新竹縣中小學 資訊融入數學領域數位補助教材 翰林版七年級下學期 第三章第二節 連比例與正反比 本著作係依據創用 CC 姓名標示-非商業性-相同方式分享 2.5 台灣 授權條款進行授權。如欲瀏覽本授權條款之副本， 請造訪 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/tw/ ，或寄信至 Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA或 http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/tw/。本教材裡的題目皆取材自翰林版課本

連比的意義 如果園遊會上，用3杯柳橙汁、2杯蘋果汁與1杯養樂多（杯子容量均相同），調配成「健康多多」飲用。那我們可以說它是用柳橙汁、蘋果汁、養樂多依序按 的比例調製而成，這樣的比稱為 ，其中3、5、4稱為 。 3：2：1 連比 連比的項 因此，如果a、b、c皆不為0，那麼在數學上稱「 a比b比c 」為a、b、c 的 ，記為 ，其中a、b、c稱為 。 連比 a：b：c 連比的項 ＜重點＞ a、b、c皆不為0 知道a：b、b：c與a：c的其中兩個比，就可以推得第三個比。 ＜例＞ a：b＝3：5 .b：c＝5：4 → → → a：c＝3：4 →

連比的求法 ＜重點＞ a、b、c皆不為0 知道a：b、b：c與a：c的其中兩個比，就可以推得 a：b：c 。 ＜例4-5＞ 若a：b＝5：6，b：c＝4：3，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c . ×2 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .5：6 10：12 . 10：12：9 . → . → . → ..4：3 .12：9 . ×3 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

連比的求法 連比的求法 ＜例6＞ 若 a：c ＝（1/ 2）：（2/ 5） ， b：c＝ （1/ 7）：（1/ 6） ，求 a：b：c 。 首先將a：c ＝（1/ 2）：（2/ 5）化成 a：c＝5：4。 接著把b：c＝ （1/ 7）：（1/ 6）化成 b：c＝6：7。 a：b：c a：b：c a：b：c . ×7 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .5 .： 4 .35 ：28 . 35：24：28 . → . → . → ..6： 7 24 ：28 . ×4 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

連比的求法 連比的求法 ＜例7＞ 已知a、b、c皆不為0，2a－b＝－3a＋3b －5b＝4c，求 a：b：c 。 首先將2a－b＝－3a＋3b化成 5a＝4b → a：b＝4：5 －5b＝4c → b：c＝4：－5 a：b：c a：b：c a：b：c . ×4 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .4：5 16：20 . 16：20：-25 . → . → . → ..4：-5 20：-25 . ×5 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

連比的實例練習 ＜例8＞若△ABC的三邊長的比5：6：7，且它們所對應高 的長度分別為a、b、c，請求出a：b：c。 首先假設三角形邊長依序為5r、6r、7r （ r ‡ 0 ） 因為三角形面積公式為（底×高）÷2 所以此三角形面積＝（5ra）÷2、（6rb）÷2 與（7rc）÷2 5ra ＝ 6rb ＝ 7rc 2 2 2 同乘以2 /r → 5a ＝ 6b ＝ 7c 210 210 210 同除以210 → 約分後，可得知 a：b：c ＝ 42：35：30 可以想想看是否有其他的對策呢？

所以 a：b：c＝（1/2）r ：（1/3）r ：（1/4）r ＝ 6：4：3 連比的求法 ＜例9＞ 已知a、b、c皆不為0，2a＝3b＝4c，求 a：b：c 。 2a ＝ 3b ＝ 4c 策略一 同除以12 → 12 12 12 約分後，可得知 a：b：c＝6：4：3 策略二 首先將 2a＝3b 化成 → a：b ＝ 3：2 3b＝4c 化成 → b：c ＝ 4：3 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ a：b：c a：b：c a：b：c ..3：2 . ×2 .6：4 . 6：4：3 . → . → . → ..4：3 4：3 . ×1 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。 策略三 設2a＝3b＝4c＝r （ r ‡ 0 ） 則a＝（1/2）r b＝（1/3）r c＝（1/4）r 所以 a：b：c＝（1/2）r ：（1/3）r ：（1/4）r ＝ 6：4：3

