第十四章 波的重疊與駐波

Ch14 波的重疊與駐波

波和質點的比較 波具有特定的大小－就是它的波長 質點不具任何大小 同一介質中，好幾個波可以於空間相同位置相互結合 所謂多個質點，它們一定分散在不同的空間位置上 同一介質中，好幾個波可以於空間相同位置相互結合 Ch14 波的重疊與駐波

14.1 重疊原理

重疊原理 二個或二個以上的行波，在介質中某一點結合時，介質中分子的合成位移是來自於各個波所產生位移的相加 遵循重疊原理的波稱為線性波 一般而言，線性波的振幅遠小於其波長 Ch14 波的重疊與駐波

重疊的例子 二個脈波面對面的接近 二波波速相同但波形互異 二個波的分子位移都是正的 朝右移動的脈波其波函數為 y1 ，朝左移動的脈波其波函數為 y2 二波波速相同但波形互異 二個波的分子位移都是正的 Ch14 波的重疊與駐波

重疊的例子 當二波相互重疊時，如圖(b)，合成波的波函數為 y1 + y2 當二波的波峰相遇時，如圖(c) ，合成波的振幅較原來二波的振幅為大 Ch14 波的重疊與駐波

重疊的例子 二脈波相遇後再分開 它們持續朝會合前的方向各自運動 分開後二波的波形又回到原先的樣子，絲毫不受重疊而有所改變 Ch14 波的重疊與駐波

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彈簧中波的重疊 二個振幅相同，波形對稱的波在彈簧中迎面行進。 它們波形的變化，遵循波的重疊原理 Ch14 波的重疊與駐波

重疊與干涉 二波相互通過時，波形不會改變，波也不會被摧毀 二個不同的波在空間某一區域結合形成合成波，此一現象稱為干涉 此一現象是重疊原理的必然結果 二個不同的波在空間某一區域結合形成合成波，此一現象稱為干涉 Ch14 波的重疊與駐波

干涉的類型 若形成干涉的二個波，它們的位移在同一方向時，所形成的合成波稱為建設性干涉 合成波的振幅較原來的二個波都大 若形成干涉的二個波，它們的位移是反方向時，所形成的合成波稱為破壞性干涉 合成波的振幅較原來的二個波都小 Ch14 波的重疊與駐波

破壞性干涉的例子 二脈波相向移動 二脈的位移方向相反 當二波重疊時，它們的位移有部分相互抵消了 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.1 二個形狀完全相同的脈波，在同一條繩子上相向行進，唯一的差別是二者的位移相反，請問當這二個波完全重合在一起時，繩子的形狀會變成怎樣？(a) 伴隨脈波的能量消失了；(b) 繩子不會上下振動；(c) 繩子形成一條直線；(d) 二個脈波消失掉永不再出現。 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.1 (c)。由於繩中各點受二脈波影響所產生的位移恰好完全抵消，但是繩子仍持續運動著。經過極短的時間後，繩子又會出現位移，二脈波已相互通過對方。 Ch14 波的重疊與駐波

14.2 波的干涉

正弦波的重疊 假設有二個波沿同方向行進，它們的頻率、波長、振幅均相同 此二波唯一的差異是其相位 Ch14 波的重疊與駐波

正弦波的重疊 這二個波的合成結果，其波函數 y仍然是正弦函數 合成波和原先的這二個波有相同的頻率與波長 合成波的振幅變為 2A cos (f/2) 合成波的初相角變成為 f/2 Ch14 波的重疊與駐波

正弦波的建設性干涉 當 f = 0時，cos (f/2) = 1 合成波的振幅變為 2A 這二個波的任何一個地方都是同相位的 二個波的波峰與波峰重疊 這二個波的任何一個地方都是同相位的 此二波形成建設性的干涉 Ch14 波的重疊與駐波

正弦波的破壞性干涉 當 f = p時，cos (f/2) = 0 合成波的振幅這時變成了 0 此二波形成破壞性的干涉 一個波的波峰與另一個波的波谷重疊 此二波形成破壞性的干涉 Ch14 波的重疊與駐波

正弦波的一般性干涉 當二波的相位差 f 不是 0 或 p 的奇數倍時合成波的振幅就介於 0 與 2A 之間 二個波函數仍然可以相加 Ch14 波的重疊與駐波

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正弦波干涉時的重點 建設性干涉發生於 f = 0 時 破壞性干涉發生於 f = np ，此處 n 為奇數 合成波的振幅為 2A 破壞性干涉發生於 f = np ，此處 n 為奇數 此時振幅為 0 一般性的干涉發生於 0 < f < np 合成波振幅介於 0 < A合成 < 2A 之間 Ch14 波的重疊與駐波

