第一章 绪 论
第一章 绪 论 § 1.1 有限元的基本概念 § 1.2 有限元的发展状况
1.1有限元的基本概念
1.1有限元的基本概念 什么是有限元 有限元法是求解工程问题的一种有效的数值计算方法，在许多领域中已成为进行科学研究和工程分析的重要方法和手段，例如土木工程、海洋结构工程、航空航天等领域。有限元的出现，使得许多科学理论在技术上得以实现、得到应用，极大地推动了人类技术能力的发展，是广大工程技术人员需要掌握的必要知识。 有限元法的实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体,化无限自由度问题为有限自由度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化成有限个参数的代数方程组的求解问题。
1.1有限元的基本概念 有限元法的基本思想是先化整为零﹑再积零为整，也就是把一个连续体人为分割成有限个单元；即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。从数学的角度来看，有限元法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，然后利用计算机进行求解的方法。由于有限元采用了矩阵算法，因此借助计算机便可以快速地算出结果。早在公元3世纪的时候，我国数学家刘徽提出的用分割法求解圆周的方法就是有限元基本思想的体现。经典结构力学求解刚架内力的位移法，将刚架看成是由许多在节点处连接的杆件单元组成，先研究每个杆件单元，最后将其组合进行综合分析。这种先离散﹑后整合的方法便是有限元法的基本思想。
1.1有限元的基本概念 任何连续体都可以假想地分割成有限个简单形状单元体的组合，在有限元法中将这些简单形状的单元体称为单元，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为节点，如图1.1所示。从理论上说，单元的分割可以是任意的，不过在实际计算中必须根据研究对象的特点，使单元分割既满足力学分析要求，又能使计算简便。 图1.1 单元与节点
1.1有限元的基本概念 在有限元法中引入节点的概念是至关重要的，有了节点，才可以将实际连续体看成是仅在节点处相互连接的单元群组成的离散型结构，从而可使研究的对象转化成可以使用计算机计算的数学模型。实际上，两个相邻单元在整个交界处（包括节点）都是相互连接的、相互作用的，而有限元法假定除节点外，都不相互连接和相互作用，这一点是不符合实际的。但是，在有限元分析中将要求两相邻单元在公共交界处变形协调，并将两单元在公共交界处相互作用的内力按静力等效原则移置到节点上后，这种假设实践证明是合理的，可使复杂问题大为简化。
1.1有限元的基本概念 基本步骤 1 结构离散化 2 单元分析 3 整体分析
1.2 有限元的发展状况 1960年，Clough在他的一篇论文“平面分析的有限元法”中最先引入了有限元法(Finite Element Method)这一术语。这一方法是结构分析专家把杆件结构力学中的位移法推广到求解连续体介质力学问题而提出来的。这一方法的提出，引起了广泛的关注，吸引了众多力学﹑数学方面的专家和学者对此进行研究。数学家的研究表明，有限元法可应用于求解偏微分方程，可用于具有变分泛函的任何数学问题。而且，数学家对有限元的思路早就有了，不过没有用“有限单元”这个术语。此后，大量学者﹑专家开始使用这一离散方法来处理结构分析﹑流体分析﹑热传导﹑电磁学等复杂问题。
1.2 有限元的发展状况 从1963年到1964年， Besseling﹑B.H.pian等人的研究工作表明，有限元方法实际上是弹性力学变分原理中瑞雷—里兹法的一种形式，从而在理论上为有限元方法奠定了数学基础。但与变分原理相比，有限元方法更为灵活，适应性更强，计算精度更高。这一成果也大大刺激了变分原理的研究和发展，先后出现了一系列基于变分原理的新型有限元模型，如混合元﹑非协调元﹑广义协调元等。1967年，Zienkiewicz和Cheung出版了第一本关于有限元分析的专著。
1.2 有限元的发展状况 20世纪70年代后，有限元法进一步得到蓬勃发展，其应用范围扩展到所有工程领域，成为连续介质问题数值解法中最活跃的分支。由变分法有限元扩展到加权残数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和波动问题，由线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，由结构分析扩展到结构优化乃至于设计自动化，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源等科学研究各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。
1.2 有限元的发展状况 目前流行的有限元分析软件主要有ANSYS、SAP、NASTRAN、ADINA 、ABAQUS、MARC、COSMOS等。纵观当今国际上有限元软件的发展情况，可看出有限元软件的一些发展趋势：与CAD软件的无缝集成；更为强大的网格处理能力；由求解线性问题发展到求解非线性问题；由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解；程序面向用户的开放性等。
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