連比例式的意義 ＜推論1＞如果 . a：b＝3：5 b：c＝5：4 → → → ＜推論2＞ a＝3k → b＝5k c＝4k 如果「健康多多」飲料剛剛喝完，想要用a杯柳橙汁、b杯蘋果汁與c杯養樂多，再調製濃度相同的「健康多多」飲料飲用，則柳橙汁、蘋果汁、養樂多依序便必須按3、2、1的比例調製而成，我們可寫成 ，這稱為 。 a：b：c＝ 3：2：1 連比例式 ＜推論1＞如果 . a：b＝3：5 b：c＝5：4 → → → ＜推論2＞ a＝3k → b＝5k c＝4k

連比例式的性質與比較 ＜重點＞ 設a、b、c皆不為0，且x：y：z ＝ a：b：c 我們可得到以下結果 （一） （二） x＝ak y＝bk z＝ck ＜比較＞已知a：b：c ＝ 2：3：4， 請問4a＝3b＝2c對嗎？ a＝2k 4a＝8k 我們可以假設 b＝3k k不為0 → 3b＝9k → 不對 2c＝8k c＝4k 因此，連比例式並不適用內項乘積＝外項乘積的性質！ 所以要從連比例式取出比例式，用內項乘積＝外項乘積的性質來求項！

若用柳橙汁、蘋果汁與養樂多以3：2：1的比例， 調配成45公升的「健康多多」飲用，則每項材料各需多少才行？ 連比例式的實例練習 ＜例1＞ 若用柳橙汁、蘋果汁與養樂多以3：2：1的比例， 調配成45公升的「健康多多」飲用，則每項材料各需多少才行？ 健康多多－柳橙汁、蘋果汁與養樂多連比為 3 ： 2 ： 1 健康多多 → 6 ↘ 養樂多 1乘以7.5＝7.5（L） → 45 ↓ 蘋果汁 2乘以7.5＝15（L） . ↑ 6乘以7.5＝45 ↓ 柳橙汁 3乘以7.5＝22.5（L） 可以想想看是否有其他的對策呢？

甲乙丙三人合夥做生意，投資金額比例為5：6：4， 若賺300萬元，則按投資比例，每人各得多少盈餘才行？ 連比例式的實例練習 ＜例2＞ 甲乙丙三人合夥做生意，投資金額比例為5：6：4， 若賺300萬元，則按投資比例，每人各得多少盈餘才行？ 投資比例－ 甲 乙 丙連比 5 ： 6 ： 4 總和 → 15 ↘ 丙 4乘以20萬＝80萬（元） → 300萬 ↓ 乙 6乘以20萬＝120萬（元） . ↑ 15乘以20萬＝300萬 ↓ 甲 5乘以20萬＝100萬（元） 可以想想看是否有其他的對策呢？

有塊含金、銀、銅的合金，其金屬混合比例為3：2：6， 若此合金所含的銅與銀重量相差36公克，則此合金總重量為何？ 連比例式的實例練習 ＜例3＞ 有塊含金、銀、銅的合金，其金屬混合比例為3：2：6， 若此合金所含的銅與銀重量相差36公克，則此合金總重量為何？ 混合比例－ 金 銀 銅連比 3 ： 2 ： 6 合金 → 11 ↓ 銅－銀＝6－2＝4 4乘以9＝36（g） . ↑ 11乘以9＝99 （g） 可以想想看是否有其他的對策呢？

連比的重點整理 本節概念 1.連比：設x 、y 、z 是不為零的三個數量， 則三個量的比可寫成x : y : z ，稱為x 、y 、z 的連比。 2.連比例式：形如x : y : z ＝ a : b : c （其中a 、b 、c 都不為零），稱為連比例式。 它的意義是x : y = a : b ， y : z = b : c ， z : x = c : a 。  可設x = ar ， y = br ， z = cr ，且r ‡ 0 。 3.若已知下列三個比例式 「x : y = a：b ， y : z = b : c ， z : x = c : a 」 中的任意兩個，則可以求出連比例式 x : y : z ＝ a : b : c 。

