单缝衍射

夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826) 夫琅禾费是德国物理学家。1787年3月6日生于斯特劳宾，父亲是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当学徒，后来自学了数学和光学。1806年开始在光学作坊当光学机工，1818年任经理，1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授，慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因肺结核在慕尼黑逝世。

夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身，把理论与丰富的实践经验结合起来，对光学和光谱学作出了重要贡献。1814年他用自己改进的分光系统，发现并研究了太阳光谱中的暗线（现称为夫琅禾费谱线）. 他设计和制造了消色差透镜，首创用牛顿环方法检查光学表面加工精度及透镜形状，对应用光学的发展起了重要的影响。他所制造的大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。他发表了平行光单缝及多缝衍射的研究成果（后人称之为夫琅禾费衍射），做了光谱分辨率的实验，第一个定量地研究了衍射光栅，用其测量了光的波长，以后又给出了光栅方程。

Fraunhofer单缝衍射实验装置 置于透镜L1焦平面上的缝（或灯丝）光源S（光均匀照射）所发光束通过L1后成为平行光束，照射到狭缝（宽为a，很窄）上，透过狭缝的光束经透镜L2后会聚在置于L2焦平面上的光屏F上，形成衍射花样。 相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是平行光的相干叠加。

s Fraunhofer单缝衍射条纹的特点 1. 中央有一特别明亮的条纹，两侧排列着一系列强度较小的亮纹；相邻亮纹间是暗纹。 2. 如以相邻暗纹间的距离为亮纹宽度，则两侧亮纹是等宽的，中央亮纹的宽度是两侧亮纹宽度的2倍。

Fraunhofer单缝衍射强度公式 p点的合振幅Ap 就是各子波的振幅矢量和的模。 将缝等分成 N个窄带

各个次波的波矢振幅相等，相邻波矢间夹角为Δφ，合矢量的振幅为Aθ

A0为次波在焦点处合振动的振幅

用积分方法 P点光来自同一方向，倾斜因子相同。 不同方向的光，满足近轴条件，倾斜因子为常数1。

Q点发出的次波在焦点所引起的复振幅 通过整个狭缝的次波在焦点上复振幅 为单缝（单元）衍射因子 强度分布 象方焦点处的光强

三、光强分布特点

1、主极强（中央亮条纹） 说明各次波到达P0点时，光程、位相均相同， 振动相互加强，形成最大值。

2、最小值（暗条纹）位置

π 3π 2π -π 3、次极强位置 其位置由③式，即超越方程u=tanu决定，可用图示法解此方程。 π 3π 2π -π

-π 3π 2π π 1 0.0472 0.0165 0.0083 P0 光强分布图和衍射花样如右图为：

a a   衍射花样与缝的位置的关系 ∵ 衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。 P0 a  L ∵ 衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。 缝平移 P0 a  L ∴ 单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化。

总光程差为 入射光与光轴不平行，光程差包括两部分

极值点

中央明条纹的角宽为中央两侧第一暗条纹之间的区域: /a -(/a) 2(/a) -2(/a) sin 0.047 0.017 1 I / I0 相对光强曲线 明纹宽度 中央明条纹的角宽为中央两侧第一暗条纹之间的区域: λ I x1 x2 衍射屏 透镜 观测屏 Δx f 令k=1 半角宽

由上至下，缝宽由窄变宽。 a 增大

当 时， 只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像 ∴几何光学是波动光学在 /a  0时的极限情形 屏幕 阴 影 屏幕

角宽度 线宽度 —— 衍射反比定律 在 时 —单缝衍射明纹宽度的特征 其他明纹（次极大）宽度 中央明纹宽度最宽，约为其它各级明纹宽度的两倍 λ I x1 x2 衍射屏 透镜 观测屏 Δx f 其他明纹（次极大）宽度 在 时 —单缝衍射明纹宽度的特征 中央明纹宽度最宽，约为其它各级明纹宽度的两倍

次极强值是不等间距的，不过随级次的增大时逐惭趋于等间距。 若以白光入射，除中央条纹仍为白色外，其它各级亮条纹均为彩色；随衍射级次的增大，可能发生重叠。 P0

干涉和衍射的联系与区别 从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠 加。只是 干涉指的是有限多的分立光束的相干叠加。 衍射指的是无限多的子波的相干叠加。 二者又常常同时出现在同一现象中。

例. 在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两种波，波长为 l1=400nm ， l2 =760nm. 已知单缝宽度a=1 例.在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两种波，波长为 l1=400nm ， l2 =760nm.已知单缝宽度a=1.0×10-2cm透镜焦距 f =50 cm，求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。