聲波的干涉 由揚聲器發出的聲音可循二個不同的路徑抵達接收者 右圖上方的路徑是可以改變(可調)的 當上下二路徑差 時，二個聲波就形成了建設性干涉 Ch14 波的重疊與駐波

聲波的干涉 當 (此處n 為奇數)，這時候就形成了破壞性干涉 由同一聲源所發出的波，當它們所走的路徑不一樣長時，它們之間就會產生相位差 一般而言，路程(徑)上的差異可以透過相位差來表示 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.1 二只喇叭相隔3.00 m，由同一振盪器 (聲源) 以同相位的方式來驅動 (圖14.5)。一位聽者最初位於 O 點，該處距二只喇叭連線中點8.00 m，這位聽者接著朝 P 點移動，它與 O 點間相距0.350 m，在 P 點他聽到第一個音波破壞性干涉所產生的聲音極弱現象，試問此振盪器的頻率為多少？ 解答 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.1(續) Ch14 波的重疊與駐波

14.3 駐波

駐波 假設在同一介質中，二個振幅、頻率、波長都完全相同的二個波，相互反向而行 二波的函數分別為： 及 它們依然遵循波的重疊原理進行干涉 二波的函數分別為： 及 它們依然遵循波的重疊原理進行干涉 Ch14 波的重疊與駐波

駐波 合成波的波函數變為 這是駐波的波函數 我們觀察一個駐波，可以發現它呈現出不朝原先那兩個波行進方向運動的現象 這裡沒有出現 kx – wt 項，所以它不再是一個行進波 我們觀察一個駐波，可以發現它呈現出不朝原先那兩個波行進方向運動的現象 Ch14 波的重疊與駐波

振幅 有三種類型的振幅可以用來描述各種的波 各別波的振幅 A 介質中每一成份做簡諧運動的振幅 2Asin kx 駐波的振幅 2A 介質中位在 x 處的質點，受駐波的波包函數 2Asin kx 約束而振盪 Ch14 波的重疊與駐波

駐波－質點運動 介質中每一成份都以角頻率 w 做簡諧運動 然而各成份做簡諧運動的振幅大小卻隨所在位置而異 振幅隨位置改變的關係由 2Asin kx 決定 Ch14 波的重疊與駐波

駐波－相關的一些定義 節點(node)是指振幅為零的地方 反節點(antinode) 是指介質發生最大位移 2A 的地方 這些位置出現於 這些反節點的位置位於 Ch14 波的重疊與駐波

節點和反節點－相關的圖片 Ch14 波的重疊與駐波

節點和反節點的特徵 相鄰二反節點間相距 l/2 相鄰二節點間也是相距 l/2 臨鄰的節點與反節點間相距 l/4 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.3 將互動圖14.8看作是一條繩上的駐波，並規定繩中各質點向上運動時的速度為正。(i) 在繩子呈現出如互動圖14.8a下方圖形時，沿著繩子其上各點的瞬時速度為 (a) 各點均為零；(b) 各點速度均為正；(c) 各點速度均為負；(d) 隨位置的不同而有不同的速度。(ii) 當繩子呈現如互動圖14.8b下方的形狀時，從上述各選項中選出最適合的答案。 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.3 (i)，(a)。互動圖14.8a下方的圖形對應著繩子位置的最大極限，繩上各點會暫時在該處停頓。請注意 (14.3) 式的對時間微分結果，代表繩上各點的橫向速度 。只要 時，繩上各點的速度即為零。(ii)，(d)。在節點的附近，位於節點一側的繩子在這一刻是朝上運動的，而在另一側的繩子則向下運動。 Ch14 波的重疊與駐波

節點和反節點的特徵 上面三個圖形代表不同時間，由二個振幅相同反向運動的波所建立的駐波波形 對一個駐波來說，介質中每一成份相對於其平衡位置，以介於圖(a)與圖(c)二圖形的位移做上、下(正、反)交替的變換 Ch14 波的重疊與駐波

