第一节 单因素方差分析 第二节 双因素方差分析 第三节 正交实验设计及方差分析 第五章 方差分析 第一节 单因素方差分析 第二节 双因素方差分析 第三节 正交实验设计及方差分析

在试验中，因素是否对试验有影响以及在因素对试验有影响的条件下影响的大小，怎样才能使试验结果达到较好效果的研究就是方差分析。

第一节 单因素方差分析 相关概念 指标：试验中考察的对象的某种特征指标。 因素：试验条件可分为可控制的与不可控制的，称可控的试验条件为因素。 水平：因素所处的状态。 处理：选择一个水平。 单因素试验：一个试验中只有一个因素在变化。 双因素以及多因素试验：试验中有两个或更多个因素在变化。

数学模型 例1 有 三个厂生产同种型号的电池，为评定质量，今从各厂的产品中分别抽取5只电池，测得其寿命（单位：h），如下表所示。试问各厂生产的电池的平均寿命是否有显著差异？ 表5-1 电池使用寿命数据 电池寿命 实验号 工厂 1 2 3 4 5 51 57 64 45 41 72 36 48 65 49 54

分析： 表5-1 数据来自三个不同的总体，将各总体的均值记为 ，由题意知，问题要检验假设 上一章介绍的两个总体均值的检验方法已经不再适合，因为这里是三个总体的均值的比较，对此，方差分析是一种有效的方法。

设因素 有 个水平 ，在各水平下进行 次独立试验，试验记录如表5-2 设因素 有 个水平 ，在各水平下进行 次独立试验，试验记录如表5-2 表5-2 单因素实验资料表 样本 实验号 水平 1 和 平均 和 其中 表示在第 水平 下进行第 次试验的可能结果。表中后三列是试验数据进行初步处理得到的资料。

试问：各不同水平对实验结果是否有显著差异？ 假设各水平 下的样本 取自具有相同方差 ，均值分别为 的正态总体 ， 未知；并且设不同水平下的样本相互独立。于是 ，记 ，引入如下线性模型： （5.1） 上述模型的待检假设为： （5.2）

记 （5.3） 称 为总均值， 为水平 的效应。 可知

于是，模型（5.1）就可改为 （5.4） 相应的假设检验就变为： （5.5）

离差平方和的分解及统计检验 记 （5.6） 称 为第 组的样本均值， 为样本总均值。 记 （5.7） 称 为总离差平方和。

总离差平方和的分解 记 （5.8） 则有 （5.9）

可以证明： 和 相互独立， 都服从 分布，各自的自由度 满足 其中 的各项 表示各组的加权样本均值 与样本总均值 的差，称 为组间平方和；它反映了从各不同水平的总体中取出的各样本之间的差异。 表示从每一个总体中所取得样本内部的离差平方和，称 为组内平方和（或误差平方和），它反映了试验过程中有随机因素所引起的随机误差。 当 为真时，由于 ，且相互独立，于是 （5.10） 可以证明： 和 相互独立， 都服从 分布，各自的自由度 满足

由于，若组间变差比组内变差大得多，则说明因素的不同水平间有显著差异，应拒绝 。否则，说明个水平的效应差异不显著，可接受 。为此，选取统计量 由于，若组间变差比组内变差大得多，则说明因素的不同水平间有显著差异，应拒绝 。否则，说明个水平的效应差异不显著，可接受 。为此，选取统计量 （5.11） 可以证明：在 为真时 （5.12）

，计算统计量 ，若 ，说明小概率事件发生了，此时，拒绝 ，否则接受 . 对于给定的显著性水平 ，查 分布的分位数表 ，计算统计量 ，若 ，说明小概率事件发生了，此时，拒绝 ，否则接受 . 对于给定的显著性水平 ，利用上述方法做出接受或拒绝 的决定称为方差分析。将方差分析过程中的计算结果列成表，称方差分析表。 表5-3 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方和 值 的临界值 组间 组内 总和

方差分析的一般步骤 (1)根据问题的要求提出要检验的假设 ； （2）选择检验的统计量 ，并找出在 成立的条件下，该统计量所服从的概率分布； （3）根据所给的显著性水平 ，查分位数表 ； （4）用样本值计算统计量 的值； （5）将结果列成表，比较统计量的值 是否大于 ，若是，拒绝 ，否则接受 。

方差分析的格式和例题 1.计算离差平方和、自由度 记

2.列表进行方差分析 方差来源 平方和 自由度 值 的临界值 组间 组内 总和

例1 有 三个厂生产同种型号的电池，为评定质量，今从各厂的产品中分别抽取5只电池，测得其寿命（单位：h），如下表所示。试问各厂生产的电池的平均寿命是否有显著差异？ 表5-1 电池使用寿命数据 电池寿命 实验号 工厂 1 2 3 4 5 51 57 64 45 41 72 36 48 65 49 54

列表如下 方差来源 平方和 自由度 值 的临界值 组间 2 组内 12 总和 14

第二节 双因素试验的方差分析 概念 无交互作用的双因素试验的方差分析 模型 交互作用：统计上学把多因素不同水平搭配对试验指标的影响称为交互作用。 注意：交互作用的效应只有在重复试验中才能分析出来，在无重复试验中，由于交互作用与实验误差混在一起，因而无法分析交互作用的大小。 无交互作用的双因素试验的方差分析 模型 设在某一试验中有两个因素对试验指标 有影响。因素 有 个水平： ； 因素 有 个水平： 。这样， 和 的不同水平组