3.6 夫琅和费矩孔衍射 同单缝相比，矩孔在两个相互垂直的方向上对光的传播进行限制 两个方向的参数是相互独立的 最后的结果应该是两个方向的单元衍射因子的乘积

满足近轴条件，倾斜因子为1

衍射强度分布 矩孔发出的光波在F点产生的光强

光学仪器的分辨本领 3.1夫琅和费圆孔衍射 爱里斑 波长为λ平行光，通过半径为R的圆孔，汇聚在透镜的像方焦平面上。

J1（m）：一阶贝塞尔函数

Aivry斑 三个圆屏衍射

二．衍射花样的特点 同心圆环，明暗交错，不等距。 中央主极大（零级斑）：Aivry斑，占总强度的８４％，半角宽度 Δθ0 圆孔直径为Ｄ，透镜焦距f，则Aivry斑半径Δl

物 像 可见，爱里斑是点光源通过衍射孔产生。点光源可看作一个物点，爱里斑是该物点通过圆孔产生的像。 一个物点通过衍射孔所成的像不是一个点，而是一个爱里斑。只有 ，才近似认为物点 像点。 光的衍射限制了光学仪器的分辨本领

光学仪器的分辨本领 眼睛的瞳孔，望远镜,显微镜,照相机 等常用的 光学仪器的物镜，在成象过程中都是衍射孔。 几何光学 : 物点  像点 物点  像点 物(物点集合)  像(像点集合) ( 经透镜 ) 波动光学 : 物点  像斑 物(物点集合)  像(像斑集合) ( 经透镜 ) 透镜成像清楚不清楚，要考虑物镜衍射的因素。

分辨本领 平行光经透镜成象，由于衍射效应，总有一Aivry斑，而不是一个几何点。 两束光，则有两个Aivry斑。

二. 瑞利判据 对两个像斑，怎么算可分辨，怎么算不可分辨？ 有没有定量的标准？ 1.0 0.8 采用Rayleigh判据：两光斑的角距离恰等于一个光斑的半角宽度时，为可以分辨的最小极限。 刚可分辨 不可分辨 非相干叠加 1.0 0.8

瑞利判据表明：两衍射斑中心之间重叠区的最 小光强是最大光强的73.5%时人眼恰可分辨。

衍射限制了透镜的分辨能力的示意图

爱里斑的半角宽为1 假设按瑞利判据的最小分辨角为 它就是两个衍射班的角距离， 也就是等于爱里斑的半角宽： 定义：透镜的 分辨本领 I D * S1 S2  = 1 爱里斑的半角宽为1 假设按瑞利判据的最小分辨角为 它就是两个衍射班的角距离， 也就是等于爱里斑的半角宽： 定义：透镜的 分辨本领

D小 D大

 望远镜： 不可选择 ， 但可 ▲ 世界上最大的光学望远镜： D = 8 m 建在夏威夷山顶， 1999年建成

世界上最大的射电望远镜 建在美国 波多黎各岛的 Arecibo 直径305m，能探测射到整个地球表面仅10-12W的功率，也可探测引力波。

 显微镜： D不会很大，可以让 (紫光显微镜) （电子显微镜） 电子的波长很小：0.1 Å～ 1Å, 所以分辨本领 R 很大。

 眼睛: 正常人的眼睛瞳孔的直径约 3mm , 对波长为5500Å 的光，可以得出 最小分辨角为： 在25cm 远处可分辨相距约0.07mm 的两个点； 在大约9m远处可分辨相距约 2mm的两根细丝。

人眼最小分辨角，黄绿点光源所发波长为550纳米，因此有 1.宇航员声称他恰能分辨在他下面100公里地面上两个黄绿点光源．若瞳孔直径为4毫米，试估算这两个点光源的间距? 解 设恰可分辨的两个点光源的间距为 ， 点光源到宇航员距离为Ｌ．两个点光源对人眼的张角即为 人眼最小分辨角，黄绿点光源所发波长为550纳米，因此有 （米）． 宇航员恰可分辨的两光源点至少相距16.8米．

才能将它们分辨开？这样的望远镜的正常放大率是多少？ 2.一对双星的角距离为 要用多大口径 才能将它们分辨开？这样的望远镜的正常放大率是多少？ 解：（1）已知双星的角距离 弧度． 这个值就是所要求望远镜最小可分辨的角距离． 设望远镜的口径为Ｄ，取可见光平均波长 纳米，由 可计算出望远镜的口径为 （米）．

（2）仪器可分辨的角间距还需要仪器以适当放大率 与本台望远镜的分辨本领相匹配的视角放大率应为 将它放大为人眼可分辨的的最小角度 与本台望远镜的分辨本领相匹配的视角放大率应为 倍