數學是一種語言 從97九年一貫數學課程綱要說起 第一講 單維彰 中央大學數學系與師資培育中心 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

九年一貫數學領域 課程綱要 教育部97年5月23日 台國（二）字第 0970082874B號令 （100學年開始實施） 林長壽、張海潮、李瑩英、翁秉仁、陳昭地 李錦鎣、柯華葳、張煌熙、陳招池、林淑君

(一)基本理念 1. 數學是人類最重要的資產之一 2. 數學是一種語言 3. 數學是人類天賦本能的延伸 數學之所以被納入國民教育的基礎課程，有三個重要的原因。 1. 數學是人類最重要的資產之一 （略） 2. 數學是一種語言 簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是理性與自然界對話時最自然的語言。 3. 數學是人類天賦本能的延伸

數學是一種語言 人人都知道，語言是所有表達、學習甚至思維的媒介。 正因為數學本身就是一種語言，所以和自然語言 (例如中文和英文) 一樣， 是一切學習的基礎。

語言都是抽象的 人們常說數學抽象，其實自然語言也都是抽象的，只是更普遍地訴諸於日常經驗，因習慣而沒有察覺。 譬如『椅子』這個名詞，是否具體地指稱某一類的物體呢？ 請看看四周有多少種椅子？ 試想如何寫一份電腦軟體，使得它可以根據一張數位照片判斷那是不是『座椅』？ 就更能體會這個名詞的抽象性了。

大家都認識椅子

這些是椅子嗎？ Heinz-Josef Lücking

那麼這些呢？ Blog-EspritDesign sailko sailko tuey

這個是不是椅子？

(From a Logical Point of View:9 Logico-philosophical Essays, p47) 語言都須訴諸直覺 數學中有些名詞或關係，不能用更基本的數學詞彙來定義或解釋，所以出現了少數的未定義名詞、公設或設準，必須訴諸於人類靠著基因或是社會化所獲得的直覺。 查閱『意義』的文字解釋，將會發現字典要不是刻意遺漏這個詞，就是它的解釋將會繞一圈回到『意義』。追究英文的 meaning 也會發現一樣的結果。 Pending a satisfactory explanation of the notion of meaning, linguists in the semantic field are in the situation of not knowing what they are talking about. (From a Logical Point of View:9 Logico-philosophical Essays, p47)

數學家的創作 古今中外的數學工作者，以他們世代相傳對於證明的標準和堅持，合力編撰一本辭典。在這本辭典裡，他們定義自己的名詞動詞連接詞形容詞和副詞，然後利用這些經過定義的詞彙，寫出一條又一條絕對正確或者絕對錯誤或者絕對無法判定正確或錯誤的敘述句。 這本辭典裡的大多數名詞，譬如點、直線、平面、圓、球、機率、無理數，在物質世界裡根本沒有對應的實例。 數學的真實性，除了正整數以外，通常也都沒有物質世界的對應。

數學的應用 數學上的結論並非真理，它最多只保證了在此語言系統之內的正確性。還要再將語言對應回現實，才能考核它的實際意義。 譬如蘋果和梨當然都不是球形，星星月亮和地球，也都不是數學所謂的球。平面和直線，在物質世界裡並不存在。 只要自然科學或社會科學的工作者，認為她所面臨需要探究的對象可以被視為球，則數學辭典裡所有關於球的句子都可以帶來推論的威力。例如，一個球不可能在其周圍同時碰觸超過 12 個同樣直徑的球。

上帝創造自然數 自然數是語言的一部份，而語言的理解，幾乎是神秘地內建於我們的大腦。 面對無法考察其源也難以一一釐清的現象，中國人常歸因於「天」，西方人則通常訴諸於上帝 。 在座每一位同學，都或早或晚地在大約三歲的時候學會了唱數：從一數到百。一切算術從此開始 。 自始以來，學習數學就是學習語言。直到有一天，孩童被要求把這一切用符號寫下來，然後迅速地發展符號，超前了學童的經驗範圍，才開始了所謂的「數學教育」。

