现代控制理论及其MATLAB实现 绪论 第1章 控制系统的状态空间数学模型 第2章 控制系统的运动分析 第3章 控制系统的稳定性分析 第4章 控制系统的能控性与能观测性 第5章 线性定常控制系统的综合 第6章 最优控制

绪 论 现代控制理论的发展历程 01 现代控制理论的内容 02 返回总目录

§ 01 现代控制理论的形成和发展 一、经典控制理论的形成与发展 1 2 3 萌芽阶段 发展阶段 形成体系 18世纪初 19世纪 20世纪40年代 3 形成体系

1、萌芽阶段 随着科学技术与工业生产的发展，到十八世纪，自动控制技术逐渐应用到现代工业中。其中最卓越的代表是瓦特（J.Watt）发明的蒸汽机离心调速器，加速了第一次工业革命的步伐。 瓦 特

2、发展阶段 1868年马克斯韦尔（J.C.Maxwell）解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈振荡的不稳定问题，提出了简单的稳定性代数判据。

3、形成体系阶段 1895年劳斯（Routh）与赫尔维茨（Hurwitz）把马克 　斯韦尔的思想扩展到高阶微分方程描述的更复杂的系　　统中,各自提出了两个著名的稳定性判据—劳斯判据和赫尔维茨判据。基本上满足了二十世纪初期控制工程师的需要。 赫尔维茨（Hurwitz）

由于第二次世界大战需要控制系统具有准确跟踪与补偿能力，1932年奈奎斯特（H 由于第二次世界大战需要控制系统具有准确跟踪与补偿能力，1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究系统的频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态 准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。 奈奎斯特

4、经典控制理论的特点和局限性 (1) 以SISO线性定常系统为研究对象。 (2) 以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率 域中分析与设计。 (3) 难以有效地应用于时变系统、多变量系统 (4)难以有效地应用于非线性系统。

二、现代控制理论的形成与发展 萌芽阶段 1 20世纪50年代 60~80年代 2 发展阶段 80年代后 3 形成体系

1.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规划。 2.1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念。 卡尔曼

L.S.Pontryagin 3. 1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理。 4. 罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens）和麦克法轮（G.J.MacFarlane）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础

5. 由于现代数学的发展，结合着H2和H等范数而 出现了H2和H控制，还有逆系统控制等方法。 6. 20世纪70年代末，控制理论向着“大系统理论”、 “智能控制理论”和“复杂系统理论”的方向发展： 大系统理论：研究各种大系的结构方案、总体设计中的分 解方法和协调等问题的技术基础理论。 智能控制理论：研究与模拟人类智能活动及其控制与信 息传递过程的规律，的理论。 复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范 筹，以解决复杂系统的控制为目标。 返回本章目录

§ 02 现代控制理论的内容 现代控制理论基础的主要内容有: 线性系统理论 最优控制理论 最优估计理论 系统辨识理论 线性系统理论 最优控制理论 最优估计理论 系统辨识理论 自适应控制理论 非线性系统理论

频率法的物理意义直观、实用，难于实现最优控制 经典控制理论 现代控制理论 研究对象 单输入单输出系统(SISO) 高阶微分方程 多输入多输出系统(MIMO) : 一阶微分方程组 研究方法 传递函数法(外部描述) 状态空间法(内部描述) 研究工具 拉普拉斯变换 线性代数矩阵 分析方法 频域(复域),频率响应和根轨迹法 复域、实域，可控和可观测 设计方法 PID控制和校正网络 状态反馈和输出反馈 其他 频率法的物理意义直观、实用，难于实现最优控制 易于实现实时控制和最优控制

现代控制理论应用示例： 机器人控制 地空导弹稳定控制 返回本章目录

第1章 控制系统的状态空间数学模型 1.1 基本概念 1.2线性定常连续系统的状态空间数学模型 1.3线性时变连续系统的状态空间数学模型 1.1 基本概念 1.2线性定常连续系统的状态空间数学模型 1.3线性时变连续系统的状态空间数学模型 1.4非线性连续系统的状态空间数学模型 1.5线性离散系统的状态空间数学模型 1.6线性定常系统状态空间模型的MATLAB实现 返回总目录

1.1 基本概念 1．输入量和输入向量 2．输出量和输出向量 3．状态变量、状态向量和状态空间 状态变量具有最小性，非唯一性，独立性。

4．状态方程 非线性时变系统状态方程 非线性定常系统状态方程

4．状态方程 线性时变系统状态方程 系统矩阵 输入（或控制）矩阵

5. 输出（或观测）方程 非线性时变系统输出方程 非线性定常系统输出方程

5. 输出（或观测）方程 线性时变系统输出方程 输出（或观测）矩阵 前馈（或顺馈）矩阵

5. 输出（或观测）方程 线性定常系统输出方程 输出矩阵C和前馈矩阵D为常数矩阵

（1）系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和前馈矩阵都只与系统的结构及其参数有关，统称为系数矩阵。 （2）系统的状态空间模型描述的是系统的输入、状态及输出三者之间的动态关系，故状态方程和输出方程统称为动态方程。 （3）由于状态变量的非唯一性，同一系统可以具有不同的动态方程。但不论怎样选取状态变量，系统的传递函数矩阵必定是唯一的，对于一定的输入和初始条件，系统的输出也必定是唯一的。 （4）为了保障微分方程解的存在性，状态变量的选取不能使状态方程含有输入量的导数项。因为有些输入量的导数不连续，会使状态方程无解。 （5）线性系统的动态方程完全决定于其系数矩阵，常常直接表示为 线性时变系统 线性定常系统

6. 系统的结构图 线性时变系统

6. 系统结构图 线性定常系统 返回本章目录

1.2 线性定常连续系统的状态空间数学模型 1.2.1根据物理模型建立状态空间模型 当已知系统的物理模型时，状态变量一般选物理量，特别是标志能量大小的物理量。如机械系统中弹性元件的变形（反映位能）和质量元件的速度（反映动能）；电气系统中的电容电压（反映电能）和电感电流（反映磁能）。

【例】 由质量为的质块、刚度为的无重弹簧及阻尼系数为的阻尼器组成的质量-弹簧-阻尼系统如图所示。建立以激励力为输入量、以质块位移为输出量的状态空间模型。 选取弹簧变形和质块速度为状态变量，即

【例】 一个由电阻、电容和电感元件组成的四端无源网络如图所示，试建立以输入电压 为输入量、以输出电压 为输出量的状态空间模型。

选取电容电压和电感电流为状态变量，即

状态空间模型框图绘制步骤：积分器的数目等于状态变量数，每个积分器的输出表示一个状态变量（用矢线表示），根据所给的状态方程和输出方程，画出加法器和比例器。

1.2.2 根据微分方程建立状态空间模型 当已知系统的微分方程时，可根据高阶微分方程与一阶微分方程组的关系将其化为一阶微分方程组。由于状态变量选取的非唯一性，同一微分方程可演化出许多不同的状态空间模型，其中最常用的是两种观测器规范型。

1.能观测规范Ⅰ型 令 为待定系数

为使状态方程不含输入量的导数项，令

能观测规范Ⅰ型

推广到n阶系统

【例】 假设系统的微分方程为 试求其状态空间数学模型。

1.2.2 根据微分方程建立状态空间模型 2．能观测规范Ⅱ型 令 ……

能观测规范Ⅱ型

【例】 假设系统的微分方程为 试求其状态空间数学模型。

1.2.3根据传递函数建立状态空间模型 当已知系统的传递函数时，可借助于传递函数与微分方程的关系及结构图将其化为一阶微分方程组。由于状态变量选取的非唯一性，同一传递函数可演化出许多不同的状态空间模型，其中最常用的是两种控制器规范型。

1．能控规范Ⅰ型

令 …

能控规范Ⅰ型

【例】 假设系统的传递函数为 试求其状态空间数学模型。

2．能控规范Ⅱ型

令 … …

能控规范Ⅱ型

能控规范型与能观测规范型的关系

【例1】 假设系统的传递函数为 试求其状态空间数学模型。

3．约当规范型 假设传递函数的极点有一个 重极点 ，其余极点为单极点，即

令

约当规范型

4．对角线规范型

1.2.4根据系统的传递函数结构图建立状态空间模型 当已知系统的传递函数结构图时，仿照上面约当规范型的状态变量定义方法，对每个积分环节和各一次项倒数环节的输出端定义一个状态变量，再通过简单数学运算即可建立状态空间模型。当结构图中含有二次项或更高次有理分式函数环节时，可应用梅逊公式和结构图等效变换方法将其化为一次项倒数环节的组合形式。还可以综合运用以上几种方法来建立状态空间模型。

【例】 假设系统的结构如图所示，试建立其状态空间模型。

令

【例】

解法一 （ 应用梅逊公式）

解法二 根据能控规范Ⅰ型 由结构图得

1.2.5状态空间模型的线性变换 1.线性变换 （1）任意选取非奇异矩阵 T 为在新状态空间中的状态向量； z向量空间的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

1.2.5状态空间模型的线性变换 1.线性变换 （2）任意选取非奇异矩阵 T 为在新状态空间中的状态向量； 分别为z向量空间的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

与 或 是相似矩阵，而相似矩阵具有相同的特征值。 线性变换不改变系统的特征值。

2.对角线规范型的实现 假设单输入单输出线性定常系统 的特征值 互异，与 对应的特征向量为 将系统 化为对角线规范型的变换矩阵为 变换后，新状态空间模型的系统矩阵为

3.约当规范型的实现 假设系统矩阵 重特征值 ，其余特征值 互异 有一个 化为约当规范型的变换矩阵为 … …

新状态空间模型的系统矩阵为

【例】 假设系统 的系数矩阵分别为 试求系统的特征值并据以将系统 化为约当规范型或对角线规范型。

（1）求系统矩阵A的特征值 三重特征值

（2）化为约当规范型

（2）化为约当规范型

1.2.6状态空间模型与传递函数矩阵之间的关系 返回本章目录

1.3 线性时变连续系统的状态空间数学模型 线性时变系统没有传递函数，其状态空间模型可仿照线性定常系统观测器规范型来建立。 【例】 假设线性时变系统的微分方程为 试建立其状态空间数学模型。 令

为使状态方程不含输入量的导数项，令

返回本章目录

1.4 非线性连续系统的状态空间数学模型 非线性系统有本质非线性和本征非线性两种类型。 其元件具有滞环或饱和等非线性特性的系统称为本质非线性系统。 其微分方程含有非线性项的系统称为本征非线性系统。 对于本质非线性系统，可将线性部分状态空间模型列写出来，对非线性部分进行相应的变量代换。 本征非线性系统的状态空间模型可通过变量代换来建立。

1.4.1本质非线性系统的状态空间模型 【例】 假设系统的结构如图（a）所示，其中，滞环非线性元件的特性如图（b）所示，试建立其状态空间模型。 图（a） 图（b）

根据能控规范Ⅰ型

设

1.4.2本征非线性系统的状态空间模型 【例】假设系统的微分方程为 试建立其状态空间模型。 令 返回本章目录

1.5 线性离散系统的状态空间数学模型 1.5.1基本概念 1.差分方程 n阶前向差分方程 n阶后向差分方程

2.脉冲传递函数 在零初始条件下输出量的z变换与输入量的z变换之比。

3.状态空间模型 线性时变离散系统动态方程 线性定常离散系统动态方程

1.5.2线性定常离散系统的状态空间模型 1. 能观测规范型 （1）能观测规范Ⅰ型 令 …

（2）能观测规范Ⅱ型 令 …

线性定常离散系统的能观测规范型与线性定常连续系统的能观测规范型完全一致

线性定常离散系统的能控规范型与线性定常连续系统的能控规范型完全一致 2．能控规范型 线性定常离散系统的能控规范型与线性定常连续系统的能控规范型完全一致

（1）能控规范Ⅰ型

（2）能控规范Ⅱ型

（2）能控规范Ⅱ型 返回本章目录

1.6 线性定常系统状态空间模型的MATLAB实现 1．传递函数 在MATLAB中可表示为

[A B C D] = tf2ss (num , den) [num , den]=ss2tf (A B C D) 2．传递函数转换状态空间模型 在MALAB中，用符号“tf”表示传递函数，用符号“ss”表示状态空间。将传递函数转换为状态空间模型的命令语句是tf2ss，其调用格式是 [A B C D] = tf2ss (num , den) 3．状态空间模型转换传递函数 [num , den]=ss2tf (A B C D) 4．状态空间模型转换约当规范型 [T, J]=jordan (A)

