第3章 利率、現值、終值與年金

本章介紹財務金融之基本概念，即「貨幣的時間價值」，對利率的決定，折現與複利等做一詳盡的介紹。重點包括： 利息的形成：利息乃犧牲現在的消費所換得的報酬。 單利與複利的差別 終值與現值的關係 年金 貸款之本利攤還 有效利率

本章大綱 利息的形成 單利與複利 年金 貸款之本金分期攤還 有效利率 購屋及租屋規劃

利息的形成 利率即代表了「等待的價格」(The Price of Waiting)。 利率可說是資金的價格，即借款者與貸放者在資金價格上達成協議時，便，便決定了均衡利率，如圖3.1所示。

圖3.1 利率之高低取決於金融市場中資金之供需

圖3.2則說明了金融市場如何使人在目前及未來之消費間做一交換。

單利與複利(1/3) 若只對本金計算利息，未來賺得之利息不再孳生利息，稱為單利；但若將未來賺得之利息納入本金之中計算其利息，即所謂之「利滾利」，則稱為複利。 單利 若小張將今日所得1,000元，以單利每年10%存入銀行，則其一年、二年、三年後之本利和各為多少呢？ 複利 若小張將今日所得1,000元，以複利每年10%存入銀行，則他一年、二年、三年後之本利和又各為多少呢？

一般而言，若無特別條款聲明，金融市場上之習慣皆以複利為主； 定存與一般公司債發行，則通常為固定利率(Fixed-Rate)，因此多數公司偏好於市場利率低迷時，發行公司債以鎖定長期低成本之資金。 近年來，政府公債變動利率(Adjustable-Rate)之選擇，即為投資者免除通貨膨脹(Inflation)風險之設計。 在台灣購屋貸款，銀行只提供浮動利率房貸(Adjustable-Rate Mortgage, ARM)，完全將利率變動的風險轉嫁給借款人(購屋者)負擔，台灣金融界之所以提供單一選擇的原因，牽涉到整個金融體系之制度及不動產抵押債權之流動性等問題，這些主題將於本書第九章之不動產抵押權貸款分析及第十章之不動產與金融資產證券化再進行更深入的討論。

終值與現值 終值 小張今將本金1,000元以10%年利率存入銀行，其十年後可得： 本利和＝1,000×(1＋10%)10＝2,593.74（元） 在此十年後之本利和即為終值(Future Value, FV)或未來值，1,000元之本金即為現值(Present Value, PV)。

單利與複利(2/3) FVn ：n期後之終值；PV：現在的金額或現值；i：每期利率；n：期數；FVIF(i, n)：終值利率因子。 可自Excel軟體中之「插入」功能選擇函數中之財務類別計算終值(FV)，即FV(Rate, Nper, Pmt, Pv, Type)。其中，Rate：每期利率；Nper：總期數； Pmt：每期年金； Pv：現值額度；Type：給付或收入時點，0或省略為期末，1為期初。 1626年，米努特以價值約24美元之商品向印第安人買下了曼哈頓島。若以每年10%的複利來分析，你認為印第安人是否受騙了呢？

單利與複利(3/3) 現值 小陳預計在十年後存得50萬元以供子女教育所需，則在年利率10%的情況下，小陳目前應存入多少元呢？ 其中，PVIF(i, n)=折現利率因子(Present Value Interest Factor, PVIF)。 自Excel中選擇函數現值(PV)之計算，即PV(Rate Nper, Pmt, Fv, Type)。其中Rate：每期利率；Nper：總期數； Pmt：每期年金；Fv：終值額度；Type：給付或收入時點，0或省略為期末，1為期初。

年金(Annuity) 年金指的是在某一特定期間內，定期支付或領回某一特定額度之現金流量。 期末開始支付或領回者，稱為普通年金；期初即開始支付或領回者，則稱為期初年金。 一般保費及房租等，多屬期初年金。 年金終值 年金現值 永續年金

