第07章 選擇權之評價模式 1

本章大綱 選擇權契約之組成要素 選擇權評價模式 Black-Scholes模式 B-S模式參數之應用 二項式選擇權評價模式 2

選擇權契約之組成要素 選擇權契約之組成要素，包括標的物、到期日、履約價格(exercise price)或執行價格(strike price)及權利金(premium)。 3

選擇權契約之組成要素 標的物 選擇權之標的物可分為實質資產及金融資產。 實質資產包含貴金屬（金、銀及鑽石等）、能源（石油及天然氣等）與農產品（黃豆、小麥、玉米及棉花等）。 金融資產則包括股票、債券及貨幣等。 這些標的物若為現貨，則稱為「現貨選擇權」，以現貨市場為履約執行標的物。 若標的物為期貨，則稱為「期貨選擇權」(future option) 。 若標的物為交換契約(swap)，則稱為「交換選擇權」(swaption)。

選擇權契約之組成要素 到期日 「到期日」(expiration date)，又稱為「失效日」。 距到期日時間愈長，表示選擇權買方享有之執行期 間，或得以等待對其有利之價格波動時間愈長，選 擇權價值愈高，此價值稱為「時間價值」(time value)。 時間價值會隨著接近到期日遞減，過了到期日，其 時間價值即為零。 5

選擇權契約之組成要素 履約價格 「履約價格」又稱為「執行價格」，表示選擇權買 方向賣方鎖定未來交易（買進或賣出）之事先約定 價格。 不同履約價格的選擇權具不同的價值。 對買權而言，履約價格愈低（即鎖定的買價愈低）， 此選擇權價值愈高。 對賣權而言，履約價格愈高（即鎖定的賣價愈高）， 此選擇權價值愈高。 6

選擇權契約之組成要素 權利金 選擇權的買方有「權利」選擇在對其有利的時候執行 契約，期貨及遠期契約則是不論如何均須履約。 在選擇權契約中，要享受權利即需在期初付出「權利 金」。 對買權而言，標的物的市場價格愈高，其權利金愈高。 履約價格愈高，表示鎖定之買價愈高，其權利金愈低。 無風險利率(risk-free rate, rf)愈高，表示買權買方未 來行使購入權利時所「支付」的履約價格之折現值愈 低，如同執行價格愈低，故買權之價格愈高。 7

選擇權契約之組成要素 對賣權(put option)而言，標的物的市場價格愈高，其 權利金愈低。 履約價格愈高，表示鎖定之賣價愈高，其權利金也愈 高。 無風險利率(rf)愈高，表示賣權買方未來行使賣出權利 時所「收取」之現金流入的折現值愈低，故賣權之價 格愈低。 不論對買權或賣權而言，權利期間愈長，買方可等待 標的物價格波動至對其有利的部位愈久，故權利金愈 高。 標的物之波動性（可以標準差σ衡量）愈大，表示標的 物可能上漲或下跌之幅度愈大，故權利金愈高。 8

選擇權價值來源 價內 價平 價外 買權 S > K 內含價值大於0 S = K 內含價值等於0 S < K 賣權

影響買權及賣權權利金之因素及方向 因素 買權價值 賣權價值 標的資產價格 ＋ － 履約價格 存續期間 現貨波動率 無風險利率 股利

選擇權評價模式 買權賣權平價模式之推導 在歐式選擇權（到期才執行）的假設下，投資 人甲原先擁有一投資組合標的物，市價為S。 甲預期在標的物未來市價下跌時將面臨風險， 因此買入此標的物之賣權(P) 。 因買入賣權需支付權利金，所以藉由賣出買權 (C)賺回權利金。 在此三個動作下，於到期日履約時，不論標的 物之市價為何，此一投資組合之價值均相同。 11

選擇權評價模式 對期初(T＝0)而言，到期時之K值將需折現，在 一般情況年利率每年為r，則可得以下買權賣權 平價關 係： 在連續複利下，買權賣權平價關係為： S＋P－C＝K × e-rt 12

例1 若在2008年1月21日之DRAM指數買權之收盤價為2.9 元，當天DRAM指數收盤價為25元，其執行價格為 24.2元，4月21日到期（剩90天到期），假設利率為 5%，求在相同條件下，DRAM指數賣權之理論價格為 何？ Ans: 　已知 K＝24.2 ，C＝2.9，S＝25 故P＝C－S＋K×e-rt ＝2.9－25＋24.2×e-5%×0.2446 　 ＝1.8 DRAM指數賣權之理論價格為1.8元。 13

