9.5两个平面垂直
掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题 【教学目标】 掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 1．定义 【知识梳理】 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定和性质 【知识梳理】 语言表述 图 示 字母表示 应 用 根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角． 类 语言表述 图 示 字母表示 应 用 判 定 根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角． AOB是二面角a的平面角，且AOB=90，则 证 两 平 面 垂 直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 性 质 如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角． ，AOB是二面角a的平面角，则AOB=90 证两条直线垂直 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． a 证直线和平面垂直 B a O A a B a O A l a
①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”； ②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直线线垂直”； 重要提示 【知识梳理】 1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则a． 2．三种垂直关系的证明 (1)线线垂直的证明 ①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”； ②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直线线垂直”； ③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．
①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直线面垂直”； ②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”； 【知识梳理】 重要提示 (2)线面垂直的证明 ①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直线面垂直”； ②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”； ③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直线面垂直”； ④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”. (3)面面垂直的证明 ①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角； ②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直面面垂直”.
【点击双基】 1.在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有 A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD C 2.直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是 A.a B. a C. a D. a C 3.设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 C
a 【点击双基】 4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1—BD—A的正切值为
例1．如果，，=a，那么a． 【典例剖析】 例1．如果，，=a，那么a． m A P n B a
【典例剖析】 【例2书】 如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.
【典例剖析】 例3书】 如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC. （1）求证：AB⊥BC； （2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.
【典例剖析】 【例4书】 已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D. （1）确定D的位置，并证明你的结论； （2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D； （3）若AB∶AA1= ，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.
【典例剖析】 补：例5．由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设ASB=，BSC=，ASC=，其中，，均为锐角，则平面ASB平面BSC的充要条件是 coscos=cos．
【知识方法总结】 1. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则a． 2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用。