【例】 假设系统的传递函数为 试求状态空间模型及其约当规范型。

（1）状态空间模型

（2）状态空间模型转换约当规范型

1.6.2实现能控规范型的MATLAB编程及计算—— 实现能控规范Ⅰ型

实现能控Ⅰ型算例

1.6.2实现能控规范型的MATLAB编程及计算—— 实现能控规范Ⅱ型

实现能控Ⅱ型算例 返回本章目录

第2章 控制系统的运动分析 2.1 线性定常连续系统的运动分析 2.2 线性时变连续系统的运动分析 2.3 线性定常离散系统的运动分析 第2章 控制系统的运动分析 2.1 线性定常连续系统的运动分析 2.2 线性时变连续系统的运动分析 2.3 线性定常离散系统的运动分析 2.4 线性时变离散系统的运动分析 返回总目录

2.1 线性定常连续系统的运动分析 2.1.1 系统状态自由运动 2.1 线性定常连续系统的运动分析 2.1.1 系统状态自由运动 系统状态自由运动是在没有外部激励的情况下由不为零的初始状态引发的状态运动，在数学上，就是齐次微分方程 在初始条件 下的解 1．直接解法 — 待定系数法 第1步，假设微分方程的预解，用待定系数反映事先不确定的因素； 第2步，将假设的预解代入微分方程并确定待定系数； 第3步，将确定的待定系数回代入预解。

假设齐次微分方程的预解为 代入微分方程，得 左边= =右边 … 当 时，

矩阵指数函数 ——状态转移矩阵，并用符号 表示

2．间接解法 — 拉氏变换法 第1步，对微分方程进行拉氏变换； 第2步，求出微分方程的复域解； 第3步，对复域解进行拉氏逆变换。 对微分方程进行拉氏变换，得 令

2.1.2 状态转移矩阵 1.状态转移矩阵的性质 （1）初值

（2）可求导数 左提矩阵A 右提矩阵A 因 ，故

（3）可分解

（4）可逆

（5）可乘方 2．状态转移矩阵的计算 （1）幂级数计算法 （2）拉氏变换计算法

【例】 试求矩阵 的矩阵指数函数

（3）应用凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理计算

一般表达式 的同次幂合并同类项，可得 再按

研究系数 的计算方法 10）系统矩阵 的特征值 互异 与其特征值 可以互换。 根据凯莱-哈密顿定理，方阵

20）系统矩阵 有重特征值 关于重特征值 求一阶、二阶直至 阶导数，可得 个方程。 解n元一次方程组便可确定 【例】 应用凯莱-哈密顿定理求解前例 (学生练习）

（4）对角线矩阵和约当矩阵的指数函数 10）对角线矩阵

20）约当矩阵

30）约当矩阵

（5）相似变换计算法 与 是相似矩阵，具有相同特征值。

2.1.3系统状态受控运动 1．直接解法 — 常数变易法 第1步，将齐次微分方程的解的常数参量用变参量代替并作为非齐次微分方程的预解； 第2步，将预解代入非齐次微分方程并确定变参量； 第3步，将确定的变参量回代入预解。

（1）假设非齐次方程预解 齐次微分方程的解为 将常数向量 用变参数向量 代替 得非齐次微分方程的预解，即

（2）确定变参数向量 将 代入微分方程 左边= =右边

（3）变参量回代 系统的受控运动由两部分组成 ——不为零的初始状态 自由运动分量 引发 受控运动分量 ——输入量 引发 如果给定的初始时刻为t0、初始状态为 则由状态转移矩阵 的性质

2．间接解法 — 拉氏变换法

2.1.4系统的输出响应

2.1.5 实现线性定常连续系统运动分析的MATLAB编程

直接法

拉氏变换法

【例2】 已知系统的动态方程为 试求系统的状态转移矩阵和时间响应

实现系统运动分析的MALAB人机交互计算过程及数据表

输出量变化曲线图

【例】 上例中，若初始状态 输出矩阵 ，试求系统的响应。

（a）输出量y1 （b）输出量y2 输出量变化曲线图 返回本章目录

2.2 线性时变连续系统的运动分析 线性时变系统无法实施拉氏变换，只能用时域直接法进行分析。 2.2.1系统状态自由运动 2.2 线性时变连续系统的运动分析 线性时变系统无法实施拉氏变换，只能用时域直接法进行分析。 2.2.1系统状态自由运动 设时变系统齐次状态方程的解为 是状态转移矩阵。 左边= =右边= ——线性时变系统状态转移矩阵的定义式。

2.2.2状态转移矩阵 状态转移矩阵的性质 （1）初值

（2）可分解

（3）可逆

（4）可求导数 状态转移矩阵关于时间t 的导数为

2．状态转移矩阵的计算 （1）幂级数法 时，状态转移矩阵为 [定理]当且仅当

证明：

（2）递推级数法 对状态转移矩阵定义式两边积分，可得 左边= =右边= 向下递推

向上迭代

2.2.3 系统状态受控运动 时变系统的非齐次状态方程为 的解为 齐次状态方程 故按照常数变易法的思想，假设非齐次方程的预解为

将预解代入微分方程，得 左边= =右边 与定常系统一样，时变系统的状态受控运动也是自由运动分量 和受控运动分量 两部分的叠加。

2.2.4 系统输出响应 2.2.5实现线性时变连续系统运动分析的MATLAB编程

1．计算状态转移矩阵的MATLAB编程

2．实现系统运动分析的MATLAB编程

【例】 假设系统的动态方程为 若初始状态为 试求在控制信号 作用下系统的响应。

实现系统运动分析的 MALAB人机交互计算过程及数据表

【例】 假设系统的动态方程为 若初始状态为 试求在控制信号 作用下系统的响应。

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2.3 线性定常离散系统的运动分析 2.3.1 线性定常连续系统的离散化及其MATLAB实现 1.离散化模型 令

设 令

2.线性定常连续系统离散模型的MATLAB实现 连续模型转化为离散模型 [Ak,Bk ] = c2d (A , B,T) T为采样周期 离散模型转化为连续模型 [A,B] = d2c (Ak Bk,T)

【例】 假设连续系统的系数矩阵为 若采样周期为T=0.05（s），试求其离散化模型。

系统的离散化模型为

实现离散模型的MATLAB过程和数据表

2.3.2 线性定常离散系统的运动分析 1.求解状态方程的递推法 ——离散系统的状态转移矩阵

——离散系统的状态转移矩阵

2．求解状态方程的z变换法 对 进行z变换，得 3．系统输出响应

2.3.3实现线性定常离散系统运动分析的MATLAB编程 直接递推法

Z变换法

【例2】 假设离散系统的系数矩阵为 采样周期T=0.1（s），试求系统第10步采样以前的响应序列。

MATLAB人机交互过程及计算数据表

（a）输出量y1序列图 （b）输出量y2序列图 返回本章目录

2.4 线性时变离散系统的运动分析 2.4.1 线性时变连续系统的离散化及其MATLAB实现 1.离散化模型 令

令

2.实现线性时变连续系统离散模型的MATLAB编程

【例】假设线性时变连续系统的动态方程为 试求其离散化模型，采样周期T=0.1(s)

将状态转移矩阵中的t用(k+1)T代替、t 0用kT代替，可得离散化系统矩阵

2.4.2 线性时变离散系统的运动分析 ——时变离散系统的状态转移矩阵

2.4.3实现线性时变离散系统运动分析的MATLAB编程

【例】 假设线性时变离散系统的状态空间模型为 试求当采样周期分别为T=0.1（s）和T=0.05（s）时前20步采样的响应序列

（1）T=0.1（s）

（1）T=0.1（s） （a）输出量y1序列图 （b）输出量y2序列图

（1）T=0.05（s）

（1）T=0.05（s） （a）输出量y1序列图 （b）输出量y2序列图 返回本章目录

第三章 控制系统的稳定性分析 3.1 李雅普诺夫稳定性基本定理 3.2 线性连续系统的稳定性分析 3.3 线性离散系统的稳定性分析 第三章 控制系统的稳定性分析 3.1 李雅普诺夫稳定性基本定理 3.2 线性连续系统的稳定性分析 3.3 线性离散系统的稳定性分析 3.4 非线性连续系统的稳定性分析 返回总目录

1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Лияпунов）提出了判定稳定性的两种方法，一种根据微分方程解的性质来判定系统的稳定性，一般称为李雅普诺夫第一法或间接法；另一种不需求解微分方程，通过构造一个以系统微分方程为根据的标量函数，再根据该标量函数的定号性来判定系统的稳定性，一般称为李雅普诺夫第二法或直接法。这第一法仍未绕过求解微分方程的困难，难以广泛应用，而第二法不需求解微分方程，只须构造一个相关的标量函数，适应性自然要广泛得多。 系统稳定与否，取决于受扰自由运动的变化形式。而自由运动是系统外部激励消失以后由不为零的初始状态引发的，其变化规律只取决于系统本身的结构及参数。因此，系统的稳定性也只取决于系统本身的结构及参数，是系统本身的固有特性，与控制作用无关。在研究稳定性时，只考虑自由运动数学模型（即齐次微分方程），不考虑输入量。

3.1 李雅普诺夫稳定性基本定理 3.1.1数学基础 1. 平衡状态 3.1 李雅普诺夫稳定性基本定理 3.1.1数学基础 1. 平衡状态 系统运动形式保持恒定的状态称为平衡状态，其数学描述是状态变量关于时间的导数等于0。 假设非线性系统的齐次微分方程为 平衡状态应满足 许多非线性系统有多个平衡状态 假设线性系统的齐次微分方程为 平衡状态应满足 当 非奇异时， 是唯一的平衡状态，当 奇异时，平衡状态有无穷多个。

2. 标量函数和矩阵的定号性 应用李雅普诺夫稳定性定理时，必须判定标量函数的定号性。 假设Ω是包含状态空间原点的有限闭域，在Ω内 是向量 的标量函数且具有连续一阶偏导数： （1）正定和半正定函数 若当 时， ，当 时， ，则称 为正定函数。 若当 时， ，当 时， ，则称 为半正定函数。 （2）负定和半负定函数 若当 时， ，当 时， ，则称 为负定函数。 若当 时， ，当 时， ，则称 为半负定函数。 （3）不定函数 不论闭域Ω多么小，若当 时， 可正可负，则称 为不定函数。

（4）二次型函数的定号性 二次型函数定义为 根据西尔维斯特（Sylvester）准则，二次型函数的定号性等价于实对称矩阵 的定号性。 （5）正定矩阵和半正定矩阵 矩阵 为正定的充分必要条件是其所有特征值为正或各阶主子式为正，即 { } 或 … 如果 为奇异矩阵，那么当其所有特征值为非负或各阶主子式为非负时， 为半正定。

（6）负定矩阵和半负定矩阵 矩阵 为负定的充分必要条件是其所有特征值为负或奇数次主子式为负、偶数次主子式为正，即 { } 或 … 奇异矩阵 的半负定条件：所有特征值为非正或奇数次主子式为非正、偶数次主子式为非负 3.1.2 李雅普诺夫稳定性定义 （1）isL稳定 在平衡状态 的邻域内，任意选定正实数 ，如果存在另一正实数 ，当初始状态 满足 时，由 引发的系统自由运动 总满足

则称系统在 处是李雅普诺夫意义上稳定的，简称isL稳定。如果 与初始时刻 无关，则称isL一致稳定。 对于n阶系统，在状态空间 ， 是欧几里得范数，即 isL稳定的几何意义是，由位于超球面 内的任意初始状态 引发的自由运动 永远不会超出超球面 。对于2阶系统， 和 蜕化为圆，isL稳定的几何意义如图所示。 isL稳定

