第9章 正弦稳态电路的分析 本章重点 阻抗和导纳 9.1 正弦稳态电路的分析 9.3 正弦稳态电路的功率 9.4 复功率 9.5 最大功率传输 9.6 首 页

重点： 1. 阻抗和导纳； 2. 正弦稳态电路的分析； 3. 正弦稳态电路的功率分析； 返 回

9.1 阻抗和导纳 1. 阻抗 正弦稳态情况下 无源 线性 网络 Z 欧姆定律的相量形式 阻抗模 阻抗角 + + - - 返 回 上 页 9.1 阻抗和导纳 1. 阻抗 正弦稳态情况下 Z + - 无源 线性 网络 + - 欧姆定律的相量形式 阻抗模 阻抗角 返 回 上 页 下 页

当无源网络内为单个元件时有： R + - C + - L + - 表明 Z 可以是实数，也可以是虚数。 返 回 上 页 下 页

2. RLC串联电路 L C R u uL uC i + - uR R + - j L KVL： 返 回 上 页 下 页

R=|Z|cosz X=|Z|sinz Z — 复阻抗；|Z| —复阻抗的模；z —阻抗角； R —电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。 转换关系： R=|Z|cosz X=|Z|sinz 或 |Z| R X jz 阻抗三角形 返 回 上 页 下 页

分析 R、L、C 串联电路得出： 电压超前电流。 相量图：一般选电流为参考向量， 电压三角形 j Leq R + - UX 等效电路 （1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jz 为复数，称复阻抗 （2）wL > 1/wC ，X>0， j z>0，电路为感性， 电压超前电流。 相量图：一般选电流为参考向量， 电压三角形 j Leq R + - z UX 等效电路 返 回 上 页 下 页

电压落后电流。 UX R + - 等效电路 电压与电流同相。 R + - 等效电路 （3）wL<1/wC， X<0， jz <0，电路为容性， 电压落后电流。 z UX R + - 等效电路 （4）wL=1/wC ，X=0， j z=0，电路为电阻性， 电压与电流同相。 R + - 等效电路 返 回 上 页 下 页

已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F, 例 L C R u uL uC i + - uR R + - j L 求 i, uR , uL , uC . 解 画出相量模型 返 回 上 页 下 页

则 返 回 上 页 下 页

相量图  -3.4° 注意 UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。 返 回 上 页 下 页

3.导纳 正弦稳态情况下 Y + - 无源 线性 网络 + - 导纳模 导纳角 返 回 上 页 下 页

表明 对同一二端网络: 当无源网络内为单个元件时有： R + - L + - C + - Y 可以是实数，也可以是虚数。 返 回 上 页 下 页

4. RLC并联电路 R + - jL i L C R u iL iC + - iR 由KCL： 返 回 上 页 下 页

G=|Y|cos y B=|Y|sin y Y—复导纳；|Y| —复导纳的模；y—导纳角； G —电导(导纳的实部)；B —电纳(导纳的虚部)； 转换关系： G=|Y|cos y B=|Y|sin y 或 |Y| G B  y 导纳三角形 返 回 上 页 下 页

注意 分析 R、L、C 并联电路得出： 电流超前电压。 相量图：选电压为参考向量， y IB RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象 （1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jy为复数，称复导纳； （2）wC >1/wL，B>0，y>0，电路为容性， 电流超前电压。 相量图：选电压为参考向量， y IB 注意 RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象 返 回 上 页 下 页

R + - 等效电路 （3）wC<1/wL，B<0，y<0，电路为感性， 电流落后电压； y 返 回 上 页 下 页

j Leg R + - 等效电路 电流与电压同相。 R + - 等效电路 （4）wC=1/wL，B=0，j y =0，电路为电阻性， 返 回 上 页 下 页

5. 复阻抗和复导纳的等效互换 注意 Z R jX G jB Y 一般情况G1/R ，B1/X。若Z为感性，X>0，则 B<0，即仍为感性。 返 回 上 页 下 页

同样，若由Y变为Z，则有： G jB Y Z R jX 返 回 上 页 下 页

例 RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。 0.06mH 50 解 RL串联电路的阻抗为： R’ L’ 返 回 上 页 下 页

注意 一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变； 但有受控源时，可能会出现 或 其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部； 返 回 上 页 下 页

注意 一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为 返 回 上 页 下 页

6. 阻抗（导纳）的串联和并联 阻抗的串联 Z + - Z1 + Z2 Zn － 分压公式 返 回 上 页 下 页

导纳的并联 Y1 + Y2 Yn － Y + - 分流公式 两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为： 返 回 上 页 下 页

例1 求图示电路的等效阻抗， ＝105rad/s 。 1mH 30 100 0.1F R1 R2 解 感抗和容抗为： 返 回 上 页 下 页

例2 图示电路对外呈现感性还是容性？ 3 －j6 j4 5 解1 等效阻抗为： 电路对外呈现容性 返 回 上 页 下 页

解2 用相量图求解，取电感电流为参考相量： ＋ － 3 －j6 j4 5 电压滞后于电流，电路对外呈现容性。 返 回 上 页 下 页

例 图为RC选频网络，求u1和u0同相位的条件及 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC 解 R jXC u1 uo ＋ － 返 回 上 页 下 页

