商用微積分 CH4 導函數的應用

遞增及遞減函數 對區間(a, b)中的兩數 x1和 x2而言，且 x1 ＜ x2 時恆有 f(x1) ＜ f(x2)，則稱函數 f 在區間(a, b)為遞增(increasing)（見圖2a）。 對區間(a, b)中的兩數 x1 和 x2 而言，且x1 ＜ x2 時恆有 f(x1) ＜ f(x2) ，則稱函數 f 在區間(a, b) 為遞減(decreasing)（見圖2b）。 CH4 導函數的應用 第206頁

圖3 CH4 導函數的應用 第207頁

定理1 a. 對區間(a, b)中的任意點 x 而言，若f '(x) ＞ 0 則 f 在(a, b)為遞增。 b.對區間(a, b)中的任意點 x 而言，若f '(x) ＜ 0 則 f 在(a, b)為遞減。 c. 對區間(a, b)中的任意點 x 而言，若f '(x) ＝ 0 則 f 在(a, b)為常數函數。 CH4 導函數的應用 第207頁

判斷函數為遞增或遞減的區間 1. 求f '(x) ＝ 0 的根或 f '不連續的點處，以這些點將 f 的定義域分成若干開區間。 2. 在各區間中任擇一點 c，並求f '(c)的正負符號。 a. 若f '(c) ＞ 0，則f在該區間為遞增。 b. 若f '(c) ＜ 0，則f在該區間為遞減。 CH4 導函數的應用 第208頁

圖 CH4 導函數的應用 第209頁

相對極大值 若某開區間(a, b)內的c 點使得對所有(a, b)中的 x 而言，恆有f (x) ≤ f(c) ，則函數 f 在 x ＝ c 有相對極大值(relative maximum)。 CH4 導函數的應用 第211頁

相對極小值 若某開區間(a, b)內的 c 點使得對所有(a, b)中的 x 而言，恆有f (x) ≥ f(c) ，則函數 f 在 x ＝ c 有相對極小值(relative minimum)。 CH4 導函數的應用 第212頁

圖13 CH4 導函數的應用 第212頁

圖14 CH4 導函數的應用 第213頁

f 的臨界點 在f 之定義域中某點 x，只要 f '(x) ＝ 0 或 f '(x)不存在，則稱 x 為 f 的臨界點(critical point)。 CH4 導函數的應用 第214頁

一階導函數測試法 求連續函數 f 之相對極值的步驟 1. 求出 f 的所有臨界點。 2. 對各臨界點，判定 f '(x)在其左或其右的正負符號。 a. 當我們由左向右跨過臨界點 c 時， f '(x)的符號由正轉負，則 f (c)為相對極大值。 b. 當我們由左向右跨過臨界點 c 時， f '(x)的符號由負轉正，則 f (c)為相對極小值。 c. 當我們由左向右跨過臨界點 c 時， f '(x)的符號並未改變，則 f (c)不是相對極值。 CH4 導函數的應用 第214頁

例7 求函數 f (x) ＝ x3－3x2－ 24x ＋ 32 的相對極值。 CH4 導函數的應用 第216頁

解 f 的導函數為 f ' 在整條實數線上連續。f '(x) 的根為 x ＝ 2 及x ＝ 4，這是 f 僅有臨界點，圖20則為 f '的正負符號圖。使用一階導數測試法及 f '的符號圖，我們可對這兩個臨界點加以檢驗如下。 CH4 導函數的應用 第216頁

解 1. 臨界點2：當我們由左向右跨過 x ＝ 2 時， f '(x)的符號由正轉負，所以 f在 x ＝ 2 有相對極大值，此極大值為 2. 臨界點4：當我們由左向右跨過 x ＝ 4 時， f '(x)的符號由負轉正，所以 f (4) ＝ 48 為 f 的相對極小值。f 的圖形見圖21。 CH4 導函數的應用 第216頁

解 CH4 導函數的應用 第216頁

函數f 的凹向性 設函數 f 在區間(a, b)可微。 1.若f '在(a, b)為遞增，則 f 在(a, b)為凹向上(concave upward)。 2.若f '在(a, b)為遞減，則 f 在(a, b)為凹向下(concave downward)。 CH4 導函數的應用 第223頁

圖28 CH4 導函數的應用 第224頁

定理2 a. 對區間(a, b)中的 x 而言，若f ''(x)＞ 0 則 f在(a, b)為凹向上。 b. 對區間(a, b)中的 x 而言，若f ''(x) ＜ 0 則 f在(a, b)為凹向下。 CH4 導函數的應用 第224頁

