第四章 貨幣時間價值 第一節 單筆金額之現值與未來值 第二節 年金之時間價值 第三節 非等額現金之計算 第四節 有效利率之計算 第五節 貨幣時間價值之應用

貨幣時間價值的計算方式：  利用公式   查表  財務計算機：如 Casio FC-200 或 HP 10B。  電腦軟體：如 EXCEL。

第一節 單一金額之現值與未來值 複利的計算 $1,000  (1.1)4 = $1,464。 PV‧(1+i)n = FVn 。 期別 0 1 2 3 4 ├─────┼─────┼─────┼─────┤ 利率 10% 金額 -$1,000 1,100 1,210 1,331 1,464 └─────┘└────┘└────┘└────┘ 利率  1.1  1.1  1.1  1.1 └─────────┬───────→  現值 $1,000 (1.1)4 = 未來值 $1,464 $1,000  (1.1)4 = $1,464。 PV‧(1+i)n = FVn 。 PV‧(FVIFi,n) = FVn 。

複利示意圖

未來值的變動

現值的變動

 例、[單一金額現值]  若年利率固定為 6%，某人希望 5 年後有 $50,000 收入，則目前應存入的金額為何？  例、[單一金額現值]  若年利率固定為 6%，某人希望 5 年後有 $50,000 收入，則目前應存入的金額為何？ 0 1 2 3 4 5 ├──┼──┼──┼──┼──┤ 利率 = 6% PV $50,000 PV = FV  PVIF 6%,5 = $50,000  0.7473 = $37,365。 Casio FC-200 計算機 0 EXE SHIFT AC EXE (清除資料) 50,000 → FV 6 → i% 5 → n COMP PV EXE → -37,362.91

 例、[單一金額利率]  現在存 $6,830 於 C 銀行，以年利率複利計算，4 年後會有 $10,000 之收入，則 C 銀行之年利率為何？ Casio FC-200V 計算機 CMPD (複利) Set: Begin n = 4 EXE PV = (-)6,830 EXE FV = 10,000 EXE P/Y = 1 EXE C/Y = 1 EXE I% SOLVE → 10.0005 FV = PV  FVIFi,4 = $6,830  (1+i)4 =$10,000 i = 10%。

第二節 年金之未來值與現值 1. 一般年金 (Ordinary Annuity) 一般年金示意圖 未來值 0 1 2 3 ... n 第二節 年金之未來值與現值 1. 一般年金 (Ordinary Annuity) 0 1 2 3 ... n ├──┼──┼──┼────────┤ 利率 = i PMT PMT PMT ... PMT PVAn FVAn 一般年金示意圖 未來值

現值

 例、[年金之現值] 年金共 5 期，PMT = $100，i = 10%。 一般金年現值示意圖

「給父親的感謝信」的啟示 － 養兒防老？妳/你要準備多少退休金？

 例、[年金之現值]  某房東每年底須花費 $10,000 整修房屋，租賃契約 4 年，以整存零付支付整修費，若年利率固定為 8%，則目前應存入多少？ 0 1 2 3 4 ├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 8% PV -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 PV = FV  PVIF 8%,4 = $10,000  3.3121 = $33,121。

Casio FC-200V 計算機 CMPD (複利) n = 4 EXE I% = 8 EXE PMT = -10,000 EXE FV = 0 EXE P/Y = 1 EXE C/Y = 1 EXE PV SOLVE → 33,121.27 Casio FC-200 計算機 0 EXE SHIFT AC EXE (清除資料) (-) 10,000 → PMT 8 → i% 4 → n COMP PV EXE → 33,121.2

2. 期初年金 (Annuity Due) 期初年金示意圖 0 1 2 3 ... n -1 n ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i PMT PMT PMT PMT ... PMT 0 PVAn FVAn 期初年金示意圖

 例、[期初年金未來值]  每年年初買進一張 (1,000 股) K 公司股票 (面額 $10) ；如果 K 公司每年發放股票股利 $2，到了第 5 年年底會擁有多少K 公司的股票？ 0 1 2 3 4 5 ├───┼───┼───┼───┼───┤ i = 20% -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 FVA FVA = 1,000  FVIFA 20%,5  1.2 = 1,000  7.4416  1.2 = 8,930。 Casio FC-200 計算機 0 EXE SHIFT AC EXE (清除資料) SHIFT BGN (設定為期初模式) (-) 1,000 → PMT 20 → i% 5 → n COMP FV EXE → 8,930

