第5课时 数列的综合应用

基础知识梳理 1．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2) ——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4) ——将所求结果还原到原实际问题中． 建模 还原

基础知识梳理 2．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

基础知识梳理 思考？ 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 【思考·提示】　单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型． 思考？

基础知识梳理 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．

三基能力强化 1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是( ) 1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是(　　) A．2004　　　　　B．2006 C．2008 D．2010

三基能力强化 解析：选D.设出齐这套书的年份数是x，则有

三基能力强化 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 答案：B

三基能力强化 A．10 B．11 C．12 D．13 答案：B

三基能力强化 4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的个数为________． 答案：0

三基能力强化 5．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为________． 答案：25%

课堂互动讲练 考点一 等差数列模型的应用 解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化．然后用等差数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力．

课堂互动讲练 例1

课堂互动讲练 【思路点拨】

课堂互动讲练 元(n∈N*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值．

课堂互动讲练

课堂互动讲练 【名师点评】 解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是： 【名师点评】　解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是： 从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：

课堂互动讲练 考点二 等比数列模型的应用 有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用．

课堂互动讲练 例2 用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批房实际支付多少万元？

课堂互动讲练 【思路点拨】　应根据题意，计算出前几次还款的数额，探寻规律，判断每次还款数额构成的是等差数列还是等比数列，用相应数列知识解决问题．

课堂互动讲练 【解】　购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列{an}，故a1＝100＋2000×0.01＝120(万元)，a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(万元)，a3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(万元)，a4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(万元)，…，an＝100＋[2000－100(n－1)]×0.01＝120－(n－1)＝121－n(万元)(1≤n≤20，n∈N*)．

课堂互动讲练 因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列，故a10＝121－10＝111(万元)．a20＝121－20＝101(万元).20次分期付款的总

课堂互动讲练 【规律总结】 处理分期付款问题 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． 【规律总结】　处理分期付款问题 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．

课堂互动讲练 考点三 等差、等比数列的综合问题 1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． 2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．

课堂互动讲练 例3 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

课堂互动讲练 【思路点拨】　(1)利用条件联立方程求a2，然后再求q即可得an；(2)可知{bn}是等差数列，利用求和公式可解．

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课堂互动讲练 (2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2. 又bn＋1－bn＝3ln2， ∴{bn}是等差数列．

课堂互动讲练 【思维总结】　根据题目信息推断出bn为等差数列．

课堂互动讲练 互动探究 例3中若条件改为若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－1，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝log2a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

课堂互动讲练 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，a1＝1， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}是首项为a1＝1，公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式是an＝2n－1.

课堂互动讲练 (2)由于bn＝log2a3n＋1，n＝1,2，… 由(1)可得a3n＋1＝23n， ∴bn＝log223n＝3n，∴{bn}是等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

课堂互动讲练 考点四 数列与其他知识的综合问题 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度．所以，解决此类题目仅靠掌握一点单科知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．

课堂互动讲练 例4 (解题示范)(本题满分12分) 已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1；

课堂互动讲练 【思路点拨】　(1)利用An点处的切线方程及Bn点的横坐标与An＋1的横坐标相同均为an＋1即可得an与an＋1的关系式，从而求得an； (2)构建函数关系求最值即可证明．

课堂互动讲练 【解】 (1)∵曲线C在点An(an，an2)处的切线ln的斜率是2an， ∴切线ln的方程是y－an2＝2an(x－an)，2分 由于点Bn的横坐标等于点An＋1的横坐标an＋1，

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课堂互动讲练 【名师点评】　数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点．数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选．

课堂互动讲练 高考检阅

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课堂互动讲练 ∴bn＝n·2n， 9分 Sn＝2＋2·22＋…＋n·2n 2Sn＝22＋2·23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1 两式相减得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 12分

规律方法总结 数列的综合应用通常有三种类型 1．数列知识范围内的综合应用 (1)等差、等比数列以及递推公式之间的综合问题 (2)解此类题型时，要紧扣等差、等比数列的定义和性质，做出合理的分析，灵巧地选择公式或性质，找出解题的切入点和思路．

规律方法总结 2．数列的实际应用问题 (1)现实生活中涉及到的利率(复利)、产品利润、平均增长率、信贷、保险、环保、人口增长等问题，常常利用数列知识建立数学模型加以解决． (2)用数列建模的思路和步骤 ①审题：明确哪些量能组成等差数列、等比数列或哪些量给出的是递推关系式．

规律方法总结 ②抓住数量关系，精心联想，将文字语言转译成数学(符号)语言．若是等差(比)数列则应明确a1，an，n，d(q)，Sn中，已知哪几个，需求哪几个；若是递推公式，则应明确已知的是Sn还是an的递推关系式，求哪些量，以及落实初始条件． ③将实际问题转化成数学问题，列出符合题意的数学关系式．

规律方法总结 3．数列与其他分支的知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、极限等知识的综合． (2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．

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