Black-Scholes模式 B-S模式需符合以下幾點假設： 為歐式選擇權，即只能在到期日履約。 標的股票不會違約。 資本市場為完美市場，即無稅賦或其他交易成 本，股票價格無上、下限，且股票可無限制分 割交易。 標的股票不發放股票或現金股利。 標的股票之股價過程符合「對數常態」(log normal)分配。 無風險利率及股價報酬率的波動率固定。 14

Black-Scholes模式 B-S模式之分析 C＝S×N(d1) －K×e-rt×N(d2) 其中，C：目前買權價格 S：目前標的物股價 　　　 N(d1) ：隨機變數小於d1的累積機率總和 　　　 N(d2) ：隨機變數小於d2的累積機率總和 15

Black-Scholes模式 而 更簡單地來看B-S模式，當某一機率下之標的物市 價(S)需大於某一機率下的買權執行價格(K)時，買 權(C)才有正的價值。 16

例2 若A股買權是以A股票為標的資產之歐式買權， 且A股目前股價為60元，買權之履約價格為65 元，目前距選擇權到期日半年，若A股股價報 酬率的年波動率為30%，假設無風險年利率為 2%，試以B-S模式求算A股買權之理論價格。 Ans: 　S＝60，K＝65，T＝0.5，σ ＝0.3，rf＝2% 　(1)先求d1： 17

例2 Ans: 　S＝60，K＝65，T＝0.5，σ ＝0.3，rf ＝2% 　(1)先求d1：

例2 查附錄之累積標準常態分配表，得： N(d1)＝N(－0.224) ＝0.41 N(d2)＝N(－0.436) ＝0.332 19

例2 (2)將N(d1)及N(d2)套入B-S模式中： C＝S×N(d1) －K×e-rt×N(d2) ＝24.6－65×0.99×0.332 ＝3.23

Black-Scholes模式 B-S賣權模式 應用「買權賣權平價關係」，則可求得B-S歐式賣 權之理論解。 P＝C＋K × e-rt－S C＝S×N(d1)－K×e-rt×N(d2) P＝S×N(d1)－K×e-rt×N(d2)＋K×e-rt－S ＝K×e-rt×[1－N(d2)] －S[1－ N(d1)] 21

Black-Scholes模式 (2)將N(d1)及N(d2)套入B-S模式中： C＝S×N(d1) －K×e-rt×N(d2) ＝24.6－65×0.99×0.332 ＝3.23

Black-Scholes模式 且由於標準常態為左右對稱，因此 1－ N(d1) ＝ N(－d1) 故上式可改寫為： P＝K×e-rt×N(－d2) － S× N(－d1) 更簡單地來看「B-S賣權模式」，當某一機率下之 賣權執行價格(K)需大於某一機率下的標的物市價 (S)，賣權(P)才有正的價值。 23

例3 承上例，試以B-S模式及「買權賣權平價 關係」求A股之歐式賣權之理論價格。 Ans: 　 P＝ K×e-rt×[1－N(d2)] －S[1－ N(d1)] ＝65×e-0.025×0.5×[1－0.332] －60[1－ 0.41] ＝65×0.99×0.668－35.4 ＝7.59 故A股賣權之理論價格為7.59元。 24

B-S模式參數之應用 Delta係數、Gamma係數、Theta係數、Vega 係數及Rho係數等均可供B-S模式實際使用。 買權Delta＝δc＝△C＝ ＝N(d1) ＞0 賣權Delta＝δp＝△P＝ ＝－N(－d1) ＜0 由圖1可分別看出買權之Delta（即買權價格相對於 標的物市價之斜率）為正值，賣權之Delta為負值。 25

圖1 選擇權價格與標的物市價關係圖 －1) 26

B-S模式參數之應用 避險比率(hedge ratio) Delta除了可衡量選擇權價格變動相對於標的物價 格變動之比率外，就選擇權投資部位之風險管理 而言，可視為規避風險的數量指標，稱為「避險 比率」或「對沖比率」。 即避險所需契約數量與選擇權數量的比率。 避險股數＝Delta×選擇權契約口數×每口契約股 數 27

例3 若志明賣出20口台塑買權，其Delta為0.4， 已知1口契約單位為5,000股，則志明應買 進多少股的台塑股票以避險？ Ans: 　避險股數＝0.4×20×5,000＝40,000（股） 28