年金終值(1/3) 小張於每年底存16,000元，年利率10%，則五年後小張可領回多少？ 則普通年金之終值可以下列通式表示：

年金終值(2/3) 若上例中小張決定於每年初存16,000元，年利率為10%，則五年後小張可領回多少呢？ 這就是「期初年金終值」的概念。 此例之Excel解法為(Type選1，為期初)： FV(0.1,5-16,000,0,1)=107,449.76

年金現值(1/3) 年金現值指的是現在支付或領回一金額，未來之特定期間內每一期可領回或需支付多少，亦即未來期間內各期年金之總現值。 小王工作數年後，決定再回到學校修習財金系學士學位，如果財金系每年之學費約為10萬元（假設於每年底支付），預計四年可畢業，則小王目前手上應有多少錢才足以負擔未來四年的學費呢？

年金現值(2/3) 普通年金之現值可以下列通式表示： PVIFA(i, n)為年金現值利率因子。

年金現值(3/3) 此例中，小王未來四年每年（底）需支付學費10萬。 此例之Excel解法為(Type選1，為期初)： PV(0.1,4,-100,000,0,1)=348,685.2

永續年金 有一種特殊年金，其沒有到期日或期限，我們稱之為永續年金。 永續年金之現值為；

貸款之本金分期攤還 年金現值指的是某一期間內的年金在目前的價值，而年金現值因子PVIFA(i, n)則為期間內每期1元的年金在目前值多少的概念。 購物後本金的分期攤還貸款(Loan Amortization)，如買房子、汽車等消費，這種付款方式可解釋為「現在若干金額(即現值)，未來某期間內每期應償還多少錢(即年金)」，恰與年金現值的概念相反。

貸款之本金分期攤還(1/3) 本金的分期攤還貸款，可解釋為「現在借若干金額（即現值），未來某期間內每期應償還多少錢（即年金）」的意涵，恰與年金現值的概念相反。 貸款之平均攤還因子恰為年金現值因子之倒數，此因子稱為貸款常數或抵押貸款常數，即在特定的利率及貸款期限下，目前每借1元，未來每期應攤還的貸款支付額。 。 貸款未來每期之攤還金額為：

實際演練 3.2

貸款之本金分期攤還(2/3) Excel中選擇函數年金(PMT)之計算，即 PMT(Rate Nper, Pv, Fv, Type)。其中Rate：每期利率；Nper：總期數；Pv：現值額度；Fv：終值額度；Type：給付或收入時點，0或省略為期末，1為期初。 此例之Excel解法即為： PMT(0.01,24,2,000,000)= -94,146.94 在目前貸款200萬元，月利率為1%，以二十四個月平均攤還之情況下，小陳每個月應支付94,146.94元償還貸款。

表3.3 分期平均償還貸款之運算

貸款之本金分期攤還(3/3) 在第二十期支付的情形為： 自Excel中選擇函數某期本金金額(PPMT)之計算，即PPMT(Rate, Per, Nper, Pv, Fv)。其中Rate：每期利率；Per：特定之某期期數；Nper：年金總期數；Pv：現值額度或期初貸款額；Fv：終值額度或期末貸款餘額，省略即表示0。 第二十期本金額之Excel解法為： PPMT(0.01,20,24,2,000,000,0)= -89,577.59 自Excel中選擇函數某期利息金額(IPMT)之計算，即IPMT(Rate, Per, Nper, Pv, Fv)。 第二十期利息額之Excel解法為： IPMT(0.01,20,24,2,000,000,0)= -4,569.36

實際演練 3.3(1/5)

實際演練 3.3(2/5)

實際演練 3.3(3/5)

實際演練 3.3(4/5)

實際演練 3.3(5/5)

圖3.6 貸款1,000萬元，年利率10%，三十年內按月平均攤還貸款下每月之償還額、利息及本金支出

有效利率 小陳的例子中，其貸款年利率為12%，但複利期間卻以「月」為時間單位。 每年十二個月，複利十二次，表示小陳貸款之有效年利率為： (1＋1%)12－1＝12.68% 有效年利率之通式為：

