商用統計學 Chapter 8 假設檢定

假設檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 在推論統計學領域裡，主要有兩個部分，一為估計，在上章我們已 有詳細說明。另一為假設檢定。當研究者對母體未知母數有其他訊 息，可對母數先確立一個假設值，然後再利用樣本資料的訊息，來 判斷假設是否成立，此部分是屬假設檢定的內容。無論是估計或檢 定，同樣都是利用機率理論的相關原理，來解決在不確定的情況 下，作成決策之統計方法。 估計與檢定是一體之兩面，研究者針對相同之研究標的，分別以估 計或檢定來探討，其最後結論是一致的。

8-1假設檢定概述 . . .假設的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 雙尾假設： 2. 單尾假設： (1) 左尾假設： (2) 右尾假設：

例題一 試就下列各題敘述，確立假設型態。 統一便利商店週營業額呈常態分配，該公司宣稱其週營業額 為15萬，今隨機抽取36家統一便利商店，計算出其平均週營業額為16.5萬，試檢定該公司所宣稱的平均週營業額是否為屬實？ (2) 公司宣稱金頂電池平均壽命超過20小時，標準差2小時，今抽樣20顆電池，計算出其平均壽命為18小時，試問該公司宣稱是否屬實？ (3) 承上題，若抽樣20顆電池，計算出其平均壽命為21小時 ( 其他資料不變 )，則假設為何？

例題一 ＊解 雙尾假設： 該題目詢問是否原先母數 ( 某公司或某人宣稱之值 ) 已經改變，但並不涉及超過或少於母數等問題，則可設為雙尾假設。 該題目詢問是否原先母數 ( 某公司或某人宣稱之值 ) 已經改變，但並不涉及超過或少於母數等問題，則可設為雙尾假設。 左尾假設： 該題目詢問有“超過”母數與否，因此需設為單尾假設。又因樣本統計值 ，則對立假設 設為<母數，虛無假設 則設為 母數，故為左尾假設。

例題一 (3) 右尾假設： 該題目詢問有“超過”母數與否，因此需設為單尾假設。又因樣本統計值 ，則對立假設 設為>母數，虛無假設 則設為 母數，故為右尾假設。

8-1假設檢定概述 . . .兩種誤差與顯著水準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 型Ⅰ誤差 型Ⅰ誤差 (TypeⅠError)，又稱為型Ⅰ錯誤，是指當虛無假設 為真時，但根據檢定結果卻拒絕了 ，認為對立假設 是對的。此種拒絕虛無假設 為真的錯誤，稱為型Ⅰ錯誤或型Ⅰ誤差。型Ⅰ誤差發生機率的大小，以P(Ⅰ) 表示，即

8-1假設檢定概述 . . .兩種誤差與顯著水準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 型Ⅱ誤差 型Ⅱ誤差 (TypeⅡError)，又稱型Ⅱ錯誤，是指虛無假設 為假，但根據檢定結果卻接受了 ，認為對立假設 是錯的。此種接受虛無假設為假的錯誤，稱為型Ⅱ錯誤或型誤差。型Ⅱ誤差發生機率的大小，以P(Ⅱ) 表示，即 由上之說明可知，一般檢定的結果，有下列四種情況： 1. 為真，檢定結果接受 ，則決策正確。 2. 為真，檢定結果拒絕 ，則決策錯誤 ( 型Ⅰ誤差 )。 3. 為假，檢定結果接受 ，則決策錯誤 ( 型Ⅱ誤差 )。 4. 為假，檢定結果拒絕 ，則決策正確。

8-1假設檢定概述 . . .兩種誤差與顯著水準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 顯著水準 所謂顯著水準 (Level of Significance)，是指型Ⅰ誤差所發生的機率稱之，一般以表示。 在統計檢定上，顯著水準常用的有兩個： (1) ：在 之下，拒絕 ，稱為“顯著 (Significant)”差異，其成立 是 與差異到“一定”程度，則會出現顯著狀態而拒絕 。 (2) ：當 取時，拒絕 ，稱為“非常顯著 (highly significant)”差異，其成立 是 與差異到“非常”程度 ( 比 差異來的大 )，則會出現顯著狀態而拒絕 。