判定 f 在區間的凹向性 1.先求 f ''(x) ＝ 0 的根，以及 f ''無定義的點，以這些點將定義域分成若干區間。 2. 在步驟1 的各區間中任擇一方便的點 c，計算f ''(c) 值以決定在該區間 f ''的正負符號。 a. 若f ''(c)＞ 0，則f 在該區間為凹向上。 b. 若f ''(c)＜ 0，則f 在該區間為凹向下。 CH4 導函數的應用 第224頁

反曲點 在連續函數 f 的圖形上，若在某點有切線存在且改變凹向性時，稱此點為反曲點(inflection point)。 CH4 導函數的應用 第226頁

圖34 CH4 導函數的應用 第226頁

求反曲點 1.計算f ''(x)。 2.在f 的定義域，定出使得f ''(x) ＝ 0 或 f ''(x)不存在的點。 3.對步驟2 所得之各點 c，判定其左和右的正負符號。當我們由左向右跨越 x ＝ c 時若 f ''(x)的符號改變，則點(c, f(x))為f 的反曲點。 CH4 導函數的應用 第227頁

二階導函數測試法 1. 計算f '(x)及f ''(x) 。 2. 令f '(x) ＝ 0 以求 f 的所有臨界點。 3. 對臨界點c 計算f ''(c)的值。 a. 若f ''(c) ＜ 0，則f 在x ＝ c 有相對極大值。 b. 若f ''(c) ＞ 0，則f 在x ＝ c 有相對極小值。 c. 若f ''(c) ＝ 0，此法失效。 CH4 導函數的應用 第232頁

例9 用二階導函數測試法，求函數 的相對極值（見4.1節例7）。 CH4 導函數的應用 第232頁

解 因 由f '(x) ＝ 0 得x ＝ -2 及x ＝ 4，此兩者為f 的臨界點。其次，可求得 由二階導函數測試法知 f (-2)＝ 60 為 f 的相對極大值。又 由二階導函數測試法知 f (4) ＝ -48 為 f 的相對極小值。與4.1 節例7 的結果相符。 CH4 導函數的應用 第232-233頁

曲線形狀 CH4 導函數的應用 第233頁

圖46 CH4 導函數的應用 第241頁

垂直漸近線 對某數a，若下列四式之一成立， 或 則稱 x ＝ a 為函數 f 圖形的垂直漸近線(vertical asymptote)。 CH4 導函數的應用 第241頁

圖48 CH4 導函數的應用 第243頁

水平漸近線 若 則y ＝ b 稱為函數 f 圖形的水平漸近線(horizontal asymptote)。 CH4 導函數的應用 第243頁

多項式函數 多項式函數既無水平漸近線，亦無垂直漸近線。 CH4 導函數的應用 第244頁

曲線描畫的步驟 1.求出f 的定義域。 2.求f 的x 截距及y 截距。（求 f 的 x 截距，須解 f(x)＝ 0，有時可用計算機求近似解）。 3.求 及 4.求f 的水平及垂直漸近線。 5.求f 為遞增及遞減的區間。 6.求f 的相對極值。 CH4 導函數的應用 第245頁

曲線描畫的步驟 7.決定 f 的凹向性。 8.求 f 的反曲點。 9.找一些容易算的函數值，以便在圖上多描幾點，如此一來可更知道圖形的形狀，再加以描畫圖形。 CH4 導函數的應用 第245頁

函數y = x3-6x2+9x+2的圖形 定義域：(-∞ ,∞) 截距：(0, 2) 漸近線：無 在(-∞, 1) (3, ∞) 為↗，在(1, 3)為↘ 相對極值：在(1, 6) 為相對極大值，在(3, 2)為相對極小值 凹向性：在(- ∞, 2) 為凹向下，在(2, ∞)為凹向上 反曲點：(2, 4) CH4 導函數的應用 第246頁

函數y = x3-6x2+9x+2的圖形 CH4 導函數的應用 第247頁

例4 描畫函數 的圖形。 CH4 導函數的應用 第247頁

解 1. f 在x ＝ 1 無定義，所以 f 的定義域為 x ＝ 1 除外所有實數的集合。 2.設定y ＝ 0得x ＝-1，這是 f 的 x 截距。設定 x ＝0 得 y ＝ 1，這是 f 的 y 截距。 3.在例2 的前面，已知 當|x|變大時，f(x) 的圖形就會趨近直線y ＝ 1。對x ＞1 而言， f(x) ＞ 1，所以f(x) 由y ＝ 1的上方趨近直線y ＝ 1。至於x ＜ 1時， f(x) ＜ 1，所以f(x)由y ＝ 1 的下方趨近直線y ＝ 1。 CH4 導函數的應用 第247頁