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例題14.2 二個相向行進的橫波，重疊後形成了駐波。這二個波的波函數分別為 這裡所用到的與單位均為公分。 二個相向行進的橫波，重疊後形成了駐波。這二個波的波函數分別為 這裡所用到的與單位均為公分。 A.求介質中位於 x = 2.3 cm處質點的最大橫向位置。 解答 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.2(續) Ch14 波的重疊與駐波

例題14.2(續) B.求此駐波的節點與反節點的位置。 解答 Ch14 波的重疊與駐波

14.4 繩中的駐波

繩中的駐波 考慮一條二端固定的弦 繩長 L 藉由在繩中產生一個波，而這個波又在二固定端間不斷地被反射，來形成一個駐波 此一駐波受到邊界條件的約束 Ch14 波的重疊與駐波

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繩中的駐波 繩的二固定端必須是駐波的節點 這樣的邊界條件在繩中會形成一組簡正振動模態(normal mode) 因為這二端是固定性的，不可能移動，所以該處繩的位移需為零 這樣的邊界條件在繩中會形成一組簡正振動模態(normal mode) 每一簡正振動對應一特有的頻率 繩上這種簡正振動模態，可以藉由繩二端需為節點，相鄰節點與反節點間相距為 l/4 ，這兩項要求來建構 Ch14 波的重疊與駐波

繩中的駐波 右圖為滿足前述二條件下的第一個常態振動模態 它的節點位於繩的二端 在二固定端的中點僅有一個反節點出現 這一振動模態所對應的波長 l，是在繩二端固定的邊界條件下最長的波長 1/2l1 = L ，因此 l1 = 2L Ch14 波的重疊與駐波

繩中的駐波 右圖由上往下，我們依序在二固定端間增加一個反節點 圖 (c) 的振動方式對應的波長為 l = L 圖 (d) 振動方式所對應的波長為 l = 2L/3 Ch14 波的重疊與駐波

繩中的駐波－摘要 對長 L 二端固定的繩來說，繩中駐波的簡正振動模態所對應的波長分別可為 對應不同的 n 值，我們可以稱該振動模態為第 n 個常態振動模態 這些波長 ln 都是繩上有可能出現的駐波振動模態 對於上述邊界條件下繩上之駐波自然振動頻率 fn，可透過波速與波長寫成 　 (式中T為張力，µ為質量密度) Ch14 波的重疊與駐波

量子化 當繩中的振動只有符合上述 fn 頻率條件者，才會存在，此種現象稱為量子化 當波遭受到某種邊界條件的限制時，通常會發生量子化的現象 Ch14 波的重疊與駐波

繩中的駐波－諧振系列 當 n = 1 時所對應的頻率稱為基頻 剩下的那些自然振動頻率，都是基頻的整數倍 這是同一邊界條件下最低的頻率, ƒ1 剩下的那些自然振動頻率，都是基頻的整數倍 常態振動頻率呈現出以上關係的這一組頻率稱為諧振系列 各個不同的頻率稱為諧振，冠以 n 的對應值可以稱為第 n 諧振 Ch14 波的重疊與駐波

繩中的音符 繩中的音符由基頻來決定 繩中波振動的頻率，可以利用調整弦長或繩中張力來加以改變 繩中的線質量密度 µ ，也可藉由更換弦的粗細或在繩中纏繞一些外加物質而改變 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.3 當在一條兩端固定的繩中形成一個駐波後，下列敘述何者為真？(a) 繩上節點數與反節點數相同；(b) 駐波的波長等於繩長除以某一整數；(c) 駐波的頻率等於繩上的節點數乘上基頻；(d) 繩的中點可能是節點也可能是反節點。 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.3 (d)。選項 (a) 不正確的原因是節點的數目要比反節點多一個；選項 (b) 只適用於所有駐波模式其中的一半，它對那些出現奇數個弓形的駐波波形並不成立；選項 (c) 只有在我們將敘述中的節點換成反節點時才成立。 Ch14 波的重疊與駐波

諧振－例題 鋼琴的中音 “C” 調，它對應的基頻是 262 赫茲，那麼這條繩中接下來的二個諧振頻率是多少？ ƒ1 = 262 Hz

例題14.3 鋼琴上彈出中音C調的弦，它的基頻為262 Hz，而彈出A調的弦其基頻則為440 Hz。 A.試求C弦較基頻高的下兩個諧振頻率分別是多少？ 解答 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.3(續) B.假設A 調與C調的弦等長且線質量密度也相同，試求此二弦中的張力比。 解答 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.3(續) C.在實際情況的鋼琴中，B小題的假設只有一部分是真實的，弦的線質量密度都一樣，然而A調的弦長度僅為C調弦長的64%，請問在此一情形下二弦的張力比又是如何？ 解答 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.3(續) Ch14 波的重疊與駐波