8-1假設檢定概述 . . .假設檢定模式的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 綜合上述之說明，我們可將假設檢定建立下列三種模式： 1. 雙尾檢定 設顯著水準為 ，虛無假設與對立假設之型態為：

8-1假設檢定概述 . . .假設檢定模式的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 將 除以2，置於樣本統計量 之抽樣分配的兩端，並利用 值 求取臨界值 (Critical Value) ( 與 )，在臨界值的左右兩端區 域稱為拒絕域( 或棄卻域 ) (Rejected Region)，而其中間區域稱 為接受域(Accepted Region)，若樣本統計值 落於拒絕域，則拒 絕虛無假設 ，接受對立假設 ；反之， 落於接受域，則接受 的假設，此種假設檢定模式，稱為雙尾檢定 (Two-Tailed Test)。

8-1假設檢定概述 . . .假設檢定模式的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 左尾檢定 設顯著水準為 ，虛無假設與對立假設之型態為： 將 值置於樣本統計量 之抽樣分配的左端，並利用 值求取臨界 值 ，在 臨界值的左端區域，稱為拒絕域，而其右端則為接受 域。若樣本統計值 落於拒絕域，則拒絕虛無假設 ，反之， 落 於接受域，則接受虛無假設 。此種假設檢定模式，稱為左尾檢定 (Left-Tailed Test)。

8-1假設檢定概述 . . .假設檢定模式的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 右尾檢定 設顯著水準為，虛無假設與對立假設之型態為： 將 值置於樣本統計量 之抽樣分配的右端，並利用 值求取臨界 值 ，在臨界值的右端區域，稱為拒絕域，而其左端，稱為接受 域。 若樣本統計值 落於拒絕域，則拒絕虛無假設 ，反之，落於接受 域 ，則接受虛無假設。此種假設檢定模式 ，稱為右尾檢定 (Right-Railed Test)。

8-1假設檢定概述 . . .假設檢定模式的建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8-2單一母體平均數之假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 假設檢定與估計一樣，在進行檢定前，先要確立母體資料的分配型 態，當母體分配型態確立之後，所要檢定的只有未知的母數，其內 容與區間估計 (7-4節 ) 相同，如下表所示：

8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . 8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . 母體為常態分配且標準已知 之檢定模式，其導出過程，如下所示 ( 設顯著水準為 )︰ 母體分配： ，其中 為已知。 假設：　 ( 設雙尾檢定 )。 檢定統計量 ( 使用Z分配 )：隨機抽樣一組樣本 ，計算 ，帶入檢定統計量，求算 值。 4. 拒絕域： 及 。

8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . 8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . 5. 決策： (1) 若值 落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若值 落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。 其他假設情況： (1) 左尾檢定： ，拒絕域為 。 (2) 右尾檢定： ，拒絕域為 。 7. 注意點：若母體分配與標準差均未知但為大樣本時 ，由中央極限定理 ( 見6-3-3節 ) 可知， 之抽樣分配會趨近於常態分配，可以常態分配處理。其中母體標準差 以樣本標準誤 (S) 替代。

例題二 統一便利商店週營業額呈常態分配，該公司宣稱其週營業額為15 萬，標準差4.5萬，今隨機抽取36家統一便利商店，計算出其平均 週營業額為16.5萬。 (1) 設顯著水準 ，試檢定該公司所宣稱的週營業額是否為屬實？ (2) 設顯著水準 ，試檢定該公司所宣稱的週營業額是否為屬實？ (3) 設顯著水準 ，而平均週營業額為17萬，試檢定該公司所宣稱的週營業額是否為屬實？ (4) 利用 (1) (2) (3)，說明顯著水準 ，在假設檢定上有何涵義？

例題二 ＊解 (1) (A) 假設： (B) 檢定統計量： (C) 拒絕域： 及

例題二 計算： (E) 決策：∵　 ，落在右側的拒絕域內，表示差異顯著，∴　拒絕 ，接受 ，即該公司之宣稱並非屬實。

例題二 (2) (A) 假設： (B) 檢定統計量： (C) 拒絕域： 及

例題二 (D)計算： (E) 決策：∵ ，落在接受域內，表示不差異 顯著，∴ 接受 ，即該公司之宣稱屬實。 (3) (A) 假設： 顯著，∴　接受 ，即該公司之宣稱屬實。 (3) (A) 假設： (B) 檢定統計量：