3. 分期付款 (Amortization)  例、[分期付款]  以固定利率 4% 向銀行貸款 $2 百萬，為期 10 年，每年年底須支付相同金額。  每年應還金額為何？  若第三年年底想償還所有貸款，則應還金額多少？ 0 1 2 3 ... 9 10 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = 4% $2百萬PMT PMT PMT ... PMT PMT

 $2 百萬 = PMT  PVIFA 4%,10 = PMT  8.1109， PMT = $245,582。 Casio FC-200 計算機 0 EXE SHIFT AC EXE (清除資料) 2,000,000 → PV 4 → i% 10 → n COMP PMT EXE → -245,582  $2 百萬 = PMT  PVIFA 4%,10 = PMT  8.1109， PMT = $245,582。 Casio FC-200V 計算機 CMPD (複利) n = 10 I% = 4 PV = 2,000,000 FV = 0 P/Y = 1 C/Y = 1 PMT → -246,581.9

 第三年年底應還金額： 第三年年底應償還 $246,582 + 1,479,998 = $1,726,580 。 － (1) (2) (3) =(1)4% (4) = (2)-(3) (5) = (1)-(4) 項目 期初餘額 (Beginning) 每年金額 (Payment) 利息費用 (Interests) 償還本金 (Principal Paid) 期末餘額 (Ending) 第一年 $2,000,000 246,582 80,000 166,582 1,833,418 第二年 $1,833,418 73,337 173,245 1,660,173 第三年 $1,660,173 66,407 180,175 1,479,998 第三年年底應償還 $246,582 + 1,479,998 = $1,726,580 。

Casio FC-200V 計算機 (分期付款) PM1 = 3 PM2 = 3 n = 10 I% = 4 PV = 2,000,000 PMT = -246,581.9 P/Y = 1 C/Y = 1 BAL → 1,479,99

4. 永續年金 (Perpetuity)  例、[永續年金]  大大公司發行特別股，每年支付股利 $2,000，必要報酬率 10%，則其理論股價應為何？

第三節 非等額現金之計算 0 1 2 3 ... 9 10 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i 第三節 非等額現金之計算 0 1 2 3 ... 9 10 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i CF1 CF2 CF3 ... CFn-1 CFn PV FV

第四節 複利之計算  例、[有效利率之計算 ]  某信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？ 第四節 複利之計算  名目年利率 (Nominal Annual Rate)： inom，掛牌利率。  每期利率 (Periodic Interest Rate)： inom /m， m 為計算次數。 有效年利率 (Effective Annual Rate)： EAR (ieff)，實際年利率。  例、[有效利率之計算 ]  某信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？

2. 無限次數的有效年利率

第五節 貨幣時間價值之應用  例、[單一金額未來值之應用]    甲國的年經濟成長率為 2%。  乙國的年經濟成長率為 12%。 第五節 貨幣時間價值之應用  例、[單一金額未來值之應用]    甲國的年經濟成長率為 2%。  乙國的年經濟成長率為 12%。 甲國目前的國民生產毛額為乙國的五倍，乙國多少年之後國民生產毛額將會超過甲國？ 0 n ├────────┤ PV=1 FV=5 GNP甲‧(1.02)n  GNP乙‧(1.12)n ， 5 GNP乙‧(1.02)n  GNP乙‧(1.12)n ， 5 ‧(1.02)n  (1.12)n ， 5  (1.12/1.02)n 5  (1.098)n，  n = 17.21。 Casio FC-200 計算機 (-) 1 → PV 5 → FV 9.8 → i% COMP n EXE → 17.21

 例、分期付款年金利率之比較新車，現金售價 $120 萬：  甲公司－交車一個月後每個月月底應付 $73,178 (無頭期款)，共付一年六個月(18 期)。  乙公司－交車兩個月後每二個月月底應付 $132,198 (無頭期款)，共付 10 期。 甲或乙公司之分期付款對消費者較有利？ 甲公司： $1,200,000 = ($73,178)  PVIFAi,18，一個月利率 = 1% 有效年利率 = (1.01)12 - 1 = 12.68%。 乙公司： $1,200,000 = ($132,198)  PVIFAi,10，二個月利率 = 1.8% 有效年利率 = (1.018)6 - 1 = 11.30%。  乙公司利率較低，應選擇乙公司。