9.3 正弦稳态电路的分析 电阻电路与正弦电流电路的分析比较： 返 回 上 页 下 页

结论 1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。 2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。 3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（f =0)是一个特例。 返 回 上 页 下 页

例1 求:各支路电流。 已知： R2 + _ L i1 i2 i3 R1 C u Z1 Z2 R2 + _ R1 解 画出电路的相量模型 返 回 上 页 下 页

Z1 Z2 R2 + _ R1 返 回 上 页 下 页

Z1 Z2 R2 + _ R1 返 回 上 页 下 页

例2 列写电路的回路电流方程和结点电压方程 + _ L R1 R2 R3 R4 C + _ R1 R2 R3 R4 解 回路方程 返 回 上 页 下 页

+ _ R1 R2 R3 R4 结点方程 返 回 上 页 下 页

例3 Z2 Z1Z3 Z + - Z2 Z1 Z Z3 解 方法1：电源变换 返 回 上 页 下 页

方法2：戴维宁等效变换 Zeq Z + - + - Z2 Z1 Z3 求开路电压： 求等效电阻： 返 回 上 页 下 页

例4 求图示电路的戴维宁等效电路。 + _ j300 100 j300 + _ 50 解 求开路电压： 返 回 上 页 下 页

+ _ j300 100 + _ 100 求短路电流： 返 回 上 页 下 页

用叠加定理计算电流 例5 Z2 Z1 Z3 + - Z2 Z1 Z3 解 返 回 上 页 下 页

Z2 Z1 Z3 + - Z2 Z1 Z3 + - 返 回 上 页 下 页

|Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x 已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jwL3。 求：Zx=Rx+jwLx。 例6 解 平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得： |Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x |Z1| |Z3| = |Z2| |Zx| Z1 Z2 Zx Z3  1 +3 = 2 +x R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx) ∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2 返 回 上 页 下 页

例7 已知：Z=10+j50W , Z1=400+j1000W。 Z Z1 + _ 解 返 回 上 页 下 页

例8 已知：U=115V, U1=55.4V , U2=80V, R1=32W , f=50Hz。 求：线圈的电阻R2和电感L2 。 R1 + _ 解 方法一、 画相量图分析。 q q2 返 回 上 页 下 页

q2 q 返 回 上 页 下 页

方法二、 R1 R2 L2 + _ 其余步骤同解法一。 返 回 上 页 下 页

例9 移相桥电路。当R2由0时， b + R2 R1 b a b - _ a 解 用相量图分析 当R2=0，q =180； 返 回 上 页 下 页

例10 图示电路， R1 R2 jXL + _ jXC 解 返 回 上 页 下 页

求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。 例11 L + _ R 解 应用三要素法： 用相量法求正弦稳态解 返 回 上 页 下 页

注意 过渡过程与接入时刻有关 直接进入稳定状态 t i o 返 回 上 页 下 页

t i o 出现瞬时电流大于稳态电流现象 返 回 上 页 下 页

9.4 正弦稳态电路的功率 1. 瞬时功率 无源 网络 + u i _ 第一种分解方法； 第二种分解方法。 返 回 上 页 下 页

p 有时为正, 有时为负； p>0, 电路吸收功率； p<0，电路发出功率； 第一种分解方法： p UIcos 恒定分量。 u  t i o u UIcos (2 t －)为正弦分量。 p 有时为正, 有时为负； p>0, 电路吸收功率； p<0，电路发出功率； 返 回 上 页 下 页

UIcos (1-cos2 t)为不可逆分量。 第二种分解方法： UIcos (1-cos2 t)为不可逆分量。  t o UIsin sin2 t为可逆分量。  部分能量在电源和一端口之间来回交换。 返 回 上 页 下 页

 =u-i：功率因数角。对无源网络，为 2.平均功率 P P 的单位：W（瓦）  =u-i：功率因数角。对无源网络，为 其等效阻抗的阻抗角。 cos  ：功率因数。 返 回 上 页 下 页

cosj X<0, j <0 , 容性， X>0, j >0 , 感性， 结论 1, 纯电阻 0， 纯电抗 1, 纯电阻 0， 纯电抗 一般地 , 有： 0cos1 X>0, j >0 , 感性， X<0, j <0 , 容性， 结论 平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别, 主要由于电压、电流存在相位差。 返 回 上 页 下 页

3. 无功功率 Q 4. 视在功率S 单位：var (乏)。 Q>0，表示网络吸收无功功率； Q<0，表示网络发出无功功率。 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率。是由储能元件L、C的性质决定的 4. 视在功率S 电气设备的容量 返 回 上 页 下 页

有功，无功，视在功率的关系： 有功功率: P=UIcos 单位：W 无功功率: Q=UIsinj 单位：var 视在功率: S=UI 单位：VA j S P Q 功率三角形 返 回 上 页 下 页

PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R QR =UIsin =UIsin0 =0 5. R、L、C元件的有功功率和无功功率 u i R + - PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R QR =UIsin =UIsin0 =0 i u L + - PL=UIcos =UIcos90 =0 QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL i u C + - PC=UIcos =UIcos(-90)=0 QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI= I2XC 返 回 上 页 下 页

PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X ＝I2(XL＋XC)=QL＋QC 6. 任意阻抗的功率计算 u i Z + - PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X ＝I2(XL＋XC)=QL＋QC (发出无功) j S P Q Z R X 相似三角形 返 回 上 页 下 页

L发出功率时，C刚好吸收功率，与外电路交换功率为 pL+pC。L、C的无功具有互相补偿的作用。 电感、电容的无功补偿作用 L C R u uL uC i + - pL  t i o uL L发出功率时，C刚好吸收功率，与外电路交换功率为 pL+pC。L、C的无功具有互相补偿的作用。  t i o uC pC 返 回 上 页 下 页

电压、电流的有功分量和无功分量： 以感性负载为例 R X + _  G B + _  返 回 上 页 下 页

j S P Q Z R X 相似三角形 I IG IB U UR UX 返 回 上 页 下 页

无功的物理意义: 反映电源和负载之间交换能量的速率。 返 回 上 页 下 页

例1 三表法测线圈参数。 已知：f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。 R L + _ Z A V * 解法 1 W 返 回 上 页 下 页

解法 2 又 解法 3 返 回 上 页 下 页

例2 已知：电动机 PD=1000W， U=220，f =50Hz，C =30F cosD=0.8，求：负载电路的功率因数。 C 解 + _ D C 已知：电动机 PD=1000W， U=220，f =50Hz，C =30F cosD=0.8，求：负载电路的功率因数。 解 返 回 上 页 下 页

7. 功率因数的提高 P=UIcos=Scosj cosj =1, P=S=75kW cosj =0.7, P=0.7S=52.5kW 功率因数低带来的问题： 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有； P=UIcos=Scosj S 75kVA 负载 cosj =1, P=S=75kW cosj =0.7, P=0.7S=52.5kW 设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。 一般用户： 异步电机 空载 cosj =0.2~0.3 满载 cosj =0.7~0.85 日光灯 cosj =0.45~0.6 返 回 上 页 下 页

当输出相同的有功功率时，线路上电流大，I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。 + - u Z j2 j1 解决办法： （1）高压传输 （2）改进自身设备 （3）并联电容，提高功率因数 。 返 回 上 页 下 页

并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。 分析 L R C + _ j2 j1 特点： 并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。 返 回 上 页 下 页

并联电容的确定： 欠 补偿容量 全——不要求(电容设备投资增加,经济效 不同 果不明显) 过——功率因数又由高变低(性质不同) j2 j1 返 回 上 页 下 页

并联电容也可以用功率三角形确定： QC QL Q j2 j1 从功率角度看 : P 并联电容后，电源向负载输送的有功UIL cos1=UI cos2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin2<UILsin1减少了，减少的这部分无功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。 返 回 上 页 下 页

已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0. 6，要使功率因数提高到0 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6，要使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？ 例 L R C + _ 解 未并电容时： 并联电容后： 返 回 上 页 下 页

注意 若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？ 解 cos 提高后，线路上总电流减少，但继续提高cos 所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将cos 提高到0.9即可。 返 回 上 页 下 页

9.5 复功率 1. 复功率 负 载 + _ 定义： 也可表示为： 返 回 上 页 下 页

结论 注意 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量； 把 P、Q、S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；  复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即  注意 返 回 上 页 下 页

例 求电路各支路的复功率 + _ 10∠0o A 10W j25W 5W -j15W 解1 返 回 上 页 下 页

解2 返 回 上 页 下 页

9.6 最大功率传输 Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL ZL Zi + - 有 源 网 络 负 等效电路 载 返 回 上 页 下 页

ZL= Zi* 讨论 RL= Ri XL =-Xi 正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件 若ZL= RL + jXL可任意改变 先设 RL 不变，XL 改变 显然，当Xi + XL=0，即XL =-Xi时，P 获得最大值。 再讨论 RL 改变时，P 的最大值 最佳匹配条件 当RL= Ri 时，P 获得最大值 RL= Ri XL =-Xi ZL= Zi* 返 回 上 页 下 页

获得最大功率的条件是：Xi + XL=0，即 XL =-Xi 若ZL= RL + jXL只允许XL改变 获得最大功率的条件是：Xi + XL=0，即 XL =-Xi 最大功率为 若ZL= RL为纯电阻 电路中的电流为： 负载获得的功率为： 模匹配 返 回 上 页 下 页

例 电路如图，求：1.RL=5时其消耗的功率； 2. RL=?能获得最大功率，并求最大功率； 3.在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与内 阻抗最佳匹配，并求最大功率。 例 + _ 10∠0o V 50H RL 5W  =105rad/s 解 返 回 上 页 下 页

+ _ 10∠0o V 50H RL 5W C + _ 10∠0o V 50H RL 5W 返 回 上 页 下 页

例 求ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。 Zi + - ZL 4∠90o A ZL -j30W 30W 解 返 回 上 页