例題二 (C) 絕域： 及 (D) 計算： (E) 決策：∵ ，落在右側的拒絕域內，表示差異 顯著，∴ 拒絕，接受 ，即該公司之宣稱並非屬 顯著，∴　拒絕，接受 ，即該公司之宣稱並非屬 實。 (4) 由 (1) (2) 可知 ，有顯著差異，但 ，無顯著差異，∵　 之拒絕區比 之拒絕區大，故較易達顯著差異，因此顯著水準 之大小設定，可用來作為調整是否拒絕或接受 之依據。另外，我們由 (2) (3) 可知，當顯著差異 相同時， 則有顯著差異，而 則無顯著差異即，因此要達顯著差異， 與 要差異到一定程度才會成立。

例題三 某廠商宣稱其杯裝可樂平均重量大於200公克，標準差為25公克， 今隨機抽取81杯杯裝可樂，計算出其杯裝可樂平均重量為195公 克。設顯著水準為1%，試檢定該廠商所宣稱的是否屬實 ( 設杯裝 可樂呈常態分 )？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量：

例題三 (3) 拒絕域：

例題三 (4) 計算： (5) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受之假設，即該公司之宣稱屬實。

例題四 A小姐宣稱張胖子所賣西瓜平均重量小於20公斤，今為了解其說法 是否屬實，乃隨機抽取125個西瓜檢查，計算出其平均數21.5公 的是否屬實。 ＊解 本題並未說明母體分配形態且標準差均未知但為大樣本，依中央 極限定理，可用Z分配解之，母體標準差以樣本標準差取代之。 假設： (2) 檢定統計量：

例題四 拒絕域： 計算： (5) 決策：∵ 　 ，落在右側的拒絕域內，表示差異顯著，∴　拒絕 ，接受 ，即張胖子所賣西瓜大於20公斤，∴　A小姐宣稱未必屬實。

8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . 8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . 母體為常態分配、標準差未知且小樣本之 檢定模式，其導出過 程，如下所示 ( 設顯著水準為 )： 1. 母體分配： ，其中 為未知。 2. 假設：　 ( 設雙尾檢定 )。 3. 檢定統計量 ( 使用t分配 )：隨機抽樣一組樣本 ，計算 ，S帶入檢定統計量，求算值 。

8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . 8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 拒絕域： 及 ； ( 自由度 )。 5. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。 6. 其他假設情況： (1) 左尾檢定： ，拒絕域為 。 (2) 右尾檢定： ，拒絕域為 。

8-2單一母體平均數之假設 . . .母體為常態分配且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. 注意點：t檢定乃使用在母體為常態分配、標準差未知且小樣本 時。而當 時，則以常態分配趨近一致。因此t檢定 可說是不論樣 本大小，只要母體為常態分配，均能使用。

例題五 台北市上班族開車上班時間平均為60分，今抽取16名上班族調 查，求算出其 分， 分。假設開車上班時間為常態分 查，求算出其 分， 分。假設開車上班時間為常態分 配，而顯著水準為5%，檢定台北市上班族開車上班時間是否已經 改變？ ＊解 ∵　母體為常態分配、標準差未差且小樣本，∴　使用t檢定。 假設： (2) 檢定統計量：

例題五 (3) 拒絕域： 及 ；

例題五 (4) 計算： (5) 決策：∵ 　 ，即 落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 之假設，即台北市上班族開車上班時間並未改變。

例題六 一項調查顯示：台灣地區國小學生每日零用金呈常態分配，平均 金額超過30元，今抽 出小學生為一隨機樣本，平均數27.5 金額超過30元，今抽 出小學生為一隨機樣本，平均數27.5 元，樣本標準差5元，設顯著水準為5%，試檢定台灣地區國小學生 每日零用金金額是否已經改變？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量：