合 共有 个 ，每个水平组合成为试验的一个处理。每个处理只作一次观测，共得观测值 个，全部结果记录如表5-4 合 共有 个 ，每个水平组合成为试验的一个处理。每个处理只作一次观测，共得观测值 个，全部结果记录如表5-4 表5-4 双因素无重复试验资料表 样本 因素 B 因素A 和 平均值 和 平均值

两因素A、B的差异是否对结果有显著性影响。 问题 两因素A、B的差异是否对结果有显著性影响。 假设 是相互独立且服从正态分布 的随机变量， 和 没有交互作用。 数学模型 （5.18） 其中 是 个总体数学期望的总平均。 表示 的第 水平 对试验指标的效应； 是 的第 个 水平 对试验指标的效应。

分析 A和B的差异影响是否有统计意义就等价于检验假设: （5.19） （5.20） 离差平方和的分解及统计检验

结合（5.18），可以知道 其中 则总离差平方和 （5.21）

其中 （5.22） 可以看出： 反映了因素 对实验结果的影响， 反映了因素 对试验结果的影响， 反映了除去因素 的效应后的其它因素对试验结果的影响。

离差平方和的分布 因此，在 成立时，统计量 （5.23）

在假设 成立时， 统计量 （5.24）

表5-5 双因素无重复试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 值 的临界值 因素A 因素B 误差 总和

计算步骤 1.计算离差平方和、自由度 离差平方和 自由度

注意：为了简化计算，有时可将 减去同一个数，甚至可以同乘以同一个非零常数。可以证明，这样不会影响方差分析的结果。 2.列表进行方差分析 方差来源 平方和 自由度 均方和MS 值 临界值 统计意义 因素A 因素B 误差 总和 注意：为了简化计算，有时可将 减去同一个数，甚至可以同乘以同一个非零常数。可以证明，这样不会影响方差分析的结果。

例1 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位kg·m/cm), 表5-6 列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著（ ）？ 冲击值 铜含量 试验温度 0.2% 0.4% 0.8% 和 平均值 20℃ 0℃ -20℃ -40℃ 10.6 11.6 14.5 7.0 11.1 13.3 4.2 6.8 11.5 4.2 6.3 8.7 36.7 12.23 31.4 10.13 22.5 7.5 19.2 6.4 和 26.0 35.8 48.0 =109.8 平均值 6.5 8.95 12.0

方差来源 平方和 自由度 均方和 F值 临界值 温度作用A 64.58 3 21.53 23.78 9.78 铜含量作用B 60.74 2 30.37 33.56 10.92 试验误差E 5.43 6 0.905 总和 130.75 11

有交互作用的双因素试验的方差分析 模型 问：两因素A、B以及它们的组合（A×B）的差异是否对结果有显著性影响。

表5-8 双因素有重复试验资料表 实验 因素 B 结果 因素A

A和B的差异影响及其交互作用作用（AB）的影响是否有统计意义就等价于检验假设: 离差平方和的分解及统计检验

则总离差平方和 （5.28）

其中 可以看出： 反映了因素 波动对实验结果的影响； 反映了因素 波动对试验结果的影响； 反映了因素 和 的交互作用对试验结果的影响； 反映了除去前述因素的效应后的试验误差对试验结果的影响。

离差平方和的分布 因此，在 成立时，统计量 （5.30）

在假设 成立时， 统计量 （5.31） 在假设 成立时， 统计量 （5.32）

表5-9 双因素有重复试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方和 值 的临界值 因素A 因素B 因素A×B 误差 总和

计算步骤 1.计算离差平方和、自由度 引入

于是有

2.列表进行方差分析 表5-10 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方和 值 的临界值 因素A 因素B 因素A×B 误差 总和

例2 某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同的氧化锌，在每种配方下各做两次试验，测得300%定强值如表5-11，试分析促进剂、氧化锌以及它们的交互作用对定强值是否有显著性影响(取显著性水平为0.01，0.05）？ 表5-11 橡胶定强值数据表 氧化锌 （B） 促进剂（A） 31 33 33 34 35 37 34 36 36 37 37 38 35 36 37 39 39 40 39 38 38 41 42 44

表9-11 橡胶定强值数据表 B A -6 -4 -4 -3 -2 0 -3 -1 -1 0 0 1 -2 -1 0 2 2 3 2 1 1 4 5 7 72 47 92

计算得 列表如下 方差来源 平方和 自由度 均方和 F值 因素A 56.6 2 28.3 19.4** 3.89 6.93 因素B 132.2 3 44.1 30.2** 3.49 5.95 因素A×B 4.7 6 0.78 0.53 3.00 4.82 误差 17.5 12 1.16 总和 211

可以看出：A（促进剂）和B（氧化锌）的不同水平对橡胶定强值具有显著的影响，而A（促进剂）和B（氧化锌）的交互作用则对定强值没有显著性影响。这种情况下，交互作用通常合并到随机误差中一并处理。