B-S模式參數之應用 Gamma係數(γ) 選擇權的Gamma係衡量單位標的物價格變動下，選 擇權Delta變動的幅度。 Gamma即為B-S模式（公式7-5）中，選擇權價格對 標的物價格的二次微分，亦即圖7-1中斜率（即 Delta）的變動率。 由圖2中「Delta之變動率」——即Gamma——可看 出，不論是買權或賣權，Gamma值會相同，且均大 於0。 29

圖2 Delta與標的物市價關係圖 30

B-S模式參數之應用 Theta係數(θ) 買權Theta(θc )= ，或賣權 31

B-S模式參數之應用 Vega係數(V) 買權Vega(Vc)= ，或賣權Vega(Vp)= Vega又常以Kappa、Lamda或Sigma稱之。 由於標的物價格波動程度愈大，選擇權價格愈高， 因此，不論買權或賣權之Vega值均大於0。 Vega值愈大，表示選擇權的價格相對於標的物價格 的波動率敏感性愈大。 32

B-S模式參數之應用 隱含波動率(implied volatility) 「隱含波動率」係指選擇權本身的波動率，即使選擇權 理論價格等於實際市場價格的波動率。 在假設選擇權理論價格等於實際市場價格下，所求得之 波動率稱為「隱含波動率」。 預期「隱含波動率」上升時，表示選擇權之價格將上漲。 預期「隱含波動率」下跌時，表示選擇權之價格將下跌。 相較於「歷史波動率」(historical volatility)（即標的 物價格過去的波動率）而言，「隱含波動率」則更能有 效地判定選擇權價格的走勢。 33

B-S模式參數之應用 在應用「隱含波動率」評價選擇權時，在價內或價 外時之「隱含波動率」通常高於「價平」時之「隱 含波動率」，此圖形稱之為「微笑曲線」(smile curve)，如圖3所示。 34

圖3 隱含波動率所形成之「微笑曲線」 35

二項式選擇權評價模式 假設目前(t0)標的物價格為S，下一期(t1)之價格 可能上漲，漲為uS；也可能下跌，跌至dS，u 及d即為上漲及下跌之倍數。 在圖4中，上漲機率為P，下跌機率為1－P。 36

二項式選擇權評價模式 若此標的在目前(t0)之買權價格為C，則當該標 的在t1時之價格變動為uS及dS時，買權之價格 在上漲及下跌時亦將分別漲為 Cu及跌為Cd。 Cu ＝Max(uS－K, 0) Cd ＝ Max(dS－K, 0)

圖4 標的物在經過一期後之價格變動 38

圖7-5 買權在經過一期後之價格變動 39

二項式選擇權評價模式 rf為無風險利率 (1＋rf)以R代表 上漲機率 40

例 若目前A股價格為100元，預期下一期價格 可能漲為1.3倍或跌為0.8倍，假設無風險 利率(rf)為10%，且下期買權之履約價格為 110元，試根據以上條件求出目前買權之 價格。 Ans: 　已知u＝1.3，d＝0.8 故下一期A股可能漲至1.3×100＝130或 跌至0.8×100＝80 41

例 又，已知上漲之機率P： 因此，在目前之買權價格為： 42

HOMEWORK 1.若某股目前之市價為50元，未來可能漲 跌之幅度均為20%，若無風險利率為8%， 在下一期到期時賣權之履約價格為49元， 試求： 　 (1)下期上漲及下跌時之賣權價格； 　 (2)目前之賣權價格； 　 (3)在風險中立下，預期下一期之股價。 43

例4 Ans: 　(1)由題意可知，u＝1.2，d＝0.8，故下一期此 股可能漲至 1.2×50＝60，或跌至0.8×50＝40。 由下圖可看出兩期之間此 股及其賣權價格之變 動：

例4 (2)又上漲之機率P： 45

例4 因此，在目前之賣權價格為： （元） (3)預期下一期之股價＝P×uS＋(1－P)×dS ＝0.7×60＋0.3×40 　　　　　　　　　 ＝0.7×60＋0.3×40 　　　　　　　　　 ＝42＋12＝54（元） 46

HOMEWORK 2.某一股票價格為90元，買權之履約價格為92元， 距履約日期為一年，該股票年報酬率標準差為 30%，無風險名目利率為2%。請問該股票買權的 價格為何？ 47

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