例題六 (3) 拒絕域： (4) 計算： (5) 決策：∵　 ，落在左側的拒絕域內，表示差異顯著，∴　拒絕 之假設，即台灣地區小學生每日零用金有減少的現象。

例題七 某調查機構宣稱：高雄市全家超商每日營業額不大於40 ( 千 元 )。今自該市抽出10家全家超商為一隨機樣本，營業額如下： 55, 45, 30, 48, 32, 60, 54, 35, 28, 43 設顯著水準為1%，試檢定該機構宣稱是否屬實 ( 設日營業額為常 態分配 )？ ＊解 ∵　母體為常態分配但母體標準差未知且小樣本，∴　使用t檢 定。

例題七 (1)假設： (2)檢定統計量： (3)拒絕域： (4)計算： (5) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受之假設，即該機構宣稱屬實。

8-2單一母體平均數之假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 在進行兩個母體平均數之差異是否顯著的檢定，應先決定 之抽樣分配，其可能為Z或t分配，如下表所示： 母體分配 母體標準差 樣本大小 抽樣分配 1. 兩獨立常態母體 已知 大 Z 2. 兩獨立常態母體 小 3. 兩獨立母體 ( 是否常態未知 ) 未知 4. 兩獨立常態母體 未知但相等 t 5. 兩不獨立常態母體 未知但不等

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩獨立常態母體且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 兩獨立常態母體且標準差已知，則兩母體平均數 之檢定模 式，其導出過程，如下所示 ( 設顯著水準為 )︰ 1. 母體分配：設有兩個相互獨立的常態母體分配： (1)第一個母體： 為已知。 (2)第二個母體： 為已知。 2. 假設：　 ( 設雙尾檢定 ) 3. 檢定統計量： (1) 先求 之抽樣分配 ；

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩獨立常態母體且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) 代入檢定統計量： (A) 從第一個母體隨機抽樣一組樣本 ( 個樣 本 )，計算 。 (B) 從第二個母體隨機抽樣一組樣本 ( 個樣 (C) 帶入檢定統計量，求算 值。 4. 拒絕域： 或

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩獨立常態母體且標準差已知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。 6. 其他假設情況： (1) 左尾檢定： ，拒絕域為。 (2) 右尾檢定： ，拒絕域為。 7. 注意點：若母體分配形態與標準差未知但為大樣本 時， 由中央極限定理可知， 之抽樣分配會趨近於常 態分配，可以常態分配處理。其中母體標準差 以樣本 標準誤 (S) 替代。

例題八 茲假設兩組部份抽樣資料數據如下 ( 兩組資料獨立且呈常態分 配 )： A組： 。 B組： 。 設顯著水準為0.05，試檢定兩組資料平均數是否有顯著不同？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量：

例題八 (3) 拒絕域： 或 (4) 計算： (5) 決策：∵　 ，落在右側的拒絕域內，表示差異顯著，∴　拒絕，接受，即兩組資料平均數有顯著不同。

例題八

例題九 華碩公司招考職員，在所選出的81位男性及64位女性應徵者中， 男性的平均成績80分，標準差9分，女性平均成績77分，標準差8 分，試在之下，男性平均成績是否優於女性？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量： (3) 拒絕域：

例題九 (4) 計算： 男性： 。 女性： 。 (5) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 之假設，即男性平均成績並未優於女性。

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩獨立常態母體、小樣本、標準差未知但相等 . . . . . . . . . . . . . . . 兩獨立常態母體、小樣本、標準差未知但相等，兩母體平均數 之檢定模式，其導出過程，如下所示 ( 設顯著水準為 )： 1. 母體分配：設有兩個相互獨立的常態母體分配： (1) 第一個母體： 為未知。 (2) 第二個母體： 為未知。 (3) ( 母體標準差未知但相等 )。 2. 假設： ( 設雙尾檢定 ) 3. 檢定統計量： (1) 從第一個母體隨機抽樣一組樣本 ，計 算 。

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩獨立常態母體、小樣本、標準差未知但相等 . . . . . . . . . . . . . . . (2) 從第二個母體隨機抽樣一組樣本 ，計算 。 共同變異數 (Pooled Variance)： 檢定統計量 帶入檢定統計量，求算 值。

