 证明 在公理3中 , 取Ａi = （i=n+1,n+2,… ）.

差事件的概率 若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A) Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）

加法定理 对任意两个随机事件Ａ、Ｂ ，有

加法定理 A

逆事件的概率 证明 由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有 而 所以

例 解 袋中有20个球，其中15个白球，5 个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率． 设Ａ表示至少取到一个白球，Ａi 表示刚好取 到i个白球，i＝0，1，2，3， 则 方法１ （用互不相容事件和的概率等于概率之和） Ｐ(A)＝Ｐ(A1∪Ａ2∪Ａ3)＝Ｐ(Ａ1)＋Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(Ａ3) 方法２ （利用对立事件的概率关系）

甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率． 例 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则 解 ＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97

例 解 已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种 情形下分别求出P(A-B)与P(B-A) (1) 事件A,B互不相容 (2) 由已知条件和性质3,推得必定有

练一练 投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）. 解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为 所包含的样本点为 所以

考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0. 3, 乙城出现雨天的概率是0. 4, 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0 考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天的概率是0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率. 练一练 解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨” 则 所以

练一练 把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒 可识别),求前三个盒当中有空盒的概率. 解 设 表示第 个盒空着 则所求概率为