（2）渐近稳定 如果系统在 处是isL稳定的，且 或 则称系统在 处是渐近稳定的。又当系统在 处是isL一致稳定时，称为一致渐近稳定。 当时间足够大时，由偏离平衡状态 的任意初始状态 引发的自由运动 最终趋于 。对于2阶系统，渐近稳定的几何意义如图所示。 渐近稳定

（3）全局渐近稳定 如果 是 中的任意点，由 引发的自由运动 总是趋近于 ，则称系统是全局渐近稳定的。对于2阶系统，全局渐近稳定的几何意义如图所示。 全局渐近稳定 不稳定 （4）不稳定 如果在平衡状态 的邻域内，对于任意选定的正实数 ，不论 多么小，均无法找到另一正实数 ，使之满足isL稳定的条件，则称系统在该平衡状态是不稳定的。其几何意义是，只要 偏离 ，由它引发的 必定随时间的延续离 而远去。对于2阶系统，不稳定的几何意义如图所示。

3.1.3 李雅普诺夫稳定性定理 [定理1] 在 的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量 ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，而且 （1） 正定 （2） 负定 那么系统在 处渐近稳定。又当 时，如果 ，那么系统全局渐近稳定。 [定理2] 在 的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量 ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，而且 （1） 正定 （2） 半负定 （3）除 外， 不恒等于0。 那么系统在 处渐近稳定。又当 时，如果 ，那么系统全局渐近稳定。

[定理3] 在 的邻域内，对于满足系统齐次状态方程的状态向量 ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，而且 （1） 正定 （2） 半负定 那么系统在 处是isL稳定的。 【例】 假设系统的齐次状态方程为 （ ） 试分析系统的稳定性。 解：令 且唯一 是正定的

负定 正定， 负定，且当 时， ，该系统是全局渐进稳定的。 返回本章目录

3.2 线性连续系统的稳定性分析 3.2.1线性定常连续系统的稳定性分析及其MATLAB编程与计算 3.2 线性连续系统的稳定性分析 3.2.1线性定常连续系统的稳定性分析及其MATLAB编程与计算 [定理] 线性定常连续系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵 ，存在正定实对称矩阵 ，使得 此时，李氏V函数及其一阶导数分别为 用于线性定常系统稳定性分析的MATLAB通用程序 新应用的MATLAB命令有  lyap — 求解线性定常连续系统李氏方程命令语句；  dlyap — 求解线性定常离散系统李氏方程命令语句；  det — 计算矩阵的行列式命令语句； c1d2=1适用于连续系统，c1d2=2适用于离散系统

运用MATLAB实现线性定常系统稳定性分析

【例】 假设系统的自由运动方程为 试判定系统的稳定性，并求李氏V函数。 解：（1） 非奇异

为正定实对称矩阵， 矩阵Q为半正定实对称矩阵且 不恒为0，满足稳定的充分必要条件，故该系统全局渐近稳定，其李氏V函数为 （2）MATLAB辅助分析

返回本章目录 3.2.2线性时变连续系统的稳定性分析 [定理]线性时变连续系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵 ，存在正定实对称矩阵 ，使得 此时，李氏V函数及其一阶导数分别为 返回本章目录

3.3 线性离散系统的稳定性分析 3.3.1线性定常离散系统的稳定性分析及其MATLAB编程与计算 3.3 线性离散系统的稳定性分析 3.3.1线性定常离散系统的稳定性分析及其MATLAB编程与计算 [定理] 线性定常离散系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵 ，存在正定实对称矩阵 ，使得 此时，李氏V函数及其一阶差分分别为 【例】 假设离散系统的自由运动方程为 试判定系统的稳定性，并求李氏V函数。

解：（1）平衡状态只有 。 为负定实对称矩阵，不满足稳定的充分必要条件，所以，系统不稳定。 （2）MATLAB辅助分析

返回本章目录 3.3.2线性时变离散系统的稳定性分析 [定理] 线性时变离散系统全局渐近稳定的充分必要条件是：任给正定实对称矩阵 ，存在正定实对称矩阵 ，使得 此时李氏V函数及其一阶差分分别为 返回本章目录

3.4 非线性连续系统的稳定性分析 与线性系统相比，非线性系统的特性要复杂得多，平衡状态也往往不止一个，系统在某一个平衡状态渐近稳定或不稳定，只可能具有局部性质，并不能代表系统稳定或不稳定。 李雅普诺夫稳定性定理给出的判决条件是充分条件，不是充分必要条件，找不到李氏V函数，不能断定系统不稳定。因此，能否应用该理论解决稳定性问题，关键在于能否找到李氏V函数。 迄今为止，关于非线性系统的李氏V函数，尚未有一般性建构方法，只有一些适用于特殊函数和针对特殊问题的建构方法。

3.4.1克拉索夫斯基（Krasovski）法及其MATLAB编程与计算 [定理] 非线性系统在 渐近稳定的充分条件是： 的雅可比矩阵与其转置之和 负定。此时， 就是李氏V函数。又当 时，如果 ，那么系统全局渐近稳定。 [推论] 非奇异线性定常系统 全局渐近稳定的充分必要条件是：矩阵 负定。

用于非线性系统稳定性分析的MATLAB通用程序

【例】 假设系统的自由运动方程为 试判定系统的稳定性，并求李氏V函数。 解：（1）令 令

的各阶主子式为 矩阵 是负定的 根据克拉索夫斯基定理，该系统在 处渐近稳定。 李雅普诺夫V函数为 当 时， ，该系统全局渐近稳定。

应 用 现 克 拉 索 夫 斯 基 法 的 MATLAB 人 机 过 程 及 数 据

3.4.2变量梯度法 变量梯度法的构建思路 假设 为预选的非线性系统 在 处的李氏V函数，其关于时间的一阶导数为 是标量函数 的梯度向量 是标量函数 的梯度向量 当梯度向量 的旋度 时，上式积分与路径无关，即

变量梯度法具体技术路线是： （1）用状态变量的线性组合表示标量函数 的梯度向量，称为变量梯度，即假设 （2）令梯度向量的雅可比矩阵对称，即

（3）按照 负定条件补充 个条件，确定变量梯度。 （4）确定 。 【例】 假设系统的自由运动方程为 试应用变量梯度法分析系统的稳定性。 解：（1） 假设变量梯度 （2）梯度向量的雅可比矩阵

（3）由 负定条件确定梯度系数 欲使 负定，只须 （4）变量梯度

李氏V函数 因 正定， 负定，且当 时， ，所以该系统是全局渐进稳定的。 返回本章目录

第四章 最优控制 4.1 系统的能控性 4.2 系统的能观测性 4.3 能控与能观测规范型的实现 第四章 最优控制 4.1 系统的能控性 4.2 系统的能观测性 4.3 能控与能观测规范型的实现 4.4 线性定常系统能控性与能观测性在复域[s]中的判据 4.5 对偶系统及对偶性原理 4.6 线性定常系统能控与能观测结构分解 返回总目录

4.1 系统的能控性 4.1.1线性时变连续系统的状态能控性 [定义]假设系统的状态方程为 4.1 系统的能控性 4.1.1线性时变连续系统的状态能控性 [定义]假设系统的状态方程为 对于任意非零初始状态 ，如果存在容许控制 ，能在有限时区 将其转移到状态空间原点，即 ，则称系统在 时刻是状态能控的。 对于任意的初始时刻 ，如果系统都是状态能控的，则称系统是状态完全能控 的，简称系统状态能控，并记为 能控。 [引理1] 在有限时区 ，连续的方阵 行线性无关等价于格拉姆(Gram) 矩阵 非奇异。 [引理2] 在有限时区 ，具有n-1阶连续导数的方阵 行线性无关等价于 行满秩，即

[判据1] 线性时变系统 在 时刻状态能控的充分必要条件是：在有限时区 ，矩阵 行线性无关或格拉姆矩阵 非奇异。 [判据2]当 和 存在n-1阶连续导数时，系统 在 时刻状态能控的充分必要条件是：在有限时区 ，矩阵 行满秩，即 【例】 假设系统的状态方程为 试分析其能控性。

解： 系统是状态能控的 4.1.2线性定常连续系统的状态能控性及其MATLAB辅助分析 1．基本判据 — 秩判据 线性定常系统 状态能控的充分必要条件是其能控性矩阵行满秩，即

【例】 试分析能控规范Ⅰ型系统 的能控性，其中 解：系统的能控性矩阵及其秩分别为 能控规范Ⅰ型系统 状态能控 【例】 试分析能控规范Ⅱ型系统 的能控性，其中

解：系统的能控性矩阵及其秩分别为 能控规范Ⅱ型系统 状态能控 【例】 试分析约当规范型系统 的能控性，其中 解：系统的能控性矩阵及其秩分别为 约当规范型系统 状态能控

2．关于能控规范型的判据 能控规范Ⅰ型系统 和能控规范Ⅱ型系统 状态能控。 3．关于约当规范型的判据 约当规范型系统 状态能控的充分必要条件是： （1） 中每个约当小块 对应的特征值 互异； （2） 中与每个约当小块 最后一行同行的元素不全为零。 【例】 试分析约当规范型系统 的能控性，其中

解：系统矩阵 含两个约当小块，即 这两个约当小块对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在控制矩阵 中，与两个约当小块的最后一行同行的元素不全为0，故该约当规范型 状态能控。 4．关于对角线规范型的判据 对角线规范型系统 状态能控的充分必要条件是： （1） 且 互异； （2） 中无全零元素的行。

5．运用 MATLAB进行能控性分析 MATLAB提供了计算系统能控性矩阵及求秩运算命令ctrb和rank，其调用格式是 Mc=ctrb (A B ) R=rank(Mc) 运 用 MATLAB 实 现 能 控 性 分 析

4.1.3 线性离散系统的状态能控性 [定义]假设线性时变离散系统的状态方程为 对于任意非零初始状态 ，如果存在容许控制序列 ，能在有限采样点区间 将其转移到状态空间原点，即 ，则称系统在第 步采样是状态能控的。 对于任意的初始采样节点 ，如果系统都是状态能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统状态能控，并记为 能控。 【例】 假设离散系统的状态方程为 其中： 试分析其能控性。

解：系统为对角线规范型，因系统矩阵 的特征值互异，分别为-3、-2、-5和10，控制矩阵 没有全0元素的行，故它是状态能控的。 4.1.4系统的输出能控性 系统的输出能控性指的是输出量能通过输入量实现控制的特性。输出能控性与状态能控性之间无必然因果关系。 1．输出能控性定义 假设系统的动态方程为

返回本章目录 对于任意初始输出 ，如果存在容许控制 ，能在有限时区 将其转移到任意的指定输出 ，则称系统在 时刻 是输出能控的。 对于任意初始输出 ，如果存在容许控制 ，能在有限时区 将其转移到任意的指定输出 ，则称系统在 时刻 是输出能控的。 对于任意的初始时刻 ，如果系统都是输出能控的，则称系统是输出完全能控的。 线性定常系统的输出能控性与初始时刻 无关。 2．线性定常连续系统的输出能控性判据 q输出线性定常连续系统 输出能控的充分必要条件 行满秩，即 。 返回本章目录

4.2 系统的能观测性 4.2.1 线性时变连续系统的能观测性 [定义]假设系统状态方程与输出方程分别为 4.2 系统的能观测性 4.2.1 线性时变连续系统的能观测性 [定义]假设系统状态方程与输出方程分别为 对于任意初始状态 ，如果能根据有限时区 的输出 唯一确定，则称系统在 时刻是状态能观测的。 对于任意的初始时刻 ，如果系统都是状态能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统状态能观测，记为 能观测。 线性定常系统的状态能观测性与初始时刻 无关。 能观测性分析是从输出端考察状态，自然与输入无涉。

[判据1] 线性时变系统 在 时刻状态能观测的充分必要条件是：在有限时区 ， 矩阵 列线性无关或格拉姆矩阵 非奇异。 [判据2]当 和 存在n-1阶的连续导数时，系统 在 时刻状态能观测的充分必要条件是： 系统的能观测性矩阵 列满秩，即