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩獨立常態母體、小樣本、標準差未知但相等 . . . . . . . . . . . . . . . 4. 拒絕域： 或 ； ( 自由度 )。 5. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。 其他假設情況： (1) 左尾檢定： ，拒絕域為 。 (2) 右尾檢定： ，拒絕域為 。

例題十 茲假設兩組部份抽樣資料數據如下 ( 兩組資料獨立，呈常態分 配，母體標準差未知但相等 )： A組： 。 B組： 。 設顯著水準為0.05，試檢定兩組資料平均數是否有顯著不同？ ＊解 ∵　兩母體為獨立常態分配、標準差未知但相等、小樣本，∴　使用t檢定。 假設：

例題十 檢定統計量： 拒絕域： 及 ； (4) 計算： A組： 。 B組： 。 (A) (B)

例題十 (C) (5) 決策：∵　 ，落在右側的拒絕域內，表示差異顯著，∴　拒絕 ，接受 ，即兩組資料平均數有顯著不同。

例題十

例題十一 欲比較甲乙兩家公司員工薪資之差異，今自甲公司抽取26人為隨 機樣本，平均每月薪水＄32,500元，標準差為3,500元，自乙公司 抽16人為隨機樣本，平均每個月薪資為30,000元，標準差為3,000 元。設顯著水準為1%，兩家公司員工薪資呈常態分配，且變異數 相等，試檢定甲公司之員工薪資是否高於乙公司之員工薪資2,000 元以上？ ＊解 假設：

例題十一 (2) 檢定統計量： (3) 拒絕域： (4) 計算： 甲公司： 。 乙公司： 。

例題十一 (A) (B) (C) (5) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 ，即甲公司之員工薪資不大於乙公司之員工薪資2,000元以上。

例題十二 設A、B兩家玩具工廠每日生產量呈常態分配，且變異數相等，今 自兩家玩具工廠抽出部分天數，其生產量如下表所示，設 ＊解 假設： (2) 檢定統計量：

例題十二 拒絕域 ； (4) 計算： ； ； ； (A) (B) (C) 拒絕域 ； (4) 計算： ； ； ； (A) (B) (C) (5) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 ，即A廠之平均生產量不比B廠多。

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知，兩母體平均數 之 檢定模式，其導出過程，如下所示 ( 設顯著水準為 )： 1. 母體分配：設有兩個不獨立的常態母體分配： (1) 第一個母體： 為未知。 (2) 第二個母體： 為未知。 假設： 　( 設雙尾檢定，其中 )。 3. 檢定統計量：隨機成對抽取 ，計算 (1) ； ；

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) 檢定統計量 帶入檢定統計量，求算 值。 4. 拒絕域： 及 ； ( 自由度 )。 5. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。

8-3兩母體平均數差之假設檢定 . . .兩不獨立常態母體、小樣本、標準差未知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 其他假設情況： 左尾檢定： ，拒絕域為 (2) 右尾檢定： ，拒絕域為

例題十三 下表為10家全家便利商店，在“廣告A計畫”實施前後之週營業 額，茲設週營業額呈常態分配，試在 之下，檢定10家全 額，茲設週營業額呈常態分配，試在 之下，檢定10家全 家便利商店在廣告A計畫實施前後是否有明顯改變？ 便利商店 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 實施前 40 47 50 45 42 46 48 實施後 41 43 38 44

例題十三 ＊解 假設： 檢定統計量： (3) 拒絕域： 及 ;

例題十三 (4) 計算： (A) (B) (C) 便利商店 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 實施前 40 47 50 45 42 46 48 實施後 41 43 38 44 D -1 -3 -2

例題十三 (5) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 之假設，即10家全家便利商店在廣告A計畫實施前後無明顯改變 ( 廣告A計畫無效果 )。

8-4母體比率之假設檢定 . . .單一個母體比例P之假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 下所示 ( 設顯著水準為 )： 母體分配：點二項分配 2. 假設：　 ( 設雙尾檢定 ) 3. 檢定統計量 ( 使用Z分配 )：隨機抽樣一組樣本 ( 設為大樣本，當 且 成立時，依中央極限定 理， 分配趨近常態分配 )，計算 (X表示成功的次 數 )，帶入檢定統計量，求算 值。