14.5 空氣柱中的駐波

空氣柱中的駐波 空氣柱中的駐波可以藉由二反向行進的縱波相互干涉而達到 入射波與反射波之間的相位關係，取決於空氣柱的一端(反射端)是開口或是封閉而定 Ch14 波的重疊與駐波

空氣柱中的駐波－管的一端為封閉時 在形成聲音的駐波時，管子的封閉端是位移為零的地方，也就是節點所在 對壓力來說，封閉端形同壓力的反節點 封閉端的封閉面不允許空氣分子在此做縱向運動 在封閉端被反射的反射波與入射波相位差 180° 對壓力來說，封閉端形同壓力的反節點 該處壓力的變化最大 Ch14 波的重疊與駐波

空氣柱中的駐波－管的一端為開口時 在形成聲音的駐波時，管子的開口端是位移最大的地方，也就是反節點的位置 當波被壓縮區域自管的開口端排出時，原先受管子所約束的條件消失，這些被壓縮的氣體就絲毫不受拘束地在大氣中自由膨脹開來 管的開口端，從壓力的觀點來看，是對應著壓力的節點 該處的壓力沒有任何變化 Ch14 波的重疊與駐波

二端均為開口的管中駐波 管的二端對介質的位移而言都是最大處，也就是反節點 管中駐波的基本頻率為 v/2L 這種情形與下方第一圖一致 較高頻率的諧振，其頻率 ƒn = nƒ1 = n (v/2L) ，式中 n = 1, 2, 3, … Ch14 波的重疊與駐波

一端為閉口的管中駐波 管的閉口端為介質位移的節點 管的開口端為介質位移的反節點 這種情形下管中駐波的第一諧振所對應的波長為 l= 4L 其他的諧振頻率 ƒn = nƒ = n (v/4L) ，式中 n = 1, 3, 5, … Ch14 波的重疊與駐波

空氣柱中的駐波－摘要 二端均為開口的管中形成駐波時，駐波的自然頻率形成一組諧振頻率，它們可由基頻(第一諧振)乘上任意一個整數來構成 管的一端為封閉端時，所形成駐波的自然頻率也構成一組諧振頻率，而這些頻率都可由基頻乘上任一奇數來得到 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.4 在二端均為開口的管中形成一基頻 fopen 的駐波，當管的其中一端被封閉後，重新在管中建立以基頻 fclosed 振動的駐波。這兩個頻率之間的關係是下述何者？(a) ；(b) ；(c) ；(d) 。 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.4 (b)。如果二端均為開口時，管子的基頻可以由 (14.10) 式： 來表示，若管子的一端封閉起來時，管子的基頻則可由 (14.11) 式來決定： Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.5 美國聖地牙哥Balboa公園有一座戶外的管風琴，當氣溫上升時，該風琴上的其中一根音管其基頻會發生何種變化？(a) 維持不變；(b) 頻率降低；(c) 頻率增高；(d) 無法判定。 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.5 (c)。溫度的升高導致聲音速度的增加，依據 (14.10) 式，對管風琴的某一根音管而言，溫度上升會使該管的基頻增加。 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.4 一根管子長1.23 m。 A.若這根管子的兩頭均為開口，求出此管的前三個諧振頻率，取聲音速率為 v = 343 m/s。 解答 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.4(續) B.如果管子的一端被封起來後，A小題中的三個頻率會變成多少？ 解答 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.4(續) C.對二端均為開口的管子，在人類聽力範圍內 (20～20000 Hz)，一共能產生多少個諧振？ 解答

空氣柱中的聲音共振－例題 一支音叉置於裝了水的管口附近 當空氣柱的長度 L 剛好符合共振頻率的條件時，聲音會被空氣柱放大 管中的水面扮演著封閉端的角色 聲波的波長可經由量測出現共振時，空氣柱的長度來加以計算 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.5 用來描述管中駐波的一種簡單儀器表示於圖14.11a中。一根二端均為開口的管子。將其一部分垂直插入盛水的燒杯中，以一未知頻率的音叉經敲擊後移到管口，利用管子在水中的深淺來調整管內空氣柱的長度。當空氣柱的長度恰好與管內某一諧振條件相符時，音叉所發出的聲音會被管子內形成駐波的聲音頻率激發而產生共振。 對某根管子而言，它發生聲音強度最強情況的最短管長 L 為9.00 cm，從這一測量結果，求音叉的頻率以及下一個共振條件時的管長 L。 Ch14 波的重疊與駐波