【例】 假设系统的系统矩阵与输出矩阵分别为 试分析能观测性。 解： 系统是状态能观测的

4.2.2 线性定常连续系统的状态能观测性及其MATLAB辅助分析 1．基本判据— 秩判据 线性定常系统 状态能观测的充分必要条件是其能观测性矩阵 列满秩，即 【例】 试分析能观测规范Ⅰ型系统 的状态能观测性，其中

解：系统的能观测性矩阵及其秩分别为 因能观测性矩阵列满秩，故该能观测规范Ⅰ型系统 状态能观测。 【例】 试分析能观测规范Ⅱ型系统 的状态能观测性，其中

解：系统的能观测性矩阵及其秩分别为 因能观测性矩阵列满秩，故该能观测规范Ⅱ型系统 状态能观测。 2．关于能观测规范型的判据 能观测规范Ⅰ型系统 和能观测规范Ⅱ型系统 状态能观测。

3．关于约当规范型的判据 约当规范型系统 状态能观测的充分必要条件是： （1） 中每个约当小块 对应的特征值 互异； （2） 中与每个约当小块 第一列同列的元素不全为零。 【例】 试分析约当规范型系统 的能观测性，其中

解： 系统矩阵 含两个约当小块，即 这两个约当小块对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在观测矩阵 中，与两个约当小块的第一列同列的元素不全为0，故该约当规范型 状态能观测。

运用MALAB实现能观测性分析

4．关于对角线规范型的判据 对角线规范型系统 状态能观测的充分必要条件是： （1） 且 互异； （2） 中无全零元素的列。 5．运用 MATLAB进行能观测性分析 MATLAB提供了计算系统能观测性矩阵的命令obsv，其调用格式是 Mo=obsv (A C )

4.2.3 线性定常离散系统的状态能观测性 与连续系统一样，离散系统的状态能观测性与输入量无关。 与线性定常连续系统类似，线性定常离散系统的状态能观测性与初始采样节点 无关。 线性定常离散系统的状态能观测性定义和判据可从线性定常连续系统直接移植而来。上面线性连续系统的所有能观测性判据均适用于线性定常离散系统。 【例】 假设离散系统的动态方程为 其中： 试分析其能观测性。

解：系统为对角线规范型，因系统矩阵 的特征值互异，分别为-3、-2、-5和10，观测矩阵 没有全0元素的列，故它是状态能观测的。 运用MATLAB实现能观测性分析 返回本章目录

4.3 能控与能观测规范型的实现 4.3.1 能控规范型的实现及其MATLAB编程与计算 1.能控规范Ⅰ型的实现 4.3 能控与能观测规范型的实现 4.3.1 能控规范型的实现及其MATLAB编程与计算 1.能控规范Ⅰ型的实现 对于状态能控的任意单输入单输出线性定常系统 ，经如下线性变换可将其变换为能控规范Ⅰ型 ，即 式中：

是系统矩阵 的特征多项式系数，即 2.能控规范Ⅱ型的实现 对于状态能控的任意单输入单输出线性定常系统 ，经如下线性变换可将其变换为能控规范Ⅱ型 ，即

式中： 【例】 试分析约当规范型系统 的能控性，其中 又当系统状态能控时，将其化为两种能控规范型。 解： （1）能控性分析 因系统矩阵为约当矩阵，有两个约当小块，其对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在控制矩阵 中，与两个约当小块最后一行同行的元素不为0，故该约当规范型 状态能控。

（2）将约当规范型 化为能控规范Ⅰ型 变换矩阵为 进行线性变换，可得

（3）将约当规范型 化为能控规范Ⅱ型 变换矩阵为

3.实现能控规范型的MATLAB编程与计算 进行线性变换，可得 运用 MATLAB将任意状态能控系统转换为能控规范型的一个通用程序的函数名为canon_ctrb，其形参有系数矩阵A、b、C和实现规范Ⅰ型或Ⅱ型运算的选择开关量c1c2。当c1c2=1时，实现的是能控规范Ⅰ型；当c1c2=2时，实现的是能控规范Ⅱ型。程序中新应用的MATLAB命令语句只有poly，它是求多项式系数的命令语句，poly（A）表示求矩阵A的特征多项式系数矩阵。

实 现 能 控 规 范 型 运 算 的 MATLAB 通 用 程 序

MATLAB提供了实现能控规范型的命令语句cannon，其调用格式如下 [ctrb2,Tc2]=canon(ss(A,b,C,D)， 'companion') cannon命令实现的能控规范型是能控规范Ⅱ型，采用的线性变换为 。 因此，变换前后系统的系数矩阵之间的关系为

实 现 能 控 Ⅱ 型 的 MATLAB 过 程 及 数 据 实 现 能 控 Ⅰ 型 的 MATLAB 过 程 及 数 据

4.3.2能观测规范型的实现及其MATLAB编程与计算 1.能观测规范Ⅰ型的实现 对于状态能观测的任意单输入单输出线性定常系统 ，经如下线性 变换可将其变换为能观测规范Ⅰ型 ，即 式中：

2.能观测规范Ⅱ型的实现 对于状态能观测的任意单输入单输出线性定常系统 ，经如下线性 变换可将其变换为能观测规范Ⅱ型系统 ，即 式中：

【例】 试分析约当规范型系统 的能观测性，其中 又当系统状态能观测时，将其化为两种能观测规范型。 解：（1）能观测性分析 因系统矩阵为约当矩阵，有两个约当小块，其对应的特征值互异，分别为-3和-5，又在观测矩阵 中，与两个约当小块的第一列同列的元素不全为0，故该约当规范型 状态能观测。

（2）将约当规范型 化为能观测规范Ⅰ型 变换矩阵为 进行线性变换，可得

（3）将约当规范型 化为能观测规范Ⅱ型 系统的特征多项式为 变换矩阵为

进行线性变换，可得 3.实现能观测规范型的MATLAB编程与计算 将任意状态能观测系统转换为能观测规范型的MATLAB通用程序定义了一个名为canon_obsv的函数，其形参有系数矩阵A、b、C和实现规范Ⅰ型或Ⅱ型运算的选择开关量o1o2。当o1o2=1时，实现的是能观测规范Ⅰ型；当o1o2=2时，实现的是能观测规范Ⅱ型。

实 现 能 观 测 规 范 型 运 算 的 MATLAB 通 用 程 序

实 现 能 观 测 Ⅰ 型 的 MATLAB 过 程 及 数 据

实 现 能 观 测 Ⅱ 型 的 MATLAB 过 程 及 数 据 返回本章目录

4.4 线性定常系统能控性与能观测性在复域[s]中的判据 1．传递函数矩阵 假设系统的状态空间模型为 与此状态空间模型对应的传递函数矩阵为 仿传递函数矩阵的定义，如下定义u -x之间和x -y之间的传递函数矩阵： 显然，以上各个传递函数矩阵的分母多项式相同，均为系统的特征多项式，表明它们具有相同的极点。

2．传递函数矩阵的最小多项式形式 在以矩阵 为根的多项式中，最高次幂系数为1、阶数最小的多项式 称为 的最小多项式。 如果伴随矩阵 的各个元素有最大公因子 ，即 则矩阵 的最小特征多项式为 具有最小特征多项式的传递函数矩阵形式称为传递函数矩阵的最小多项式形式，即

3．状态能控的[s]域判据 如果线性定常系统 是状态能控的，那么其输入到状态的传递函数矩阵的最小多项式形式 没有零点极点相消因子。 4．状态能观测的[s]域判据 如果线性定常系统 是状态能观测的，那么其状态到输出的传递函数矩阵的最小多项式形式 没有零点极点相消因子。

5．状态能控能观测的[s]域判据 如果线性定常系统 是状态能控又能观测的，那么其传递函数矩阵的最小多项式形式 没有零点极点相消因子。 必须指出： （1）对单输入单输出系统来说，以上状态能控和能观测的条件是充分必要条件。而且 的特征多项式就是其最小特征多项式。 （2）对多输入多输出系统来说，以上状态能控和能观测的条件是必要条件而不是充分必要条件。

【例】 某系统的系数矩阵分别为 试分析其能控性和能观测性。 解：系统的传递函数为 因传递函数有一个零点极点相消因子s+1，故该系统不是状态能控又能观测的。 u — x之间的传递函数矩阵为

x — y之间的传递函数矩阵为 因 不含零点极点相消因子，而 含有零点极点相消因子s+1，故该系统是状态能控但不能观测的。 返回本章目录

4.5 对偶系统及对偶性原理 4.5.1 线性定常对偶系统 1. 对偶性 若两个线性定常系统 与 的系数矩阵满足 4.5 对偶系统及对偶性原理 4.5.1 线性定常对偶系统 1. 对偶性 若两个线性定常系统 与 的系数矩阵满足 则称这两个系统互为对偶系统。 由对偶性定义知，能控规范Ⅰ型 系统与能观测规范Ⅱ型 系统互为对偶系统，能控规范Ⅱ型 系统与能观测规范Ⅰ型 系统互为对偶系统。 2.对偶系统的特点 （1）线性定常对偶系统的传递函数矩阵互为转置，即

（2）因矩阵转置并不改变其特征值，故线性定常对偶系统的特征值相同。 （3）对偶系统的状态转移矩阵互为转置，即 3．对偶性原理 若两个系统 与 互为对偶系统，那么 （1） 的状态能控性等价于 的状态能观测性。 （2） 的状态能观测性等价于 的状态能控性。

返回本章目录 4.5.2 线性时变对偶系统 1. 对偶性 线性时变系统 与 互为对偶的条件是： 2.对偶系统的特点 线性时变系统 与 互为对偶的条件是： 2.对偶系统的特点 式中， 是 的状态转移矩阵， 是 的状态转移矩阵。 3．对偶性原理 若两个系统 与 互为对偶系统，那么 （1） 的状态能控性等价于 的状态能观测性。 （2） 的状态能观测性等价于 的状态能控性。 返回本章目录

4.6 线性定常系统能控与能观测结构分解 4.6.1能控与不能控结构分解及其MATLAB辅助计算 分解方法 4.6 线性定常系统能控与能观测结构分解 4.6.1能控与不能控结构分解及其MATLAB辅助计算 分解方法 假设系统是状态不完全能控的，其能控性矩阵的秩为 那么存在非奇异矩阵 ，经线性变换 后，可得 式中：

2.实现能控与不能控结构分解的MATLAB命令 经上述线性变换后，在 维子空间 ， 是状态能控的，而在 维子空间 ， 是状态不能控的。 按能控性结构进行分解后， 变量空间 的动态方程又可分解表示为 由于选取线性变换矩阵 的非唯一性，能控与不能控结构分解的结果不是唯一的。 2.实现能控与不能控结构分解的MATLAB命令 MATLAB提供了实现能控与不能控结构规范分解的命令ctrbf，其调用格式如下： [A_, B_ ,C_ ,Tc,Rc]=ctrbf(A ,B ,C)

【例】 假设系统的动态方程为 试分析状态能控性，若不能控，则进行结构分解，将状态向量分解为能控和不能控两部分。 解：（1）能控性分析 系统状态不完全能控

（2）结构规范分解 从 中取线性无关前3列并以非奇异为准则构造 按 进行线性变换，可得z变量空间的动态方程，即 式中：

其中： 经上述线性变换后，在 维子空间 ， 是状态能控的，亦即 能控，而在 维子空间 ， 是状态不能控的，亦即 不能控。

4.6.2 能观测与不能观测结构分解及其MATLAB辅助计算 分解方法 假设系统是状态不完全能观测的，且 那么存在非奇异矩阵 ，经线性变换 后，可得 式中：

其中： 从 中选取前 个线性无关行向量。 在 维子空间 ， 是状态能观测的，而在 维子空间 ， 是状态不能观测的。 按能观测性结构进行分解后， 变量空间 的动态方程又可分解表示为 由于选取线性变换矩阵 的非唯一性，能观测与不能观测结构分解的结果不是唯一的。