解 4. x ＝ 1 為f 圖形的垂直漸近線，而由步驟3 可知直線y ＝1 為水平漸近線。 5. f '在x ＝ 1不連續。由 f 的正負符號圖知 f'(x) ＜ 0在 f 有定義的 x 點成立，所以 f 在區間 (-∞, 1) 及(1, ∞)為遞減（見圖54）。 6.由步驟5 知 f 並無臨界點，因 f'(x)永不為零。 CH4 導函數的應用 第247頁

解 7. 由f''的正負符號圖知f在區間 (-∞, 1)為凹向下，在區間(1, ∞)為凹向上（見圖55）。 CH4 導函數的應用 第247-248頁

解 8. 因為f''(x)永不為零，所以f 並無反曲點。 現將以上的結果整理如下： 定義域： 截距： (0, 1) ； (1, 0) 漸近線：x ＝ 1 為垂直漸近線，y ＝ 1 為水平漸近線 在區間 為↘ 相對極值：無 凹向性：在(-∞, 1)為凹向下；在(1, ∞)為凹向上 反曲點：無 CH4 導函數的應用 第248頁

解 圖56為f 的圖形。 CH4 導函數的應用 第248頁

函數 f 的絕對極值 若對 f 的定義域中所有點 x，恆有f(x) ≤ f(c)，則 f(c)稱為 f 的絕對極大值(absolute maximum value)。 若對 f 的定義域中所有點 x，恆有f(x) ≥ f(c) ，則 f(c)稱為 f 的絕對極小值(absolute minimum value)。 CH4 導函數的應用 第253頁

函數 f 的絕對極值 CH4 導函數的應用 第253頁

定理3 若函數f 在閉區間[a, b] 為連續，則 f 在[a, b] 必有絕對極大值，亦有絕對極小值。 CH4 導函數的應用 第254頁

圖59 CH4 導函數的應用 第254頁

找出 f 在閉區間的絕對極值 1. 求f 在(a, b)的臨界點。 2. 計算f 在各臨界點的函數值，以及f (a)和f (b) 。 CH4 導函數的應用 第254頁

求解最佳化問題的準則 1.對問題的變數指定適宜的符號，儘可能畫圖再加上標記。 2.對欲求最佳化的量，設法以數學式表現之。 3.將欲最佳化之量的數學式寫成一單變數的函數 f，由問題的實際面來考慮加諸於定義域的限制。 4.以4.4 節的方法，求 f 在其定義域上的最佳化解。 CH4 導函數的應用 第265頁

應用例題5 庫存量的控制 Dixie 進出口公司總代理 Excalibur-250cc 機車，經營階層估計每年的需求量為10,000 部，且在整年中銷量平均分布。該機車每一次訂購／出貨的費用為10,000元，且每部機車每年的庫存費用為 200元。 Dixie公司面臨的問題如下：若一次訂太多機車，會占多一點倉庫空間而要多付庫存費用，若頻頻下訂就得多付運費。試問Dixie公司每次下單應訂購幾部機車？多久下訂才能使運費及庫存費用降到最低？ CH4 導函數的應用 第271頁

解 令 x 為每一訂單（一批的數量）的機車數，再假設每次到貨就在前一批機車銷售一空的時候，故機車的平均庫存量為 x/2，參見圖73。Dixie 公司一年的庫存費用為200(x/2)元，或100x 元。 另外，公司每年需訂購10,000部機車，又每次下訂 x 部機車，所以一年要下單 CH4 導函數的應用 第271頁

解 每次的運費為10,000 元，故一年的運費（以元計）為 於是Dixie 公司每年在銷售機車所牽涉的運費及庫存費用總支出為 CH4 導函數的應用 第271頁

解 現在問題變為求函數C 在區間(0, 10,000]的絕對極小值。接下來，計算 設定C'(x) ＝ 0 得x ＝ ± 1000，但-1000 不在函數C 的定義域之內，不予考慮，x ＝ 1000 就是C的唯一臨界點。再計算 CH4 導函數的應用 第271-272頁

解 因C''(1000) ＞ 0，依二階導函數測試法知，函數C在臨界點 x ＝ 1000有相對極小值（見圖74）。又對在(0, 10,000)的所有 x 恆有C''(x) ＞ 0，函數C為凹向上，故在 x ＝ 1000 時也有絕對極小值。換言之，為了將運費及庫存費用降到最低，Dixie公司應每年下訂10,000/1000或10次，每一次訂 1000部機車。 CH4 導函數的應用 第272頁

解 CH4 導函數的應用 第272頁