幼兒幾何與空間經驗 第五章.

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幼兒幾何與空間經驗 第五章

第一節 幼兒之幾何與空間世界 幼兒數學經驗為什麼要包括幾何?@ 傅丹瑟之語:「幾何乃研究空間中的形狀和空間關係,他提供兒童聯結數學與真實世界的一個最佳機會」,道出了精確的見解 因此課程設計必須涵蓋幾何與空間的探索。

幼兒數學課程必需融入幾何經驗,除了幾何是有趣的,且可與幼兒的生活世界聯結外,根據美國數學教師協會所訂數學課程與評鑑標準記載尚指出其它三點重要理由:

幾何可以改善空間能力 幾何可作為將來發展其它數學 概念的橋樑與基礎 豐富的幾何與空間經驗會培養 解決問題的能力

空間能力(知覺) 簡言之,空間能力是個人對周遭環境以及環境中的物體的內見及直覺。 例如兒童能從分辨前後左右上下內外的能力。 空間能力是我們解釋理解欣賞幾何世界所必須擁有的能力。 所以空間能力的學習是必要的。

數一數有幾個積木?

前後左右上下關係

甚麼是幾何? 幾何是數學的一門學科。 它探討圖形的形狀和空間關係的學問。 幾何學包括:拓樸學、投影學及歐氏幾何。

歐氏、拓樸、投影幾何究何所指? 舒茲等人曾以圖形「變形轉換」的觀點加以解釋

有三種變形轉化與幾何教學有關: 「拓樸轉換」有時稱之為拉扯或壓縮 「投影轉換」乃經由不同之視覺觀點而產生 「歐基里得轉換」是指翻轉、移位與旋轉

圖5- 7 拓樸轉換的實例

空間知覺包括了多像能力,這些能力與數學、幾何的學習有關 布瑞南等人指出九項空間能力:視覺影印、手眼協調、左右協調、視覺分辨、視覺保留、視覺韻律、視覺包圍、圖形背景關係、以及語文與知覺

麥基提出了二種大的空間能力:空間視象化與空間定位 林恩與彼得森將空間能力分為空間知覺、心理旋轉與空間視象化

空間知覺能力(7項) 霍佛所提出七項空間知覺能力:

眼與動作協調能力(圖5-1~5-2) 圖形—背景知識能力(圖5-3~5-4) 知覺恆常能力 空間中—位置知覺能力 空間關係知覺能力(圖5-5) 視覺分辨能力 視覺記憶能力

圖5-1 眼與動作協調能力活動(I)

圖5-2 眼與動作協調能力活動(II)

圖5-3 圖形-背景知覺能力活動(I)

圖5-4 圖形-背景知覺能力活動(II)

圖5-5 空間關係知覺能力活動

狄格南針對以上七項空間能力特舉實例繪成圖解,如圖5-6

圖5-6 空間能力實例圖

據上所述,可將空間知覺能力歸納出幾個要點: 空間能力常涉及在心靈裡將物體移位、旋轉、或翻轉,所以空間知覺能力活動在本質上是屬變形轉換性的 空間能力是學習幾何概念的基礎,且空間能力的改善與幾何學習是相互影響的 空間能力對許多的工作都很重要

第二節 幼兒幾何與空間概念之發展 皮亞傑學派研究 范希樂(Van Hieles)之研究 其他心理學研究

皮亞傑學派研究 皮氏認為兒童幾何概念的萌發是遵循一定的順序漸進發展 拓樸幾何最先建構,接著是投影幾何與歐基里得幾何

兒童的幾何概念發展根據皮亞傑與尹荷德聲稱是以兩種不同的層次進行發展: 知覺層次(透過觸覺和視覺而學習) 概念層次(透過思考與想像而學習)

皮亞傑曾讓兒童觸摸隱藏的實物,然後要其從另一堆實物中指認相同者或畫出該物外形。 結果發現兒童對圖形的知覺發展有三階段:

第一階段(2-4歲): 第一階段之幼兒能分辨開放與封閉圖形(見圖5-8)。 但圓形正方形三角形之不同無法區辨。因為是封閉圖形。 透過觸摸物體的外圍界線知覺理解開放、封閉或分離的圖形。

