树的应用 离散数学─树 南京大学计算机科学与技术系

内容提要 表达式的（逆）波兰记法 二叉搜索树 决策树 前缀码 Huffman编码（算法）

表达式的根树表示  / /   用根树表示表达式：内点对应于运算符，树叶对应于运算分量。 举例：((x+y)2+ ((x-4)/3)

表达式的（逆）波兰表示法 (x+y)2+ ((x-4)/3) 前缀形式（波兰表示法） 后缀形式（逆波兰表示法） / 中缀形式 

中缀表示法的缺陷 中缀形式：x+y/x+3 / / 有3种解释: + (x+y)/(x+3) x+y/x+3 x+y/(x+3) + 不同的根树有相同的中缀形式。 前缀与后缀则有一定的唯一性。(p. 565: 26-27)

前缀表示法（波兰表示法） (x+y)/(x+3) x+y/x+3 / / /+xy+x3 + ++x/yx3 x+y/(x+3) 从右向左，遇到运算符，对右边紧接着的2个运算对象进行运算

后缀表示法（逆波兰表示法） (x+y)/(x+3) xy+x3+/ x+y/x+3 xyx/+3+ / / + x+y/(x+3) 从左向右，遇到运算符，对左边紧接着的2个运算对象进行运算

后缀表示法（逆波兰表示法） (a*(b+c)+d*(e*f))/(g+(h-i)*j) 逆波兰表示 / + 从左往右，遇到运算符，根据运算符所需运算分量个数确定前面的元素作为运算分量。 不需要括弧唯一地表示计算顺序。

后缀表达式求值 7 2 3 * - 4  9 3 / + 7 6 - 4  9 3 / + 1 4  9 3 / + 1 9 3 / + 1 3 + 4

复合命题的根树表示 命题：((pq))  (pq) p  q    后缀形式：pqpq

二叉搜索树 二叉搜索树满足下列条件 二叉树，各顶点的子女非左即右，左或右都不超过一个。 每个顶点有一个唯一的标号，该标号取自一个全序集。 若u是树中任意的顶点，则： u 的左子树中任意顶点的 标号小于u 的标号。 u 的右子树中任意顶点的 标号大于u 的标号。 9 8 7 6 5 3 2 1 4

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二叉搜索树算法 Procedure insertion(T: binary search tree, x:item) //定位或添加 v:=root of T //v可能为null if v=null then add a vertex to the tree and label it with x while v !=null and label(v) != x { if x < label(v) then if left child of v !=null then v:= left child of v else add new vertex as a left child of v and set v:=null else if right child of v !=null then v:= right child of v else add new vertex as a right child of v and set v:=null } if v is null then label new vertex with x and let v be this new vertex return v

决策树 这样的根树，每个内点对应一次决策，子树对应于 该决策的后果。根到树叶的通路为一个解。 举例：8枚硬币，其中7个等重，一个重量较轻的是伪币，使用天平找出伪币，至少多少次称重？ 3元树，至少2次称重才能确保找到。  ① ② ③ ④ ⑤ ⑥  ①  ②  ⑧  ⑦ ⑤ ④

决策树 以决策树为模型，排序算法最坏情形复杂性的下界。 基于二叉比较的排序算法至少需要log (n!)次比较。 n！个树叶，其二叉树的高度至少为log (n!) (n log n)

编码 如何从信号流中识别字符 等长度编码 vs. 不等长度编码 例子：对包含{a(45),b(13),c(12),d(16),e(9),f(5)}6个字符的10万个字符的数据文件编码，每个字符后面的数字表示该字符出现的频率(%)。 编码方案一：a(000), b(001), c(010), d(011), e(100), f(101); 则文件总长度30万字位。 编码方案二：a(0), b(101), c(100), d(111), e(1101), f(1100); 则文件总长度22.4万字位，空间节省四分之一。

不等长编码的分隔 如何从信号流中识别不等长编码表示的字符 显式表示长度：专用位或特定结束信号 匹配的唯一性（比如，前缀码） 如果符号串可以表示成符号串1和2的并置，则1称为的一个前缀。(注意：1和2可以是空串。) 设A={1,2,…,m}是符号串的集合，且对任意i,jA, 若ij, i与j互不为前缀，则称A为前缀码。 若A中的任意串i只含符号0和1, 则称A是二元前缀码。

用二叉树生成二元前缀码 生成方法 给边标号：对内点，对其出边标上号，左为0，右为1。 给叶编号：从根到每个树叶存在唯一的通路，构成该通路的边的标号依次并置，所得作为该树叶的编号。 给定一棵完全二叉树，可以产生唯一的二元前缀码。 0010 0011 01 10 11 000 1

最优前缀码 问题：二进前缀码A={1,2,…,m}表示m个不同的字母，如果各字母使用频率不同，如何设计编码方案可以使总传输量最少。 基本思想：使用频率高的字母用尽量短的符号串表示。 问题的解：若用频率(相对值)作为树叶的权，最佳二元前缀码对应的二叉树应该是最优二叉树。

最优二叉树 若T是二叉树，且每个叶v1,v2,…,vt带数值权w1,w2,…wt, 则二叉树T的权W(T)定义为： ti=1wil(vi), 其中：l(vi)表示vi的层数。 具有相同权序列的二叉树中权最小的一棵树称为最优二叉树。 2 2 2 5 2 2 2 3 3 5 3 3 3 3 5 3 3 5 2 2 W(T)=38 W(T)=47 W(T)=36 W(T)=34 注意：最优二叉树一定是完全二叉树（t2）

Huffman Coding (1952) 输入：正实数序列w1,w2,…,wt。 输出：具有t个树叶，其权序列为w1,w2,…,wt的最优二叉树。 过程： T棵根树（森林），其根的权分别是w1,w2,…,wt。 选择根权最小的两棵树，以它们为左、右子树（合并）生成新的二叉树，其根权等于2棵子树的根权之和。 重复第2步，直至形成一棵树。 注意：结果可能不唯一(如果“当前”权最小顶点对不唯一)。

霍夫曼编码: 举例 例子 ：开始序列：2,2,3,3,5 1步后：4,3,3,5 2步后：4,6,5 3步后：9,6 15 6 6 9 4 W(T)=34

一个应用示例 八个字符的传输问题 假设八个字符的频率如下： 则对应的权为： 0：25% 1: 20% 2: 15% 3: 10% 0：25% 1: 20% 2: 15% 3: 10% 4: 10% 5: 10% 6: 5% 7: 5% 则对应的权为： 5,5,10,10,10,15,20,25 1 1 1 20 01 25 1 11 1 10 10 1 15 001 100 101 10 1 0001 传送1个字符的加权平均长度：2.85 5 5 00000 00001

作业 教材[10.2, 10.3] p.551: 5, 8, 24, 26 p.564: 22, 23, 24

Huffman算法的正确性 设C是字母表，其中每个字符c的频率为f [c]。若x,y是两个频率最小的字符，则必存在C的一种最优前缀码，使得x,y的编码仅有最后一位不同。 T T’ T” y b x y a a y a b x b x T为任意最优前缀码 在上图的变换中，二叉树的权保持不变，即：W(T)W(T ’) W(T ”) W(T)

保持权不变的变换

Huffman算法的正确性（续） C是字母表，f [c]为字符c的频率，x,y是两个频率最小的字符。令C’=C-{x,y}{z}, f [z]=f [x]+f [y], 若T ’是C’的最优二叉树，则将顶点z替换为分支点，并以x,y为其子女，所得T是C的一棵最优二叉树。