2.实现能观测与不能观测结构分解的MATLAB命令 MATLAB提供了实现能观测与不能观测结构规范分解的命令obsvf，其调用格式是 [A_ ,B_ ,C_ ,To,Ro]=obsvf(A ,B ,C) 试分析系统的状态能观测性，若不能观测，则进行结构分解，将状态向量分解为能观测和不能观测两部分。 解：（1）能观测性分析 【例】 假设系统的动态方程为

系统状态不完全能观测 （2）结构规范分解 从 中取线性无关前2行并以非奇异为准则构造

按 进行线性变换，可得z变量空间的动态方程，即 式中：

其中： 在 维子空间 ， 是状态能观测的，亦即 能观测，而在 维子空间 ， 是状态不能观测的，亦即 不能观测。

4.6.3 能控性与能观测性结构综合分解 对于既不完全能控也不完全能观测的系统，可分3步进行结构分解。 第1步：按能控性结构进行分解，将状态空间分解为能控和不能控两个子空间。 第2步：对能控子空间按能观测性结构进行分解。 第3步：对不能控子空间按能观测性进行结构分解。 当然，也可先按能观测性进行结构分解，再对能观测与不能观测两个子空间分别按能控性进行结构分解。 【例】 某线性定常连续系统的动态方程为 试分析系统的能控性和能观测性，若不能控和不能观测，则进行结构分解。

解：（1）能控性和能观测性分析 系统能控性和能观测性矩阵分别为 系统状态既不完全能控也不完全能观测 （2）能控与不能控结构分解 从 中取线性无关前2列并以非奇异为准则构造

按 进行线性变换，可得 变量状态空间模型 令

（3）将能控子空间分解为能观测与不能观测两子空间 在能控子空间，能观测性矩阵为 只有一个状态变量能观测 从 中取第1行并以非奇异为准则构造 令

w1既能控又能观测，w2能控但不能观测。 （4）将不能控子空间分解为能观测与不能观测两子空间 在不能控子空间，能观测性矩阵为 只有一个状态变量能观测 从 中取第1行并以非奇异为准则构造 令

返回本章目录 是不能控但能观测的，而 是既不能控又不能观测的。 其中， 既能控又能观测， 能控但不能观测， 不能控但 是不能控但能观测的，而 是既不能控又不能观测的。 其中， 既能控又能观测， 能控但不能观测， 不能控但 能观测， 既不能控也不能观测。 返回本章目录

第五章 线性定常控制系统的综合 5.1 反馈控制系统的基本概念 5.2 以实现期望极点为目标的系统综合 第五章 线性定常控制系统的综合 5.1 反馈控制系统的基本概念 5.2 以实现期望极点为目标的系统综合 5.3 以实现系统镇定为目标的系统综合 5.4 以实现解耦控制为目标的系统综合 5.5 状态重构控制系统 返回总目录

控制系统的功能是控制输出量，使之保持不变或按预定的方式变化。为保证这一功能的实现，首先它必须是稳定的，其次应具有较快的响应速度和较高的稳态响应精度。 对于给定的控制系统，欲知道其动态品质和稳态性能，就必须进行量化分析。系统分析是控制理论研究的一项重要内容。 经过系统分析，若发现系统的某些性能不满足指标要求，就需要通过调整结构参数或以某种方式加入一些新元件来改变系统的参数或结构，以改善系统性能，使之达到所需要的指标要求。这便是系统综合。系统综合是控制理论研究的另一项重要内容。 常见的系统综合问题有以下几种： （1）极点配置控制问题 （2）解耦控制问题 （3）镇定控制问题 （4）状态重构控制问题 （5）最优控制问题

5.1 反馈控制系统的基本概念 反馈控制系统有状态反馈和输出反馈两种结构形式。 5.1.1 状态反馈控制系统 将状态信号引出来、经某种变换作用后传输到输入端、从而改变控制作用和系统特性的反馈称为状态反馈。

状态反馈的本质是改变了控制作用。欲得到特定的控制作用，只须选取恰当的矩阵 1 状态反馈前后系统的数学模型比较 系统状态方程和输出方程及传递函数矩阵分别为 引入状态反馈 为状态反馈增益矩阵 对于单输入系统 对于p输入系统 状态反馈的本质是改变了控制作用。欲得到特定的控制作用，只须选取恰当的矩阵

2 状态反馈对系统特性的影响 （1） 状态反馈不改变系统能控性 考虑到状态能控系统可化为能控规范型，为使问题简单化，假设原控制系统为能控规范Ⅰ型，其系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵及其对应的传递函数分别为

（2） 状态反馈可改变系统极点，但不改变系统零点 状态反馈系统 仍为能控规范Ⅰ型 状态反馈不改变系统的能控性 （2） 状态反馈可改变系统极点，但不改变系统零点 状态反馈系统的传递函数 经状态反馈后，传递函数的分母多项式变化了，而分子多项式没有变化。 状态反馈可改变系统极点，但不改变系统零点。

（3） 状态反馈有可能改变系统能观测性 在以下两种情况下，状态反馈可改变系统能观测性。 10）状态反馈系统的极点等于系统零点 因状态反馈可改变系统极点而不改变系统零点，如果状态反馈后反馈系统的极点等于系统零点，那么传递函数就会含有零点极点相消因子。这将导致系统不能观测。 含顺馈作用的状态反馈控制系统结构图

20）包含顺馈作用的系统，经状态反馈后，输出方程变为 如果状态反馈增益矩阵 的选取 使 ，则输出量蜕化为 ， 与状态不发生任何关系。于是系统状态就不能观测了。 （4） 状态反馈可改变系统稳定性 系统极点决定着系统的稳定性。状态反馈既然可改变系统极点，自然也就可改变系统的稳定性。

5.1.2 输出反馈控制系统 输出反馈有两种结构形式，一是从输出端到状态导数的反馈形式，二是从输出端到输入端的反馈形式。 1 从输出端到状态导数的反馈 这种反馈控制是将输出信号引出来、经某种变换作用后传输到状态导数处、从而改变系统特性的一种反馈。

反馈系统的状态方程和输出方程及传递函数矩阵分别为 输出反馈增益矩阵 （单输出） （q输出） 经输出反馈后，系统的输入矩阵和输出矩阵没有改变，而系统矩阵由反馈前的 变为 。欲得到期望的特征值和控制特性，只须选取恰当的输出反馈增益矩阵 。

2 从输出端到输入端的反馈 这种反馈是将输出信号引出来、经某种变换作用后传输到输入端、从而改变系统特性的一种反馈。 反馈系统的状态方程和输出方程及传递函数矩阵分别为

返回本章目录 经输出反馈后，系统的输入矩阵和输出矩阵没有改变，而系统矩阵由反馈前的 变为 。 经输出反馈后，系统的输入矩阵和输出矩阵没有改变，而系统矩阵由反馈前的 变为 。 经输出反馈后，系统的实际控制量是原输入量和状态变量的线性组合，即 与状态反馈类似，从输出端到输入端反馈的本质是改变了控制作用。 与状态反馈相比，这种输出反馈的适应性差，一般须附加动态补偿器。 返回本章目录

5.2 以实现期望极点为目标的系统综合 5.2.1 单输入状态反馈控制系统极点配置及其MATLAB辅助计算 5.2 以实现期望极点为目标的系统综合 极点配置问题追求的目标是把系统极点配置到期望极点 5.2.1 单输入状态反馈控制系统极点配置及其MATLAB辅助计算 [定理] 单输入系统的动态方程为 通过状态反馈可任意配置系统极点的充分必要条件是：原控制系统 状态能控。

1 状态反馈系统的期望极点 期望极点以满足给定的性能指标要求为准确定，确定期望极点的基本原则如下： ①n阶系统须配置n个期望极点。 ②为便于物理上实现，状态反馈增益矩阵K应为实常数矩阵。为此，期望极点可以是实数也可以是复数，但若为复数，必须共轭成对配置。 ③配置期望极点时必须考虑系统零点。特别在配置闭环主导期望极点时，不能将它配置在零点附近，以免其作用被零点抵消。 ④期望极点不能与原控制系统极点差别过大，以避免反馈矩阵 的元素值过大、引起信号瞬态畸变和增大噪声。

2 状态反馈增益矩阵 的确定方法 确定状态反馈增益矩阵K的步骤： （1）根据系统期望极点计算期望特征多项式 。 （2）计算状态反馈系统的特征多项式 。 （3）由 = 确定K。 状态反馈增益矩阵K还可运用MATLAB来计算。MATLAB提供了计算K的命令语句place和acker，其调用格式是 K=place(A，b，P)或 K=acker(A，b，P) acker命令只适用于单输入问题，place命令既适用于单输入问题，也适用于多输入问题。

【例】 假设系统的状态空间模型为 试设计一个状态反馈系统，将系统的极点配置为 解： （1） 因 ， ，所以系统状态能控，可任意配置极点。

（2） 状 态 反 馈 控 制 系 统 结 构 图

（3）运用MATLAB计算状态反馈增益矩阵

5.2.2 多输入状态反馈控制系统的极点配置方法 对于p输入系统 输入矩阵 p输入反馈矩阵 问题化为单输入反馈矩阵 问题的方法 5.2.2 多输入状态反馈控制系统的极点配置方法 对于p输入系统 输入矩阵 p输入反馈矩阵 问题化为单输入反馈矩阵 问题的方法 p输入状态反馈系统的特征多项式为 与单输入系统特征多项式完全相同。这表明当取 、 时，多输入系统求 问题可化为单输入系统求 问题。

5.2.3 输出反馈控制系统极点配置及其MATLAB辅助计算 1 从输出端到状态导数的反馈控制系统极点配置方法 [定理] 从输出端到状态导数的反馈可任意配置极点的充分必要条件是：原控制系统 状态能观测。 输出反馈增益矩阵 的计算方法与前述状态反馈增益矩阵 的计算方法完全类似，即： （1）根据系统期望极点计算期望特征多项式 。 （2）计算输出反馈系统的特征多项式 。 （3）由 确定G。 输出反馈增益矩阵G还可运用MATLAB来计算，其命令语句仍为acker和place。由对偶性原理可得 G=place(A'，C'，P)' 或 G=acker(A'，C'，P) '

【例】 假设系统的状态空间模型为 设计一个输出反馈闭环系统，使输出反馈系统具有状态反馈系统的功能。 解：（1） 系统状态能观测，故可任意配置极点。 （2） 输出反馈增益矩阵

输 出 反 馈 控 制 系 统 结 构 图

（3）运用MATLAB计算输出反馈增益矩阵

2 从输出端到输入端的反馈控制系统的极点配置 从输出端到输入端的反馈控制系统的特征多项式为 在这种情况下，无论怎样选择输出反馈增益矩阵 ，都不能通过纯线性反馈实现极点的任意配置。欲任意配置极点，除了原控制系统 状态能观测以外，还须附加一个动态补偿器。 返回本章目录

5.3 以实现系统镇定为目标的系统综合 [定义]若通过信号反馈能使控制系统稳定，则称该系统是可镇定的。系统镇定综合就是把不稳定系统改造成稳定系统。 因线性系统全局渐近稳定的充分必要条件是所有极点都在复平面的左半部，所以欲实现系统镇定只须使系统所有极点为负数或者实部为负。显然，稳定系统就是镇定系统，对于不稳定系统，只要通过某种反馈把所有正数极点和实部为正的极点转移到复平面的左半部即可。 [定理1]通过状态反馈使线性定常系统镇定的充分必要条件是：原控制系统不能控子空间是渐近稳定的。

只要系统状态能控，就可通过状态反馈任意配置极点。因此，状态能控系统必定是可镇定系统。对于状态不完全能控系统，可以通过线性变换将状态空间分解成能控和不能控两个子空间。因线性变换不改变系统的特征值，所以当不能控子空间渐近稳定时，实部为正的极点一定分布在状态能控子空间。于是，通过状态反馈定可将其转移到复平面的左半部，实现系统镇定。 [定理2]通过输出端到状态导数的反馈使线性定常系统镇定的充分必要条件是：原控制系统不能观测子空间是渐近稳定的。 只要系统状态能观测，就可通过输出端至状态导数的输出反馈任意配置极点。因此，状态能观测系统必定是可镇定系统。对于状态不完全能观测系统，可以通过线性变换将状态空间分解成能观测和不能观测两个子空间。因线性变换不改变系统的特征值，所以当不能观测子空间渐近稳定时，实部为正的极点一定分布在状态能观测子空间。于是，通过输出反馈定可将其转移到复平面的左半部，实现系统镇定。

