6.2 常態機率分配 常態機率分配(normal probability distribution)可以說是最重要的連續機率分配。 6.2 常態機率分配 常態機率分配(normal probability distribution)可以說是最重要的連續機率分配。 常態機率分配的運用範圍很廣，諸如身高、體重、測驗的分數、科學測量、降雨量等等的隨機變數，都適合以常態分配來描述。

常態機率分配 常態機率分配的運用範圍很廣 身高、體重 科學測量

常態機率分配 常態機率分配的運用範圍很廣 測驗的分數 降雨量

常態機率分配 常態機率密度函數 其中:  = 平均數  = 標準差  = 3.14159 e = 2.71828

常態機率分配 特性 曲線是對稱的，以平均數μ為對稱中心。 x 平均數 m

常態機率分配 特性 不同的平均數 μ 和標準差 σ 可以形成不同的常態分配。 x -10 20

常態機率分配 特性 標準差可以決定曲線的寬度，標準差較大則曲線看起 來較寬較扁平，這表示資料比較分散。 s = 15 s = 25 x

常態機率分配 特性 常態隨機變數的機率可以由曲線下方的面積求得。常 態機率分配曲線下所涵蓋的總面積為 1 。由於分配是 態機率分配曲線下所涵蓋的總面積為 1 。由於分配是 對稱的，平均數以左的曲線下方的總面積是0.5，平均 數以右的曲線下方的總面積也是0.5。 0.5 0.5 x μ

常態機率分配 特性 x 99.73% 95.44% 68.26% m m – 3s m – 1s m + 1s m + 3s m – 2s

標準常態機率分配 當一個隨機變數具有常態分配且其平均數為 0，標準 差為 1 時，則稱此變數具有標準常態機率分配，通常用Ｚ表示標準常態隨機變數。 s = 1 Z

標準常態機率分配 給定一z值，我們可以利用標準常態表求得機率(曲線下的區域)。 Z

標準常態機率分配機率值表

標準常態機率分配機率值表

實例 標準常態隨機變數的z值如果從0到1，則其相對應的機率將是多少？ 也就是P(0.00 ≤ z ≤ 1.00)是多少？ 下圖中的陰影部分即為此面積或機率。

機率值表內的值代表在標準常態分配下，常態曲線在0與另一已知z值間所形成的面積。 若要找z＝0與z＝1.00之間的面積，我們必須找出表中 z ＝1.00時所對應的值。 先在左欄的z值中找到1.0的值 然後在最上方的橫列上找出0.00行 行與列交叉處的值為0.3413 如此，P(0.00 ≤ z ≤ 1.00)＝0.3413。。

標準常態機率分配實例 利用同樣方法，請找出P(0.00 ≤ z ≤ 1.22)的值。 ∴P(0.00 ≤ z ≤ 1.22)=0.3888 1.1 1.2 0.3888 1.3 ∴P(0.00 ≤ z ≤ 1.22)=0.3888

實例 找介於z＝−1.00和 z＝1.00的機率值，即P(−1.00 ≤ z ≤ 1.00)。

實例 計算P(z ≥ 1.58)的值。首先，我們可以在機率值表中找到 z＝1.5的列、 z＝0.08的行，即P(0.00 ≤ z ≤ 1.58)＝0.4429。 ∴P(z ≥ 1.58)=0.5-0.4429=0.0571 1.58

標準常態機率分配實例 P(z ≥ −0.50)的機率是多少呢？ 其面積如下圖所示。 -0.50

實例 計算z從1.00到1.58的機率值，亦即P(1.00 ≤ z ≤ 1.58)的值。在前幾個範例中，我們知道z從0.00到1.00的機率為0.3413，而且 z 從0.00到1.58的機率為0.4429，因此 z 從1.00到1.58的機率值將為0.4429－0.3413＝0.1016，即P(1.00 ≤ z ≤ 1.58)＝0.1016 ，此情況如下圖所示。

作業 常態曲線下Z=0與Z=2.15的面積是多少? 常態曲線下Z=0.87的左邊的面積=? P(Z>1.23)=?