圖5-8 封閉與開放圖形

第二階段(4-6歲): 此一階段是過渡期,已開始能辨認歐氏幾何圖形:直線圖形類(正方形長方形平行四邊形菱形)曲線圖形類(圓形橢圓)。 透過眼及手動作跟隨邊圍認識直線,及角。

第三階段(7歲左右): 至此階段,兒童以能辨識直線形成的封閉圖形,他已具有逆向思考能力。

幼兒空間「概念層次」發展 皮氏對幼兒空間「概念層次」發展的研究,是讓幼兒仿畫幾何圖形。因為繪圖是空間表徵的行為。 皮氏指出,其他展也和知覺層次之發展一樣,充分反應「拓樸為先」的現象 空間概念發展分為四個階段:

零階段(3歲以下) 無法看出目的,只是塗鴉而已。

能分辨開放與封閉。圖5-9 若予開放圖形會畫出開放曲線而正方形三角形畫起來與圓形無法分辨。 第一階段(3-4歲) 能分辨開放與封閉。圖5-9 若予開放圖形會畫出開放曲線而正方形三角形畫起來與圓形無法分辨。

圖5-9 空間概念發展第一階段的拓撲表現

第二階段(4-6歲) 能分辨直線與曲線。 能畫出正方形三角形與長方形圓形與橢圓。 能保留投影幾何關係的直線性歐氏幾何慢慢發展

第三階段(6-7歲) 能快速畫出菱形與所有圖形。 幼兒對形狀的理解已發展至運思階段。

表5-1拓樸、投影、歐氏幾何之比較對照表

感覺動作其最後一個階段(約近二歲),英兒的空間知覺發展有兩個顯著的特性 (一)易受毗鄰物體的淆惑 (二)以自我的身體為參照依據

皮氏對幼兒空間「概念層次」發展的研究,是讓幼兒仿畫幾何圖形,因為會圖示空間表徵的行為

圖5-10勞倫度與皮納德「觀點取代」實驗

圖5-11皮亞傑「瓶子水位」實驗,五、六歲幼兒之表現

范希樂(Van Hieles)之研究 范希樂模式最顯著的特色在於提出一個人學習幾何由視覺層次進展至複雜的分析和證明的五個不同思考層次: 零層級:屬視覺化階段(圖5-12) 第一層級:能分析的階段(圖5-13) 第二層級:能非正式推理階段(圖5-14) 第三層級:運用演繹推理階段(圖5-15) 第四層級:達精確嚴密階段

圖5-12幾何圖形之辨識(I)

圖5-13 幾何圖形之辨識(II)

圖5-14 圖形間之關係

圖5-15 范希樂幾何思維層級論第三層級之表現

范希樂的層級說有幾個特點值得注意: 層級是有順序性 層級與年齡並不相關 層級之晉升取決於經驗與教學 教學需配合兒童的發展層級

范希樂理論不僅包含幾何思考層次,同時也論及教學階段 第一階段:探詢資訊 第二階段:引導方向 第三階段:解釋說明 第四階段:自由探索 第五階段:整合

其他心理學研究 圖5-16與圖5-17分別是諾爾亭與田中敏隆所研究兒童彷畫幾何圖形之發展情形 表5-2則為幼兒仿繪幾何圖形成功率之發展表

圖5-16 兒童仿畫幾何圖形之發展情形(諾爾亭之研究) 圖5-16 兒童仿畫幾何圖形之發展情形(諾爾亭之研究)

圖5-17 兒童仿畫幾何圖形之發展情形(田中敏隆之研究) 圖5-17 兒童仿畫幾何圖形之發展情形(田中敏隆之研究)

表5-2 兒童仿繪幾何圖形成功率之發展表

綜合以上之研究,可以看出最先發展出的是圓形,其次是長方形,而後正方形,接著是三角形,菱形是最晚發展的,其主要原因乃在於斜線問題

圖5-18 范皮羅幾何圖形辨識力測驗

有關幾何學習的理論,除以上的研究外上有認知心理學方面的研究,這個領域整合了心理學、哲學、語言學,和人工智慧的理論與研究工作。根據柯雷門與巴茨塔之分析包含了三個模式: 安德森之認知模式 葛林諾之幾何解題模式 平行分佈處理網路

有關學前幼兒的空間方位感,根據蘇聯學者的研究,空間方位涉及運用參照系統的能力,學前幼兒將自己定位於空間中是根據感官參照系統,也就是他自己身體的四邊