【例】 假设系统的动态方程为 试问能否通过状态反馈使系统镇定？若通过状态反馈能使系统镇定，试设计一个状态反馈镇定系统。 解：1） 系统矩阵的特征值显然有正实数 ， 和负实数 ，故系统不稳定。 2） 系统状态不完全能控

（1）将状态空间分解为能控与不能控两个子空间 令 （能控子空间） （不能控子空间）

（2）子空间稳定性分析 位于能控子空间的特征值为 ， ；位于不能控子空间的特征值为 。因两个正实数特征值都位于能控子空间，故通过状态反馈可把它们变为负数或实部为负的共轭复数，从而实现系统稳定。因此，通过状态反馈能使该系统镇定。 3）状态反馈镇定系统设计 （1）状态反馈增益矩阵

（2）状态反馈镇定系统模型

（a）原系统 （b）状态反馈镇定系统 返回本章目录

5.4 以实现解耦控制为目标的系统综合 5.4.1补偿器解耦 解耦综合追求的目标是把多输入多输出系统的各个输入量和输出量分解成一一对应关系，使系统的传递函数矩阵成为对角线矩阵。 5.4.1补偿器解耦 补偿器解耦是通过引入补偿器和输出反馈来实现的

假定原控制系统的输入输出关系为 引入补偿器与输出反馈 等式两边左乘 ，可得 合并同类项并提取公因子，可得 补偿器的传递函数矩阵为

【例】 某系统的动态方程为 试设计一个带补偿器的解耦系统，使解耦系统的极点为0。 解： 解耦系统的传递函数矩阵 补偿器的传递函数矩阵

补偿器解耦控制系统结构图

5.4.2 状态反馈解耦 状态反馈解耦是通过引入状态反馈和输入变换来实现的 假定原系统 的传递函数矩阵为 假定原系统 的传递函数矩阵为 引入状态反馈和输入变换后，系统的状态方程和传递函数矩阵变为

[定理]采用状态反馈能使原 解耦的充分必要条件是矩阵 非奇异。 选取恰当的矩阵K和F。 （ ）维 （ ）维 为输出矩阵 的第i行； 等于使 不等于0的最小k值 。 当 时， 。 [定理]采用状态反馈能使原 解耦的充分必要条件是矩阵 非奇异。

5.4.3实现状态反馈解耦控制计算的MATLAB编程与计算

【例】 某系统的动态方程为 试设计一个状态反馈解耦系统。 解：

引入状态反馈和输入变换后，系统的传递函数矩阵变为 解 耦 控 制 系 统 结 构 图

运用MATLAB实现解耦运算 返回本章目录

5.5 状态重构控制系统 5.5.1 全维状态重构器及其MATLAB辅助设计 5.5 状态重构控制系统 状态重构是为解决无法引出状态信号问题而提出的。状态重构是通过引入状态重构器（也称状态观测器）而实现的。状态重构器有全维和降维两种形式。 5.5.1 全维状态重构器及其MATLAB辅助设计 全维状态重构器是这样一种重构器，就物理模型而言，无论是结构还是类型，重构器与原控制系统完全不同，可按相似原理用机械系统重构电气系统或用电气系统重构机械系统，可用一个简单微小型物理系统重构一个复杂大型物理系统。就数学模型而言，重构器与原控制系统一致。 设计状态重构器的关键是使重构器状态趋近于真实状态。显然并不是把两个具有相同数学模型的系统简单结合到一起就能实现状态重构，还必须采用输出反馈方式把它们以恰当方式耦合在一起。

1．状态重构器的数学模型 全维状态重构器系统的数学模型为 或 全维状态重构器系统是2n维系统

2．输出误差反馈矩阵 输出误差反馈矩阵 应使重构状态按工程需要的速度趋近真实状态，即应使 或 方程的解 为使各重构状态变量趋于真实状态变量所需的时间大致相当， 的特征值一般选为重特征值。 [定理]若线性定常系统 状态能观测，则只要适当选择输出误差反馈矩阵 ， 使状态重构器的极点为负数或实部为负，就能使重构状态误差趋于0。

（1）确定状态重构器的期望极点并计算其期望特征多项式 。 （2）计算 的特征多项式 。 （3）由 确定G。 确定输出误差反馈矩阵 的步骤如下： （1）确定状态重构器的期望极点并计算其期望特征多项式 。 （2）计算 的特征多项式 。 （3）由 确定G。 输出误差反馈矩阵G还可运用MATLAB来计算，其命令语句还是acker和place，调用格式是 G=acker(A'，C'，L) ' 【例】 假设控制系统的动态方程为 试设计一个全维状态重构器系统，使状态重构器的极点为 ，并求重构状态随真实状态变化的规律。

（1） 系统状态能观测 带 全 维 状 态 重 构 器 的 系 统 结 图

（2）输出误差反馈矩阵

运用MATLAB求解重构器问题

（3）重构状态误差 重构状态随系统状态变化的规律 显然

5.5.2 带全维状态重构器的状态反馈系统及其MATLAB辅助设计 状态重构解决了无法引出状态信号的问题，引入状态重构器的目的，自然是为了实现状态反馈。 根据前面的分析，只要重构器极点为负数或实部为负，当时间足够大时，重构状态 必将逼近真实状态 ，即当 时， 。于是就可用重构状态 作为反馈信号，实现状态反馈，达到系统综合目的。

1．带全维状态重构器的状态反馈系统的设计原则 系统的状态方程为 系统的输出方程为 取 ， 进行正交线性变换，即令

由于线性变换不改变系统的特征值，所以系统的特征值方程为 状态反馈系统的特征值方程 全维状态重构器的特征值方程 二者之间没有任何关联。这个性质称为特征值的分离性质。据此，对于能控能观测控制系统 ，带全维状态重构器的状态反馈系统的设计原则是： （1）按照重构器的特征值指标要求确定输出误差反馈矩阵 。 （2）按照状态反馈的指标要求确定状态反馈增益矩阵 。

2．带全维状态重构器的状态反馈系统的能控性 带全维状态重构器的状态反馈系统的能控性矩阵为 矩阵的秩是n，这表明有n个状态变量不能控。事实上，不能控的状态正是重构状态 。 3．实现带全维状态重构器的状态反馈系统设计计算的MATLAB编程与计算

【例】 假设控制系统的动态方程为 试设计一个带全维状态重构器的状态反馈系统，使状态反馈系统在稳定工作时的极点为 ， ，重构状态误差以 （m为实常数）的线性组合方式变化。 解： 带全维重构器状态反馈系统的MATLAB设计计算

带 全 维 状 态 重 构 器 的 反 馈 系 统

5.5.3 降维状态重构器及其MATLAB辅助设计 全维状态重构器需要n个积分器，结构复杂，经济性不好。有没有办法简化呢？事实上，大多数系统的输出量本身就是状态变量，有些系统的输出量虽可能不等于状态变量，但状态是可观测的，因此，完全可以利用输出量构造状态变量，从而降低重构器的维数。 输出系统，仅用输出量就可构造 个状态变量，从而可减少 个积分器。降维状态重构器的意义正在于此。 1．降维状态重构器设计方法 假设系统的动态方程为

经线性变换后，在z变量空间，系统的状态方程和输出方程分别为

重构状态方程和重构状态误差方程分别为 维子系统状态重构器结构图

欲使重构状态误差 ，只须使 的特征值（称为降维状态重构器的极点）为负数或实部为负。 经移项得 引入新的状态向量

当反馈矩阵 以 的特征值为负数或实部为负确定后， 可由输出量和输入量构造。一旦确定了 ， 的重构状态立即可定，即 的重构状态为 的重构状态应为 的后 个重构状态变量是由输出构造的，只有其余 个是需要独立构造的。这完全达到了设计降维重构器的目的。显然，输出量越多，需要独立重构的状态就越少，因而重构器的结构就越简单，经济性越好。

2．实现带降维状态重构器的状态反馈系统设计计算的MATLAB编程与计算

【例】 假设控制系统的动态方程为 试设计一个带降维状态重构器的状态反馈系统，使状态反馈系统在稳定工作时的极点为 ， ，重构状态误差以 （m为实常数）的线性组合方式变化。 解： （1）系统是能控又能观测的 （2）确定线性变换矩阵 因 ，故按非奇异原则取 （3）

（4） （5） （6） 的重构状态为 与全维状态重构器反馈系统相比，降维状态重构器反馈系统的积分器减少了一个

带 降 维 状 态 重 构 器 的 反 馈 系 统

运用MATLAB实现降维状态重构器设计 返回本章目录

第六章 最优控制 6.1 泛函及其变分法简介 6.2 最优控制及其变分解法 6.3 线性二次型最优控制 6.4 极小值原理 第六章 最优控制 6.1 泛函及其变分法简介 6.2 最优控制及其变分解法 6.3 线性二次型最优控制 6.4 极小值原理 6.5 离散系统的最优控制 6.6 动态规划法 返回总目录

最优控制指的是在满足约束条件和边界条件的情况下、能使系统评价指标最小化(或最大化)的控制。 最优控制的评价指标一般是控制向量 和状态向量 的函数，称为泛函数，简称泛函，表征能量消耗、时间耗费、瞬态或稳态误差等。 最优控制的约束条件是对评价指标最小（或最大）化过程提出的一些限制条件，例如限制控制本身的条件、限制系统工作过程的条件等。 最优控制的边界条件是限制始端时间和状态、终端时间和状态的条件。

６.1 泛函及其变分法简介 1．泛函定义 假设 是给定的同一类函数， 是实数集合，如果对于 中的每一个函数 ，在 中有一个变量 按照一定的规律与之对应，则 为依赖于函数 变化的函数，称为 的泛函，记作 ， 称为泛函 的宗量，类函数 称为泛函的定义域，定义域内的所有函数 称为容许函数。 （1）线性泛函 具有可叠加性与齐次性的泛函称为线性泛函，即 1o ） （可叠加性） 2o ） （齐次性 ） （2）二次型泛函 具有下列特性的泛函称为二次型泛函： 1o ） 2o ）

2．宗量变分 宗量函数 与另一宗量函数 之差称为宗量 在 上的变分，记为 ，即 函数变分 与函数增量 是两个完全不同的概念。当t固定时， 是两个函数值 与 之差，而 是函数 自己在t处由其自变量增量 产生的增量，即 3.泛函 的变分 如果由宗量变分 引起的泛函增量可表示成 其中， 与 成线性关系， 是 的高阶无穷小，即

则 是泛函增量的线性主部，称为泛函 在 上由宗量变分 所引起的变分，记作 ，并且 4.泛函 的极值 若宗量 与邻近的任一容许宗量 上的泛函值满足 则称泛函 在 上取得极小值， 称为极值函数，其变化曲线称为极值轨线。 泛函在 上存在极值的必要条件是： 称为逗留函数或平稳函数， 称为驻值或平稳值。

5.泛函变分规则 （1）两泛函 与 线性和的变分 （2）两泛函 与 乘积的变分 （3）两泛函 与 商的变分 （4）泛函导数的变分 （5）泛函积分的变分

（6） 多宗量泛函及其变分 拥有两个以上宗量的泛函称为多宗量泛函，例如 等均为多宗量泛函。 多宗量泛函的变分为 返回本章目录

6.2 最优控制及其变分解法 6.2.1数学模型 常见最优控制问题的一般数学描述为: 已知系统的状态方程 求最优控制 ，使目标泛函满足 6.2 最优控制及其变分解法 6.2.1数学模型 常见最优控制问题的一般数学描述为: 已知系统的状态方程 求最优控制 ，使目标泛函满足 s.t.