正比的意義 若將漂白水和清水按照體積1：99的比例，來調製消毒水， 如下表所示： 清 水 1 99 2 3 4 5 198 297 396 495 …. 當漂白水變為2倍、3倍、4倍、…時，清水的量也同時變為2倍、3倍、4倍、…；相反的，當漂白水變為（ 1/2 ）、（ 1/3 ）倍、…時，清水的量也同時變為（ 1/2 ）、（ 1/3 ）倍、…。 這時我們說漂白水體積和清水體積成正比。 漂白水：清水＝1：99；換句話說 漂白水÷清水的比值＝（1/99），是一個固定的值。 若漂白水體積Xml，清水體積Yml，則Y＝99X。 ＜重點＞當X改變時，Y也隨著改變， 而且保持Y是X的某固定倍數，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成正比，關係式可寫成y=kx 或（y/x）=k。

正比的實例 ＜例10＞若騎自行車的速率每分鐘0.25公里， 若x代表騎乘時間，y 代表騎乘距離，請完成下列各題。 （1）請完成右表。 20 0.5 0.75 1 0.25a X 分鐘 Y 公里 1 0.25 2 3 4 5 a （2）求y與x的關係式。 由上面的敘述，我們可發現 y / x＝0.25，可改寫成 y＝0.25x。

正比的實例 ＜例11＞若彈簧秤在彈性限度內最多秤重20公斤， 如果秤15公斤重的物體，彈簧被拉長24公分， 則秤9公斤重的物體，彈簧被拉長多少公分？ 我們知道在彈性限度內，彈簧秤的伸長量與物重成正比。 所以24：15＝伸長量：9 所以15 × 伸長量＝ 9 × 24 伸長量＝（ 72 / 5 ） 公分。 可以想想看是否有其他的對策呢？

正比的實例 ＜例12＞已知y與x成正比，x＝2，y＝6 （1）x和y的關係式 （2）當y＝2，x是多少？ （1）因為y與x成正比，所以y÷x的比值固定。 所以y÷x＝3 關係式為y＝3x （2）將y＝2代入關係式y＝3x 所以x＝2/3

正比的實例 ＜動動腦＞ （1）一個人身高與年紀是否成正比？說說看你的想法。 （2）若x和y均不為0，且x＋y＝0， 則x和y是否成正比？ （1）NO，因為青春期的時候，身高會隨著年紀增加， 但相除所得的比值不一定固定；而年老時身高有時 還會減少。 （2）YES，因為x＋y＝0 → 移項後得 y＝－x 所以y÷x的比值皆為－1 x和y成正比 請同學舉幾個正比的例子吧！

反比的意義 若帶120元購買文具，購買文具數量與單價間的關係， 如下表所示： 單 價 數 量 10 12 20 30 40 50 6 4 3 2 …. 當文具單價變為2倍、3倍、4倍、…時；所購買的量也同時變為（ 1/2 ）、（ 1/3 ）倍、… ；相反的，當文具單價變為（ 1/2 ）、（ 1/3 ）倍、 …時，所購買的量也同時變為2、3 倍、…。 這時我們說文具單價和購買的量成反比。 身上帶的錢是固定的；換句話說文具單價和購買的量的乘積＝120，是一個固定的值。 若文具單價X元，所購買的量Y件，則XY＝120。 ＜重點＞當X改變時，Y也隨著改變， 而且X 和Y的乘積為固定值，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成反比，關係式可寫成xy=k 或y=k（1/x）。

反比的實例 ＜例13＞若甲乙兩村相距24公里，步行的速率每小時x公里， 所需時間y 小時，請完成下列各題。 （1）請完成右表。 8 6 16 X Y 小時 1 24 2 3 4 12 1.5 （2）求x與y的關係式。 由上面的敘述，我們可發現 xy＝24。 （3）x和y成反比。

反比的實例 ＜例14＞已知y與x成反比，x＝2，y＝6 （1）x和y的關係式 （2）當x＝5，y是多少？

反比的實例 ＜動動腦＞ 一天有24小時，分成白晝與黑夜，夏天晝長夜短， 冬天晝短夜長，則白晝和黑夜是否成反比？ NO，因為白晝與黑夜的時數相乘所得的乘積不固定。 請同學舉幾個反比的例子吧！

而且保持Y是X的某固定倍數，以k表示（k ≠0）， 正反比的重點整理 本節概念 1.正比：當X改變時，Y也隨著改變， 而且保持Y是X的某固定倍數，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成正比， 關係式可寫成y=kx 或（y/x）=k。 2.反比：當X改變時，Y也隨著改變， 而且X 和Y的乘積為固定值，以k表示（k ≠0）， 我們可說y與x成反比， 關係式可寫成xy=k 或y=k（1/x）。

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