例題14.5(續) Ch14 波的重疊與駐波

14.6 拍：隨時間變化的干涉

拍 當相互干涉的波，若其頻率有些許差異時，會出現暫時性的干涉現象 二相互干涉的波之間有些許頻率上的差異，在進行波重疊時，空間上的某一點，介質振動時的振幅，會產生週期性變化現象稱為拍(Beat) Ch14 波的重疊與駐波

拍的頻率 人的耳朵於一秒內聽到振幅最大(聲音最強)的次數稱為拍的頻率 這一頻率和相互干涉二波間的頻率差值相同 人耳能夠分辨的拍頻約可高達每秒 20 拍 Ch14 波的重疊與駐波

拍 合成波的振幅隨時間變化的關係為 由於強度是由振幅決定，所以合成波的強度也隨時間改變 拍的頻率 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.6 利用一支頻率已知的標準音叉，對吉他的某一條弦調音。當音叉與弦同時發出聲音時，你聽到5 Hz的拍頻，這時你將吉他弦調緊，聽到的拍頻變成了8 Hz。為了要將吉他上的這條弦調整到和音叉同一頻率，你要如何做呢？(a) 繼續將弦調緊；(b) 將弦放鬆；(c) 無從決定。 Ch14 波的重疊與駐波

簡答題 14.6 (b)。將弦調緊使得弦振動頻率離基準頻率越大，以致於拍頻反而增加了，是故需將弦調鬆才對。 Ch14 波的重疊與駐波

14.7 非正弦波波形

非正弦波波形 由樂器所產生的聲音波形，它是由各式各樣的諧振波形重疊而成 人類對來自於各種諧振波合成的聲音，在感觀上的反應稱為聲音的音品或音色 (quality or timbre) 人類對聲音的喜好，是傾向於高音抑或低音，這種的區分稱為聲音的音調(pitch) Ch14 波的重疊與駐波

音叉的音品 每一音叉只能夠產生一個基頻 Ch14 波的重疊與駐波

橫笛的音品 同一音符由橫笛來吹奏就有好幾個不同的聲音 橫笛的第二諧音強度很大 第四諧音的強度和第一諧音強度約略相同 Ch14 波的重疊與駐波

木蕭的音品 木蕭的第五諧音強度極強 第一與第四諧音非常相似，而第三諧音與此二諧音的強度較為接近 Ch14 波的重疊與駐波

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非正弦波形的解析 假如波形具有週期性，那麼這個波形可以利用數量夠多的正弦波諧振系列加以重疊而得到 任何一個週期函數，它都可以利用一系列的正弦以及餘弦函數的相加 上述的方法是根據數學上一種稱為傅立葉定理(Fourier’s theorem)的技巧 Ch14 波的重疊與駐波

傅立葉級數 傅立葉級數是一些週期函數相加的結果 如果有一週期函數 y ，傅立葉理論認為此一函數可表示成 f1 = 1/T 而 fn= nf1 上式中正弦與餘弦函數前的 An 與 Bn 為各函數的振幅 Ch14 波的重疊與駐波

方波的傅立葉合成 方波的傅立葉合成，是由頻率為 f 的第一諧振波與奇數位頻率的其他諧振波相加而得到 右側圖 (a) 中由頻率為 f 的諧振波與頻率為 3f 的諧振波相加得到 f + 3f 波形 圖 (b) 中是將頻率為 5f 的振諧波再加入 圖 (c) 中當陸續加入的奇數倍諧振波到了 9f 時，波形已與方形波相當近似了 Ch14 波的重疊與駐波

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14.8 延伸議題：將建築蓋在反節點上

駐波與地震 有些城市是座落於沈積盆地的上方 如果城市的建築物或其他結構，它們的自然振動頻率剛好和地面下沈積盆地的共振頻率相同時，一旦發生地震，它的破壞力會加劇 沈積層的共振頻率，是由地震波經盆地邊緣界面反射後，所形成的三維駐波來產生 Ch14 波的重疊與駐波

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