1．目标泛函 称为目标泛函，表征最优控制评价指标，有以下几种类型： （1）积分型或拉格朗日(Lagrange)型 称为拉格朗日函数，是系统动态过程评价指标，反映对系统能量消耗和瞬态误差等的最小化要求。 （2）终值型或迈耶耳（Mayer）型 是系统终端评价指标，反映对终端状态偏差和时间的最小化要求。 （3）综合型或波尔札（Bolza）型 体现了对终端状态偏差和时间及系统动态过程的综合要求。

2．边界条件 是对初始状态 和时间 提出的限制条件，该条件要求 和 必须在由向量方程 确定的超曲面交集上。 是对终端状态 和时间 提出的限制条件，该条件要求 和 必须在由向量方程 确定的超曲面交集上。

6.2.2 求解最优控制问题的变分法—拉格朗日乘子法 在满足边界条件的前提下，在所有容许控制 中，求能把系统从某个初始状态 转移到某个终端状态 且目标泛函 取得最小值的控制 ，使得 除了边界条件以外，有些最优控制问题还有其它一些约束条件，对系统动态过程进行限制，要求系统状态 和控制 必须位于由一些等式所确定的交集上和由一些不等式所确定的区域内。 3．最优轨线 在最优控制 的作用下，系统状态的运动轨迹称为最优轨线。 6.2.2 求解最优控制问题的变分法—拉格朗日乘子法 将状态方程化为 并引入n维待定函数向量 ，对 引入与其同维的待定常数向量 ，对 引入与其同维的待定常数向量 ，构造增广泛函

约束泛函极值问题就转化为增广泛函的无约束极值问题 引进哈密尔顿（Humilton）函数

控制方程　　 状态方程 协态方程 横截（或贯截）条件

边界条件 （1）对于线性系统 当拉格朗日函数不显含 时 协态方程伴随状态方程而存在，因此，该方程也称为伴随方程，与之相对应，n维函数向量 称为协态向量或伴随向量。 状态方程和协态方程统称为哈密尔顿正则方程。

（2） 横截（或贯截）条件是系统状态轨线穿过由始端和终端约束条件确定的超曲面边界时必须满足的条件。 （3）正则方程为 维方程，解方程后有 个待定常数，加上 和 以及待定常数向量 和 ，共有 个未知量。横截条件有 个方程，边界条件有 个方程，合起来也是 方程，正好满足正则方程定解条件。 （4）严格地讲，只有当泛函的二阶变分 时才能确认是极小值。而且即便就是极小值，也不一定就是最小值。不过，最优控制问题性质使然，满足 的极值一般就是最小值。 【例】 假设系统的状态方程为 试求把系统从状态 转移到边界 上且使目标泛函 取得最小值的控制

解： 系统的哈密尔顿函数为 系统的哈密尔顿正则方程为 控制方程为 1）解协态方程

2）解控制方程 3）解状态方程

（1）自由运动分量 （2）受控运动分量

（3）状态向量 4）确定系数 （1）横截条件 令 横截条件为

（2）边界条件 5）解集 （1）状态向量 最 优 轨 线 的 变 化 曲

（2）协态向量 （3）最优控制 （4）目标泛函值 返回本章目录

6.3 线性二次型最优控制 6.3.1 线性二次型最优控制的目标泛函 6.3 线性二次型最优控制 系统是线性的而目标泛函是二次型泛函的最优控制称为线性二次型最优控制，其特点是最优控制可通过状态反馈来构造，只要系统状态能控和能观测，最优控制必定存在且最优控制系统必定是稳定的而不论原系统是否稳定。 6.3.1 线性二次型最优控制的目标泛函 目标泛函是系统评价指标的数学表达式，最优控制追求目标不同，目标泛函也不同，最常见的二次型问题的目标泛函有以下几种类型。 1．实现跟踪输出的目标泛函 以实现系统实际输出 跟踪理想输出 为追求目标的最优控制问题称为输出跟踪问题，其目标泛函的一般形式为 （1）目标泛函的第一项指标 反映对终端输出误差的最小化要求，其中， 为终端输出误差加权系数矩阵，其元素的大小标志着各终端输出误差分量在性能指标中所占的权重。

（2）第一项积分 反映对动态输出误差的最小化要求，其中, 为动态输出误差加权函数矩阵，其元素的大小标志着各动态输出误差分量在性能指标中所占的权重。 （3）第二项积分 反映对能量的最小化要求，其中， 为动态控制加权函数矩阵，其元素的大小标志着与各控制量对应的能量消耗在性能指标中所占的权重。 （4） 、 和 三者之间的相对大小，反映了终端输出误差、动态输出误差和动态能量消耗三者间的相对重要性。 （5） 随时间变化的相对大小反映了动态输出误差在不同时间上的相对重要性。同理， 随时间变化的相对大小反映了动态能量消耗在不同时间上的相对重要性。 以实现快速跟踪为最优控制目标的控制器称为跟踪器。 2．实现调节输出的目标泛函 以实现零输出（即理想输出 ）为追求目标的最优控制问题称为输出调节问题，其目标泛函的一般形式为

以实现快速调节输出为最优控制目标的控制器称为输出调节器。 3．实现调节状态的目标泛函 以实现平衡状态为追求目标的最优控制问题称为状态调节问题，其目标泛函的一般形式为 反映对终端状态误差的最小化要求； 反映对动态状态误差的最小化要求； 反映对能量的最小化要求。 以实现快速调节状态为最优控制目标的控制器称为状态调节器。 调节问题依终端时间 的大小分为有限时间和无限时间两类，当 为有限值时，称为有限时间调节问题，当 时，称为无限时间调节问题。 为便于数学处理，二次型最优控制的加权矩阵 、 和 一般取为对角线矩阵。

6.3.2 状态调节器及其MATLAB辅助设计 6.3.2.1有限时间状态调节器 1．数学模型 给定线性时变系统动态方程 又给定终端状态误差加权矩阵 和动态状态误差加权矩阵 、动态控制加权矩阵 及初始状态 ，求在有限时区 使目标泛函 取得最小值的控制，旨在把系统状态从 快速调节到平衡状态。 2．状态调节器的设计原理 有限时间状态调节器问题是一个始端给定，终端时间给定的最优控制问题。 哈密尔顿函数

控制方程 状态方程 伴随方程 横截条件 对于大多数实际线性时变系统，计算状态转移矩阵原本就比较困难，计算上式的矩阵指数函数就更为困难，因此直接求解该方程比较困难。

只要系统状态能控，最优控制可通过状态反馈来构造。 对式 求一阶导数 左边 =右边 黎卡提矩阵微分方程

黎卡提矩阵微分方程是一个非线性微分方程，尽管其解是唯一的正定对称矩阵，但通常不能求得解析解，只能用计算机求其数值解。由于边界条件在终端处，所以求解过程须从终端时间开始到初始时间为止逆向进行。因此，黎卡提矩阵微分方程求解运算不能与最优控制运算同步进行，必须事先完成并存入计算机。之后，再按顺向时间进行最优控制运算。 最小目标泛函值

最小目标泛函值为 状态调节器系统是稳定的，判定系统稳定的李雅普诺夫V函数为 。 有限时间状态调节器系统结构图 3．设计步骤 （1）检验系统 的能控性 （2）确定加权矩阵 、 和 （3）求解黎卡提矩阵微分方程

（4）求解调节器系统状态方程 （5）求最优控制 （6）求最小目标泛函值 （7）对计算结果进行评价，若不满意，重选 、 和 并重新计算，直到满意为止。 6.3.2.2 线性定常无限时间状态调节器 1．数学模型 对于线性定常系统， 的状态调节问题的数学描述如下： 给定系统状态方程

求在时区 使目标泛函 取得最小值的控制，旨在把系统状态从 快速调节到平衡状态。 2．设计方法 无限时间状态调节器的设计方法可从有限时间状态调节器的设计方法移植而来。具体设计步骤如下： （1）检验系统 的能控性 （2）确定动态状态误差加权矩阵 、动态控制加权矩阵 （3）求解黎卡提代数方程 （4）求解调节器系统状态方程

（5）求最优控制 （6）求最小目标泛函值 （7）对计算结果进行评价，若不满意，重选 和 并重新计算，直到满意为止。 3．实现调节器设计的MATLAB编程与计算 运用MATLAB实现调节器设计计算的一个通用程序列兼有实现状态调节器设计计算与输出调节器设计计算双重功能，当开关量s1o2=1时，实现状态调节器设计计算，当s1o2=2时，实现输出调节器设计计算。

实 现 调 节 器 设 计 算 的 MATLAB 通 用 程 序

【例】 假设系统的动态方程为 试设计一个使目标泛函 取得最小值的无限时间状态调节器，以便把系统状态从 快速调节到平衡状态。 解：因 的特征值为+2和-1，故原系统不稳定。 （1）系统能控性 能控性矩阵为 系统状态能控 （2）选择加权矩阵 R=1

（3）解黎卡提矩阵方程 （4）求解调节器系统状态方程 解该方程，可得 （5）求最优控制

（6）输出量 （7）最小目标泛函值 （8）状态调节器系统结构图

（9）MATLAB辅助设计 >> A=[0 2;1 1];b=[1;0];C=[0 1];D=0;x0=[2;1]; >> Q=[5 0;0 0];R=1;tmax=10;s1o2=1; >>[u,x,y,Jmin,K,P,E] =LQ_adjustor( A,b,C,D,R,Q,x0,tmax,s1o2) u = -20/exp(3*t) x = 8/exp(3*t) - 6/exp(t) 3/exp(t) - 2/exp(3*t) y = Jmin = 45.0000 K = 5.0000 10.0000 P = 10.0000 30.0000 E = -3.0000 -1.0000

状态变量变化曲线 （a）x1 (t) （b）x2 (t) 输出量变化曲线 最优轨线

6.3.3 输出调节器 6.3.3.1有限时间输出调节器 有限时间输出调节问题的数学描述如下： 给定线性时变系统动态方程 又给定终端输出误差加权矩阵 和动态输出误差加权矩阵 、动态控制加权矩阵 及初始状态 ，求在有限时区 使目标泛函 取得最小值的控制，旨在把系统输出快速调节到0。

将输出方程代入目标泛函，可得 有限时间输出调节器的设计步骤如下： （1）检验系统 的能观测性 （2）确定加权矩阵 、 和 （3）求解黎卡提矩阵微分方程 （4）求解调节器系统状态方程

（5）求最优控制 （6）计算最小目标泛函值 （7）计算输出量 （8）对计算结果进行评价，若不满意，重选 、 和 并重新计算，直到满意为止。

6.3.3.2 线性定常无限时间输出调节器 线性定常系统的动态方程为 的输出调节问题的目标泛函为 将线性时变系统输出调节器设计方法和线性定常系统状态调节器设计方法移植过来，可建立线性定常系统输出调节器设计方法，即： （1）检验系统 的能观测性 （2）确定动态输出误差加权矩阵 、动态控制加权矩阵 （3）求解黎卡提代数方程

（4）求解调节器系统状态方程 （5）求最优控制 （6）求最小目标泛函值 （7）求输出量 （8）对计算结果进行评价，若不满意，重选 和 并重新计算，直到满意为止。

【例】 假设系统的动态方程为 设计一个输出调节器。 解：（1）系统能观测性 ，系统状态能观测 （2）选择加权系数 预选动态输出误差加权系数Q=5，动态控制加权系数R=1。 （3）解黎卡提矩阵方程

（4）求状态反馈矩阵 （5）求最优控制 （6）最小目标泛函值 （7）输出调节器系统结构图

（8）MATLAB辅助计算 输出量变化曲线

6.3.4输出跟踪器及其MATLAB辅助设计 最优跟踪问题的控制目标是使实际输出 快速跟踪理想输出 。 6.3.4.1线性时变系统输出跟踪器 1. 数学模型 线性时变系统跟踪问题的数学描述如下： 给定线性时变系统动态方程 又给定终端输出误差加权矩阵 和动态输出误差加权矩阵 、动态控制加权矩阵 及理想输出 和初始状态 ，求在有限时区 使目标泛函 取得最小值的控制，以使实际输出 尽可能逼近理想输出 。