8-4母體比率之假設檢定 . . .單一個母體比例P之假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 拒絕域： 或 。 5. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。 6. 其他假設情況： (1) 左尾檢定： ，拒絕域為 (2) 右尾檢定： ，拒絕域為

例題十四 彰化銀行從100件放款案件中發現有15件為逾期放款，設 之 下，試檢定彰化銀行逾期放款的比例是否不超過12%？ ＊解 彰化銀行從100件放款案件中發現有15件為逾期放款，設 之 下，試檢定彰化銀行逾期放款的比例是否不超過12%？ ＊解 ∵　 且 ，為大樣本，∴　依 中央極限定理， 分配趨近常態分配 假設： 檢定統計量： (3) 拒絕域：

例題十四 計算： (5) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 之假設，即彰化銀行逾期放款的比例不超過12%。

例題十四

8-4母體比率之假設檢定 . . .兩獨立母體比例差之假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . 8-4母體比率之假設檢定 . . .兩獨立母體比例差之假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . 兩獨立母體比率差 之檢定 ( 設為大樣本情況 )，其導出過 程，如下所示 ( 設顯著水準為 )： 1. 母體分配：設有兩個相互獨立的點二項分配： (1) 第一個母體： , , , 。 (2) 第二個母體： , , , 。 2. 假設：　 ( 設雙尾檢定 )。 3. 檢定統計量 ( 使用Z分配 )： (1) 從第一個母體隨機抽樣一組樣本 ，計算 。 ( 表示成功的次數 )。

8-4母體比率之假設檢定 . . .兩獨立母體比例差之假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) 從第二個母體隨機抽樣一組樣本 ，計算 。 ( 表示成功的次數 )。 (3) ∵　假設 ，而P未知，則以 為最佳估 計量，帶入檢定統計量，求算 值。 4. 拒絕域： 或 。

8-4母體比率之假設檢定 . . .兩獨立母體比例差之假設檢定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。 6. 其他假設情況： (1) 左尾檢定： ，拒絕域為 (2) 右尾檢定： ，拒絕域為

例題十五 為了解Nokia手機在甲乙兩地的使用率，乃自甲地抽出300人，有 150人使用Nokia品牌，乙地抽出250人，有120人使用，設 之下，試求： (1) 甲乙兩地Nokia品牌使用率是否有顯著的不同？ 甲地Nokia品牌使用率是否不高過乙地Nokia品牌使用率？ ＊解 甲乙兩地Nokia品牌使用率是否有顯著的不同： (A) 假設： (B) 檢定統計量：

例題十五 (C) 拒絕域： 或 。 計算：

例題十五 (E) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 之假設，即甲乙兩地Nokia品牌使用率無顯著不同。

例題十五 甲地Nokia品牌使用率是否不高過乙地Nokia品牌使用率： (A) 假設： (B) 檢定統計量：

例題十五 計算： 拒絕域： (E) 決策：∵　 ，落在接受域內，表示差異不顯著，∴　接受 之假設，即甲地Nokia品牌使用率不高過乙地Nokia品牌使用率。

8-5其他檢定方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 本章到上節為止，所介紹的方法，通常為統計量檢定法。在統計學 上，另外尚有三種方法具有檢定的功能，本節將加以介紹 ( 本節 只就常態母體平均數的雙尾假設檢定類型加以說明 )。

8-5母體比率之假設檢定 . . .P值法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P值法 (P-value) 又稱為機率值法 (Probability-Value)，是指以 隨機抽樣出的樣本資料，來建立拒絕域之機率值 ( 即P值 )，再與 顯著水準 比較，以作為檢定未知母數的依據。就現代的統計軟體 ( 如SPSS、SAS、Minitab、Excel等 ) 言，都會計算P值 (∵　若樣 本太大，不易查表，而且麻煩。)，因此在使用上，甚為方便。 假設： 2. 顯著水準： 。

8-5母體比率之假設檢定 . . .P值法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. P值： (1) 當 時： 。 (2) 當 時： 。 (3) 若為單尾檢定，則不乘2。 (4) 此 即統計量檢定法之 ，因此直接以 計算其機率即可。