理論 vs 定理 語言上會說「理論上」(theoretically)，卻沒有「定理上」的說法。 理論和定理的差異，並不在於歸納與演繹的兩種思考方式，而是在於客體與主體之分。 基於客體和主體的差異，理論的驗證靠「證據」（evidence），而定理則是靠「證明」（proof）。 這是數學與科學的基本差異。 兩種可以產生定理的人類創造：數學和電腦。所以有人揶揄「計算機科學」（computer science）是矛盾修辭（oxymoron）。

數學沒有「標準答案」 數學發展定理，而定理非真理。 語言都有被「操弄」的空間，數學也是。只要給了足夠的條件，任何數學命題都可以是正確的。（此為誇飾修辭。） 例一（康氏問題）：將一張正方形的紙剪下一個角，還剩下幾個角？ 例二（網路流傳）：1, 2, 6, 42, 1806, ???

無聊的題目1, 2, 6, 42, 1806, ? 網路答案： 且 另一個答案： nextprime( ) 再一個答案： 無窮多個答案：

The End

版權聲明 6 7 頁數 作品 授權條件 作者/來源 作品 授權條件 作者/來源 <坐設計Chairs椅子創意世界>編者：Otakar Macel , Sander Woertman , Charlotte van Wijk 譯：屈丽娜。山東畫報出版社。書皮尾。 轉載自亞馬遜： http://www.amazon.cn/%E5%9D%90%E8%AE%BE%E8%AE%A1-%E6%A4%85%E5%AD%90%E5%88%9B%E6%84%8F%E4%B8%96%E7%95%8CChairs-%E5%A5%A5%E5%A1%94%E5%8D%A1%C2%B7%E8%BF%88%E5%A1%9E%E5%B0%94/dp/B0053WMVG6 依著作權法第52、65條合理使用。 7   DesignApplause http://objects.designapplause.com/2011/paper-piero-lissoni/5055/ 2012/11/12 visited Wiki media commons: Heinz-Josef Lücking http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hochstuhl_-_Museumsdorf_Cloppenburg_-_High_chair_-_Open_air_museum_Cloppenburg.jpg 作品 授權條件 作者/來源  

版權聲明 7 8 頁數 作品 授權條件 作者/來源 39體育網 http://www.39ty.com/Shop/4717.html 依著作權法第52、65條合理使用。 2012/11/12 visited   金星家具 http://big5.made-in-china.com/showroom/goldstarfurniture/product-detailbeIJkLmdgUVu/%E5%AD%A6%E7%94%9F%E6%A4%85%EF%BC%8DGS002.html 8 Wiki media commons: sailko http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ngv_design,_marc_newson,_lc2_lockheed_lounge_1985-86.JPG

版權聲明 8 頁數 作品 授權條件 作者/來源 Blog-EspritDesign   Blog-EspritDesign http://www.blog-espritdesign.com/artiste-designer/concept/etagere-z-step-par-michael-schoner-11558 2012/11/12 visited How to spend it http://howtospendit.ft.com/gift-guide/7542-bodie-and-fou-ball-chair 依著作權法第52、65條合理使用。 Wiki media commons: sailko http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ngv_design,_harry_bertoia,_diamond_chair,_1951.JPG

Text“Pending a satisfactory …talking about.” 版權聲明 頁數 作品 授權條件 作者/來源 8   flickr: tuey http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Danish_Design_Center_chairs.jpg?uselang=zh-tw 2012/11/12 visited 9 milano5230人工智慧資料庫 http://tw.myblog.yahoo.com/milano-casa/article?mid=2544&sc=1 依著作權法第52、65條合理使用。 10 Text“Pending a satisfactory …talking about.” Willard Van Orman Quine, 1980. “From a Logical Point of View:9 Logico-philosophical Essays”, Harvard University Press, p47.