2. 输出跟踪器设计原理 这是一个始端给定，终端时间给定的最优控制问题。 哈密尔顿函数 控制方程

状态方程 伴随方程 横截条件 状态反馈矩阵

最优控制 状态方程 最优跟踪器系统结构图

3．设计步骤 （1）检验系统 的能观测性 （2）确定加权矩阵 、 和 （3）求解黎卡提矩阵微分方程 （4）求解 子模块微分方程 （5）求解跟踪器系统状态方程

（6）求最优控制 （7）计算输出量 （8）求动态输出误差和终端输出误差值 （9）对计算结果进行评价，若不满意，重选 、 和 并重新计算，直到满意为止。 6.3.4.2线性定常系统输出跟踪器 对于线性定常系统，其动态方程为

最优跟踪问题的目标泛函为 如果理想输出是常数向量 且终端时间 足够大，根据线性时变系统输出跟踪器建构方法并仿照线性定常系统调节器的设计方法，可建立线性定常系统跟踪器的设计方法，即： （1）检验系统 的能观测性 （2）确定加权矩阵 、 和理想输出 （3）求解黎卡提代数方程 （4）求解 子模块微分方程 因当 时， ， ，故 子模块微分方程的近似解为

（5）求解跟踪器系统状态方程 （6）求最优控制 （7）求输出量 （8）求动态输出误差和终端输出误差 （9）对计算结果进行评价，若不满意，重选 和 并重新计算，直到满意为止。

实 现 输 出 跟 踪 器 设 计 算 的 MATLAB 通 用 程 序

【例】 假设系统的动态方程为 若初始状态 ，理想输出 ，试设计一个输出跟踪器系统，使目标泛函 取得最小值。 解： （1）检验系统 的能观测性 ，系统状态能观测。 （2）选择加权矩阵 预选输出误差加权系数Q=1，控制加权系数R=0.78。 （3）MATLAB辅助计算

输出量变化曲线图 输出误差变化曲线图 返回本章目录

6.4 极小值原理 针对控制 受限制的泛函极值问题，前苏联数学家庞特里亚金（Понтрягин）于1956年创立了极大值原理。该原理发展了古典变分法，建立了在约束条件下的控制方程。因极大值与极小值只相差一个负号，把极大值问题的目标泛函冠以负号，就是极小值问题，因此极大值原理又名极小值原理。 6.4.1连续系统的极小值原理 假设系统的状态方程为 控制约束为

始端时间 和状态 给定，终端约束为 目标泛函为 则 取得极小值的最优控制 及其对应的最优轨线 和协态向量 必须满足下列条件： 哈密尔顿函数为 状态方程

协态方程 控制方程 横截条件 边界条件

6.4.2 Bang-Bang开关控制 有这样一类最短时间控制问题，其最优控制 只取其约束边界值，系统工作时 在其上下两边界值之间来回切换，这种切换在工程上是通过继电器来实现的，伴随着切换，继电器发出Bang-Bang响声，故将这类控制称为Bang-Bang开关控制。 Bang-Bang控制问题的数学描述如下： 假设线性定常系统的状态方程为 求把系统状态从 转移到目标终态 的最优控制 ，使 s.t.

6.4.2.1 控制原理 Bang-Bang控制问题是一个控制受约束的最短时间问题 [定义]在整个时间区间上，若不存在 的时间区间，那么这样的极值问题称为平凡问题或非奇异问题。若存在 的时间区间，那么这样的极值问题称为奇异问题或非平凡问题，相应的时间区间称为奇异区间。 （1）最短时间控制存在定理 若线性定常系统 状态完全能控且 的特征值均非负或实部非负，则最短时间控制一定存在。 （2）最短时间控制的唯一性定理 对于平凡问题，若最短时间控制存在，则它必定是唯一的。 （3）开关切换次数定理 对于平凡问题，如果最短时间控制存在且 的特征值均为实数，那么把系统从任意初始状态 转移到目标终态 的控制一定是Bang-Bang控制、并且各控制分量在 两边界值之间切换的次数最多不超过n-1次。

6.4.2.2 双积分系统的Bang-Bang控制 双积分系统的状态方程为 1.最优控制基本形式 哈密尔顿函数为 协态方程为 协态方程的解为 使哈密尔顿函数取最小值的控制为

在以时间为横坐标、以 和 为纵坐标的直角坐标系中， 和 之间的关系如图所示。

2.状态轨线及开关曲线 （1） 的状态轨线 （2） 的状态轨线 （3）通过原点的状态轨线 与 之间的对应关系及开关曲线

3.基于状态的最优控制 4.最短控制时间 5.最优控制律的工程实现

这种继电器系统的优点是最优控制通过状态反馈来实现，缺点是其控制过程不完全符合控制原理，切换次数一般超过n-1次。不过从工程应用来说，它能满足控制要求。 当状态位于 或 时， ，因而 ，系统就运动，当状态被转移到 上时， 。从理论上讲，这时继电器因输入为0而停止切换动作。但实际的继电器总会有运动惯性，这种惯性使继电器延迟切换，实际切换时间会越过 的理论切换时间点 ，从而可避免状态驻留在 上。但另一方面，这必将导致实际切换次数超过1次。特别当状态接近原点时，继电器有可能会频繁切换。不过最终总能将状态转移到原点附近。 返回本章目录

6.5 离散系统的最优控制 6.5.1控制无约束的离散系统的最优控制 1．数学模型 假设系统的状态方程为 6.5 离散系统的最优控制 6.5.1控制无约束的离散系统的最优控制 1．数学模型 假设系统的状态方程为 求最优控制序列 （ ），使目标泛函最小化，即 s.t. 这是一个始端给定，终端步数N给定，终端状态 受约束的最优控制问题。

2．拉格朗日乘子法 哈密尔顿函数 控制方程　　 （ ） 状态方程　　 （ ） 协态方程　　 （ ） 横截条件

6.5.2控制有约束的离散系统的最优控制 边界条件 根据极小值原理，控制方程应为 最优控制是在 内使哈密尔顿函数 取得最小值的控制。这与连续系统最优控制的定义完全相同。 除了控制方程不同外，极小值原理其它公式与拉格朗日乘子法公式完全相同，不再重复列举。 【例】 假设系统的状态方程为

求把系统状态从 转移到某个终态且使目标泛函 取得最小值的控制序列 （ ）。 解：令 哈密尔顿函数 控制方程

状态方程 协态方程 横截条件 边界条件

（1）

（2）解状态方程

（3）求控制序列 （4）最小目标泛函值 返回本章目录

6.6 动态规划法 动态规划法是美国数学家贝尔曼（Bellman）于1957年创立的。该方法在另一方向发展了古典变分法，把极值变分问题归结为多级决策问题。 6.6.1多级决策过程及最优性原理 1．多级决策过程 离散系统的状态是伴随着控制序列 （ ）从 分N步转移到 的。从系统运动来看，第k步的状态 只与它前一步的状态 和控制 有关，与更早的状态和控制无关。这一运动性质称为马尔柯夫无后效性。如果把每一步控制过程看作一个决策，那么N步最优控制序列问题就变成了N级决策问题，如图所示。

下面以最优路径问题为例，说明多级决策过程。 从A站到E站的路径如图所示，从A站开始，每一站到下一站有2个可选路径，路径旁注数字为距离。兹来分析最短路径。 （一）决策分级 将最短路径问题视为决策问题，从A到E总共有4段不同路径，最短路径决策可分为A、B、C、D 四级，即 第1级 A→B（B1，B2） 第2级 B→C（C1，C2） 第3级 C→D（D1，D2） 第4级 D→E

（二）建立决策档案 假设从第i级x站出发经由y站到达终点站E的距离为Li（x→y→E），其最短距离为Ji（x），为按最简便方式把握全局最短路径，从最后一级（第4级）开始倒序建立路径距离档案，即 第4级 L4(D1→E)=7 L4(D2→E)=8 第3级 L3(C1→D1→E)=3+7=10 L3(C1→D2→E)=1+8=9 J3(C1)=9 L3(C2→D1→E)=4+7=11 L3(C2→D2→E)=5+8=13 J3(C2)=11 第2级 L2(B1→C1→E) =2+J3(C1)=2+9=11 L2(B1→C2→E) =6+J3(C2)=6+11=17 J2(B1)=11 L2(B2→C1→E) =5+J3(C1)=5+9=14 L2(B2→C2→E) =1+J3(C2)=1+11=12 J2(B2)=12 第1级 L1(A→B1→E) =3+J2(B1)=3+11=14 L1(A→B2→E) =6+J2(B2)=6+12=18 J1(A)=14

（三）查找最短路径 按决策顺序路径查找最短路径： 第1级决策，最短距离J1(A)=14，路径A→B1 第2级决策，最短距离J2(B1)=11，路径B1→C1 第3级决策，最短距离J3(C1)=9，路径C1→D2→E 于是可得最短路径及其最短距离，即 A→B1→C1→D2→E J1(A)=14 从以上最短路径决策分析过程和结果可以得出如下结论： （1）决策过程可分为决策分级、倒序建档和顺序查档三个过程； （2）每一级决策确定的最短路径就是全局最短路径的一部分 最 短 路 径

2．最优性原理 若一个N级决策是最优的，那么其所有子决策也必然是最优的。一个最优控制问题可转换为N级决策问题，若以 为初始状态的控制序列 （ ）是最优的，则以 为初始状态的控制序列 （ ）也必然是最优的。 6.6.2离散系统的动态规划 假设系统状态方程和初始状态分别为 现根据多级决策过程和最优性原理来研究使目标泛函 取最小值的最优控制问题。显然这是一个始端给定，终端步数N给定，终端状态 自由，控制 不受约束的最优控制问题。

1．控制决策分级 因终端步数为N，故该最优控制问题可转化为N级决策问题。 一般地，第 级子决策可表示为以 为初态向 进行状态转移的子决策，其目标泛函可表示为 每一级子决策包含有从前一级开始直到最后一级子决策的全部控制和状态信息。因此，由每一级子决策确定的控制必定也是全局最优控制的一部分。 2．建档迭代计算 首先，根据各级子决策目标泛函和状态方程从最后一级（第N级）子决策开始直到第1级子决策为止按倒序依次进行最小化迭代计算，建立各级子决策的控制序列 与状态序列 之间的关系。 接着根据边界条件确定第一步控制 。

动态规划法技术路线图

3．查档迭代计算 根据建档过程建立的各级子决策的控制序列 与状态序列 间的关系、从第1级子决策开始直到最后一级子决策为止按顺序依次进行迭代计算，从而确定全部控制序列与状态序列。 【例】 假设系统的状态方程为 求把系统状态从 转移到某个终态且使目标泛函 取得最小值的控制序列 （ ）。应用动态规划法 解：

（1）决策分级和倒序建档迭代计算 根据给定目标泛函，终端步数N=3，该最优控制问题可划分为3级决策问题。为简化运算步骤，兹将决策分级和倒序建档同步进行。 第3级状态转移决策的目标泛函为 第2级状态转移决策的目标泛函为

第1级状态转移子决策的目标泛函为

（2）顺序查档迭代计算 最优控制目标泛函值为

6.6.3连续系统的动态规划 假设系统的状态方程、目标泛函、初始状态及终端条件分别为

假设从初始时刻 到终端时刻 的控制是最优的， 为 区间中的一个内点，则根据最优性原理，从 到 这一段控制必定也是最优的。由 到 的控制过程可分为 → 和 → 两段控制过程，其最优目标泛函为 连续系统动态规划的基本方程，称为贝尔曼方程 协态方程 横截条件

【例】 假设系统的状态方程和初始状态分别为 试求最优控制，使目标泛函 取得最小值。 解： 1）最优控制 贝尔曼方程为

哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程 系统不稳定

最优控制系统状态方程为 因 的特征值为 ，所以最优控制系统是稳定的。 2）解集 （1）最优控制

（2）状态向量 最 优 轨 线

（3）最小目标泛函值 （4）最优控制系统结构图 返回本章目录