標準常態機率分配 已知機率值查表求出Z值 z值應為何? 才能使隨機變數大於z值的機率是0.10。 Z 0.1 0.4000 z值 =1.28

從0. 3997所對應出的z之行列值顯示 z＝1. 28. ，因此在平均數與 z＝1. 28間的面積接近0. 4000(實際為0 從0.3997所對應出的z之行列值顯示 z＝1.28 *，因此在平均數與 z＝1.28間的面積接近0.4000(實際為0.3997)，根據題目的要求，z值約為1.28(真正值為1.282)。

z值應為何? 才能使隨機變數介於-z與z值的機率是0.9。 0.4500 0.4500 Z -z z =1.645

作業 9. P(Z>a)= 0.0838 a= 10. P(Z>a)= 0.7734 a= 13. P(-a<Z<a)= 0.901 a=

常態分配的機率計算方法 標準化 ㄧ個常態分配X~N(μ, σ2)，因不同的平均數μ和標準差σ，就有不同的常態曲線，不可能提供所有不同平均數μ和標準差σ的常態機率值表，故在計算常態機率時，常把x值轉換成標準常態值z，其轉換的公式如圖8.5所示，該過程稱為標準化 Ｚ Ｘ

ㄧ個常態分配X~N(90, 22),求P(90<X<95) 圖解: 2 X 90 95 1 查表得0.4938 Z 2.5

ㄧ個常態分配X~N(90, 22),求P(87<X<92.5) 圖解: 0.3944 0.4398 2 X 85 90 92.5 Z -2.5 1.25 查表2.50得0.4938 查表1.25得0.3944 ∴0.4938+0.3944=0.8882

假設台灣地區國中生的智商(IQ)為一常態分配，且已知平均數為100，標準差為16。今隨機自該地區抽出一位國中生，試問 (1)該生智商超過120的機率？ (2)該生智商介於90~110間的機率？ X~(100,162) 100 120 Z~(0,12) 1.25 查1.25得0.3944 ∴0.5-0.3944=0.1056 X~(100,162) 90 100 110 Z~(0,12) -0.625 0.625 查0.62得0.2324 查0.63得0.2357 取中間值0.23405 ∴0.23405×2=0.4681

假設某高中數學競試成績為一常態分配，已知平均分數為60分，標準差10分。若成績採四等第計分，最高分數前 20%以 A 計等第，其次20%以B計等第，再其次40%以C計等第，最後20%以D計等第。試問 (1)多少分以上才能得到A等第？ (2)多少分以下得到D等第？ (3)若其中某生得到B等第，其分數介於多少分之間？ 40% 20% 20% 20% 60 A等 D等 B等 C等

在美國的速食店打工，平均每小時工資5. 85美元，標準差為0. 35美元。工資呈現常態分配，若隨機選出一位打工先生，他的工資將少於5 在美國的速食店打工，平均每小時工資5.85美元，標準差為0.35美元。工資呈現常態分配，若隨機選出一位打工先生，他的工資將少於5.5元 / 每小時的機率

在美國速食店打工，平均每小時工資5. 85美元，標準差為0. 35美元。工資呈常態分配，若隨機選出一位打工人員，他的工資每小時介於5 在美國速食店打工，平均每小時工資5.85美元，標準差為0.35美元。工資呈常態分配，若隨機選出一位打工人員，他的工資每小時介於5.10美元與6.10美元間的機率

最近的一項調查，非洲人的壽命平均為53歲，標準差為7.5年，如果任意選出一位非洲先生， 求(1)他的壽命大於70歲的機率 (2)他將在60歲以前死亡的機率

一家公司員工之平均服務年資為13.5年，標準差為6.2年，若隨機選出一位員工，求 　(1)他的服務年資少於14年的機率 　(2)介於8到20年之間的機率 (3)少於5年的機率

美國的西北護理學校的平均入學考試成績為142分，標準差為16分。若該校只能夠接受前面15% 的入學申請者，請問一個護理人員能夠入學的最起碼分數為多少？