實際演練 3.4

實際演練 3.7

FV ＝ 2PV ＝ PV × （1+10%）n 2 ＝（1.1）n ，求n 以試誤法逼近，得： （1.1）7 ＝1.95 （1.1）8 ＝2.14 在用內插法得n = 7.26

實際演練 3.8

1000000 = 300000 × PVIFA(i,5) PVIFA(i,5) = 3.3333 查附錄表四 PVIFA(15%,5) = 3.3522 PVIFA(16%,5) = 3.2743 在用內插法求i

購屋及租屋規劃 常用來評估購屋或租屋的方法為「年成本法」及「淨現值法」。 「年成本法」即為租屋與購屋之間所需支出的成本比較，在暫不考慮未來房價漲跌及自有住屋之心裡面滿足的情形下，選擇成本較低的方式達成居住的需求。 租屋需考慮的相關成本或因素通常為：(1)每年租金；(2)押金之機會成本利息(如銀行之定存利率)；及(3)每年綜合所得稅中房租支出之列舉扣除額(最高12萬元)。 購屋的每年相關成本或考慮因素則為：(1)貸款利息支出(為貸款額乘以貸款年利率)；(2)期初自備款之機會成本(如銀行之定存利率)；(3)房屋稅及土地稅；(4)綜所稅中房貸利息支出之扣除額(最高30萬元)。

購屋及租屋規劃 淨現值法 其中，CF1~n為未來各期現金流量；CF0為期初投入自有資本，k為自有資本必要報酬率。 租屋(支出)之淨現金流量之現值總和=每期租金×年金現值利率+期初押金-到期退還押金之折現值。 購屋之淨現金流量之現值總和(正值為收益，負值為支出)=期末售屋淨所得之現值(含扣除當時之貸款餘額)-期初購屋自備款-貸款期間每期所還利息及本金償還之折現值。 可能影響之變數為未來租金變動、房價變動(增貶值)與利率變動之趨勢。

年成本法(1/2) 經濟面 租屋相關成本或考慮因素： 租金。 押金（之利息）。 房租扣除額（每年最高12萬元）。 租金漲跌趨勢與租屋市場之供需有關。 購屋相關成本或考慮因素： 本金（自備款）額度。 貸款利息（為簡單起見，以貸款餘額(L×適用利率)i計）。 房貸利息扣除額（每年最高30萬元）。 未來房價漲跌（增貶值）趨勢：與經濟成長率、區域規劃與建設、貨幣供給額、通貨膨脹率、相關成本有關。

年成本法(2/2) 心理面 評估過程 租屋之年成本總計（每月租金×12＋押金×年利率機會成本）。 購屋之年成本總計（貸款額(L)×適用利率(i)＋自備款×年利率機會成本＋房屋稅＋土地稅）。 再考慮房貸利息扣除額最高30萬元，租屋扣除額最高為12萬元，二者間之「稅盾」差異為18萬元，再乘上稅率。 缺點：(i)未考慮租屋未來租金是否調整及不安全感；(ii)未考慮購買房價未來折舊貶值或增值的潛力。

淨現值法 淨現值之介紹： 其中，CF1～n為未來各期現金流量；CF0為期初投入自有資本，k為自有資本必要報酬率。

實際演練 3.10(1/5)

實際演練 3.10(2/5)

實際演練 3.10(3/5)

實際演練 3.10(4/5)

實際演練 3.10(5/5)

小華每月收入6萬元，現有存款100萬元，可為購屋時之自備款，若他可向銀行借得貸款之利率為6%，二十年內按月攤還，則你是理財規劃師(CFP)，建議他每月貸款額勿超過收人之三分之一，則你認為小華可負擔的房價為多少，才不會有過重的壓力？

期初貸款額度：20000 / [MC (0.5%=6%/12,240=20*12)=2793296 適合房價＝自備款+期初貸款額度=1000000+2793296=3793296

作業 選擇題1.2.3.4.5 簡答及計算8.9.10.11.12.13.14.15.16 本章作業較多分兩次（選擇及簡答8.9.10為一次;其他為另一次）