8-5母體比率之假設檢定 . . .臨界值檢定法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 臨界值檢定法 (Critical-Value Test)，是指在既定的顯著水準 下，以隨機抽出的樣本及虛無假設值來決定臨界值，以作為接受與 拒絕未知母數的依據。 假設： 2. 信賴係數： 。 3. 臨界區域： (1) 為左側臨界值； 為右側臨界值。

8-5母體比率之假設檢定 . . .臨界值檢定法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) ∵　 ∴ 4. 決策： (1) 若 落在 與 之間，則接受 。 (2) 若 不落在 與 之間，則拒絕 。

8-5母體比率之假設檢定 . . .信賴區間法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 信賴區間法是指以建立信賴區間的原理，作為檢定未知母數的依據 ( 可詳見上章之說明 )。 假設： 2. 信賴係數： 。 3. 信賴區間： 4. 決策： (1) 若 之 值落入信賴區間內，則接受 。 (2) 若 之 值不落在信賴區間內，則拒絕 。

例題十六 考慮下列假設 ( 設母體資料為常態分配，標準差為2.5) 今抽出樣本數 ，計算其平均數 設顯著水準為5%，試 今抽出樣本數 ，計算其平均數 設顯著水準為5%，試 檢定該假設 ： 是否成立？ (1) 統計量檢定法。 (2) P值法。 (3) 臨界值檢定法。 (4) 信賴區間法。

例題十六 ＊解 (1) 統計量檢定法 (A) 假設： (B) 檢定統計量： (C) 拒絕域： 及 (D) 計算： 。

例題十六 (E) 決策：∵ ，落在接受域內，表示差異不顯 著，∴ 接受 之假設， 即成立。 (2) P值法 (A) 假設： 著，∴　接受 之假設， 即成立。 (2) P值法 (A) 假設： (B) 顯著水準： (C) P值： ∵ 　 ， ∴　

例題十六 (D)決策：∵ ，表示差異不顯著，∴ 接受 之假設，即 成立 ( 註：上述1.8即 (1) 法之 值 )。 (3) 臨界值檢定法 之假設，即 成立 ( 註：上述1.8即 (1) 法之 值 )。 (3) 臨界值檢定法 (A) 假設： (B) 信賴係數： (C) 臨界區域：

例題十六 (D)決策： ∵　 落在 與 之間，∴　接受 。 (4) 信賴區間法 (A) 假設： (B) 信賴係數：

例題十六 信賴區間： (D) 決策： ∵　 之 落入9.96～11.04內，∴　接受 。

例題十七 考慮下列假設 ( 設母體資料為常態分配，標準差未知 )。 今抽出樣本數 ，計算其平均數 ，樣本標準差 今抽出樣本數 ，計算其平均數 ，樣本標準差 ，設顯著水準為5%，試檢定該假 設是否成立？ (1) 統計量檢定法。 (2) P值法。 (3) 臨界值檢定法。 信賴區間法。 ＊解

例題十七 (1) 統計量檢定法 (A) 假設： (B) 檢定統計量： (C) 拒絕域： 或 (D) 計算： (1) 統計量檢定法 (A) 假設： (B) 檢定統計量： (C) 拒絕域： 或 (D) 計算： (E) 決策：∵ ，落在左側的拒絕域內，表示差異顯著，∴　拒絕 之假設，即 之假設不成立。

例題十七 (3) 臨界值檢定法 (A) 假設： (B) 信賴係數： (C) 臨界區域： (D) 決策： ∵　 不落在 與 之間，∴　拒絕

例題十七 (4) 信賴區間法 (A) 假設： (B) 信賴係數： (C) 信賴區間： (D) 決策： (4) 信賴區間法 (A) 假設： (B) 信賴係數： (C) 信賴區間： (D) 決策： ∵　 之 不落入48.17～49.83區間內，∴　拒絕 。

8-6型Ⅱ誤差 的求算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. α的計算 所謂顯著水準 ，是指型Ⅰ誤差所發生的機率，即 2. β的計算 型Ⅱ誤差P(Ⅱ) 以表示，是指 為假而接受 之機率，即

8-6型Ⅱ誤差 的求算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 檢定力 檢定力 (Poewr of a Test) 。在統計檢定上，由於犯 的錯誤，遠比犯 錯誤來的嚴重 ( 例如拒絕一個無罪 之人 而認定有罪 ( 接受 ，造成冤獄 )、拒絕無效 之藥而認定 有效 ( 接受 ，導致吃該藥而死亡 ) )。因此檢定模式都會先 固定 在一定的較小範圍 ( 如 或5% )，而儘量使 錯誤 降至最低。換言之，在 固定之下，檢定力 愈強 ( 誤差發 生的機率愈小 )，即是表示最佳檢定 (Most Powerful Test) 模 式。

8-6型Ⅱ誤差 的求算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 檢定力曲線 由於 ，隨著 所設定之未知母數不同， 亦不同，因此可繪製其間的 關係 ( 與 兩者的關係 )，稱為檢定力曲線，以表示檢定模 式之效率 ( 之值愈大，檢定效率愈高 )。

例題十八 某飲料小販宣稱其大杯奶茶，平均容量為600 CC，標準差50 CC， 今抽取25杯計算其平均容量，若 在 內，則認為小 今抽取25杯計算其平均容量，若 在 內，則認為小 販宣稱無誤，即接受 之假設，若在其他範圍，則拒絕 的假設，設大杯奶茶容量呈常態分配，試求： (1) 當 成立時，犯型Ⅰ誤差 之機率。 (2) 若 ，犯型Ⅱ誤差 之機率與檢定力。 此檢定法則是否優良？ ＊解

例題十八 (1)

例題十八 (2) (A) (B)檢定力

例題十八 (3) ∵　 與 之機率均小，∴　此檢定法則是屬優良方式。

例題十九 考慮下列假設： 設樣本數36，母體標準差6， ，求算在下列母體平均數，犯 型Ⅱ誤差 之機率與檢定力。 (1) 。 (2) 。 設樣本數36，母體標準差6， ，求算在下列母體平均數，犯 型Ⅱ誤差 之機率與檢定力。 (1) 。 (2) 。 (3) 繪製檢定力曲線。 本題檢定力曲線涵義。 ＊解 由於臨界值未知，所以先求臨界值。

例題十九

例題十九 (A) (B)檢定力

例題十九 (2) (A) (B) 檢定力

例題十九

例題十九 (3) 繪製檢定力曲線 (4) 曲 曲線可知， 離 之兩側愈遠，則檢定力愈強。

例題二十 福特汽車公司宣稱，新開發之環保車其省油能力佳，每公升汽油 至少跑30公里以上，設抽出樣本數64，樣本標準差6， ，試 求： 至少跑30公里以上，設抽出樣本數64，樣本標準差6， ，試 求： (1) 福特汽車公司宣稱的決策法則。 (2) 若實際的公里數為26公里，犯型Ⅱ誤差 之機率。 (3) 若實際的公里數為28公里，犯型Ⅱ誤差 之機率。 繪製檢定力曲線。 ＊解 (1) (A) (B) 左尾臨界值

例題二十 (C) 決策法則： 若 ，則接受 。 若 ，則拒絕 。 (2)

例題二十 (3) 由 (2) (3) 可知，(2) 之檢定力相對較強。

例題二十 (4) 繪製檢定力曲線

例題二十一 東元公司宣稱台北地區購買該公司電視品牌之比率為 ，今 為檢定此說法，隨機抽取12戶家庭為樣本，若此樣本中有3～7戶 東元公司宣稱台北地區購買該公司電視品牌之比率為 ，今 為檢定此說法，隨機抽取12戶家庭為樣本，若此樣本中有3～7戶 購買該公司電視品牌，則承認虛無假設 的說法，否則拒 絕 。試求 (1) ，求型Ⅰ誤差之 機率。 (2) ，犯型Ⅱ誤差之 機率。 (3) ，犯型Ⅱ誤差之 機率。 (4) 繪製檢定力曲線。

例題二十一 ＊解 (1) (2)

例題二十一 (3) 繪製檢定力曲線 (∵　小數點關係，∴　略有差異 )。

例題二十一