2005年高考数学试题综述 暨 2006 年 高 考 复 习 建 议 北京工大附中 常毓喜

2005年高考试题分析 2006年高考命题趋势 2006年高考复习建议

题 型 全国 福建 湖北 辽宁 个数 分值 选择题 12 60 填空题 4 16 解答题 6 74 总题数 22 题 型 山东 江西 北京 上海 个数 分值 选择题 12 60 8 40 4 16 填空题 6 30 48 解答题 74 80 86 总题数 22 20

题 型 天津 重庆 浙江 个数 分值 选择题 10 50 填空题 6 24 4 16 解答题 76 84 总题数 22 20 题 型 湖南 广东 江苏 个数 分值 选择题 10 50 12 60 填空题 5 20 4 6 24 解答题 80 66 总题数 21 23

2005年高考数学试题（全国卷）分析 一、强化选拔功能，注重文理差别 二、强化重点内容，注重全面考查 三、强化课本作用，注重推陈出新 四、强化数学思想，注重能力考查

一、强化选拔功能，注重文理差别 1． 这三套试卷根据使用地区考生的不同水平，设置了不同的难度．甲、乙两卷的选择题比较平稳，容易题占大多数，考生可在这部分取得较高的分数；而丙卷则在选择题中减少了容易题的数量，增加了中档题的数量．乙卷相比较甲卷，在解答题中增加了中档题的数量．

２．三套试卷难度的差别还体现在各题型把关题的难度设计上． (甲卷)(12)计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 1 2 3 4 5 6 7 十进制 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则 （ ） A 6E B 72 C 5F D B0

(乙卷)(12) 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 (丙卷)(12)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 （A）18对（B）24对 （C）30对 （D）36对

(甲卷)( 16)已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 . (乙卷)(16)下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的三面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)

（丙卷） （16）在正方形ABCD-A/B/C/D/中，过对角线BD/的一个平面交AA/于E，交CC/于F，则 ①    四边形BFD/E一定是平行四边形. ②    四边形BFD/E有可能是正方形. ③    四边形BFD/E在底面ABCD内的投影一定是正方形. ④    平面BFD/E有可能垂直于平面BB/D. 以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）

（甲卷） (22)已知函数 (Ⅰ) 求f(x)的单调区间和值域； （(Ⅱ)设a≥1，函数g(x)=x2-3a2x-2a,x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围. (乙卷) （22）已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)ex. （Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

(丙卷) （22）（Ⅰ）设函数f(x)=xlog2x +(1-x)log2(1-x)(0<x<1)，求f(x)的最小值； （Ⅱ）设正数p1,p2,p3,… ,满足p1+p2+p3 +…+ =1， 证明：p1log2p1+ p2log2p2+ p3log2p3+… +log2 ≥-n.

3．各试卷还较好地处理了文理试卷的差异： 相同题 姊妹题 不同题 甲卷 16 1 5 乙卷 11 4 7 丙卷

二、强化重点内容，注重全面考查 一 二 三 四 五 六 七 Ⅰ卷   9 12 27 4 5 Ⅱ卷 17 19 10 Ⅲ卷 26 18 八 九 十 十一 十二 十三 十四 24 22

17 18 19 20 21 22 甲卷 理 概率 立体几何 三角函数 数列 解析几何 导数 文 乙卷 函数 概率统计 丙卷

平面向量 概率与统计 导数 课时比例 3.26% 7.07% 4.89% 考试比例 甲卷 5.33% 11.33% 8% 乙卷 9.33% 丙卷 6.67%

三、强化课本作用，注重推陈出新 2005年高考题 课本例习题 课本第一册（下）习题4.1第5题： （全国Ⅰ卷）文理科第1题 已知α为第三象限角，则α/2所在的象限是 （A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限 （C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限 课本第一册（下）习题4.1第5题： 已知α是钝角，那么α/2是 （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第一与第二象限角 （D）不小于直角的正角

2005年高考题 课本例习题 课本第二册（上）第82页第2(1)题： （全国Ⅱ卷）理科第13题文科第14题： 圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为 . 课本第二册（上）第82页第2(1)题： 2.求下列条件所确定的圆的方程： （1）圆心为（3，-5），与直线x-7y+2=0相切； （全国Ⅰ卷）文科第15题： 曲线y=2x-x3在点（1，1）处的切线方程为 课本第三册（选修Ⅰ）第38页第3题： 求函数y=2x-x3在-2、0、2处的导数．

2005年高考题 课本例习题 课本第二册（下）复习参考题十B组第4题： （全国Ⅱ卷）文理科第15题： 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个. 课本第二册（下）复习参考题十B组第4题： 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字数中， （1）能够组成多少个六位奇数？ （2）能够组成多少个大于201345的正整数？

2005年高考题 课本例习题 课本第三册（选修Ⅱ）第132页例2： （全国Ⅰ卷文科）第21题： 用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? 课本第三册（选修Ⅱ）第132页例2： 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大? 最大容积是多少?

2005年高考题 课本例习题 （全国Ⅰ卷）理科第17题文科第18题： 课本第二册（下B）第135页第6题： 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 课本第二册（下B）第135页第6题： 一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79, 第2台是0.79, 第3台是0.80, 第4台是0.81,且各台机床否需要照顾相互之间没有影响,计算在这个小时内这4台机床都不需要照顾的概率.

2005年高考题 课本例习题 （全国Ⅱ卷）理科第9题文科第10题： 已知集合M={x|x2－3x－28≤0}, N={x|x2－x－6>0}，则M∩N为 A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7} C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3} 课本第一册（上）第22页第7题（Ⅰ）： 已知A={x|x2-16<0}, B={x2－4x+3≥0}, 求（Ⅰ）A∩B．

2005年高考题 课本例习题 课本第二册（下）复习参考题十A组第12题（2）： （全国Ⅲ卷）文理科第14题： 的展开式中，常数项 为 ．（用数字作答） 课本第二册（下）复习参考题十A组第12题（2）： 求 展开式的 常数项；

四、强化数学思想，注重能力考查 1．函数与方程的思想 2．数形结合的思想 3．分类讨论的思想 4．转化与化归的思想 5．特殊与一般的思想 6．有限与无限的思想

1．函数与方程的思想 解法一： 而函数y=lnx是增函数， 所以c<a<b. 【例1】（全国Ⅰ卷理科）第6题： 若 ,则 若 ,则 (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c 解法一： 而函数y=lnx是增函数， 所以c<a<b.

解法二：首先考察函数 得：x=e. 所以函数 在(e ,+∞)上是减函数， 且e<3<4<5， 即c<a<b，故选C.

【例2】（全国Ⅲ卷理科）第6题： 已知双曲线 的一条准线 与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D)

（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； 【例3】（全国Ⅰ卷）理科第17题文科第18题： 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．

2．数形结合的思想 【例4】（全国Ⅲ卷理科）第7题： 分析： y O x A B

设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一 【例5】（全国Ⅲ卷理科）第8题 设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一 则a的值为 （A）1 （B）-1（C） （D） 1 -1 y x o

过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有 3．分类讨论的思想 【例6】（全国Ⅲ卷理科）第12题 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有 （A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对 A1 C1 B1 A C B

【例7】（全国Ⅰ卷文理科）第11题 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个

如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 4．转化与化归的思想 【例8】（全国Ⅲ卷理科）第5题 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 （A） （B） （C） （D） A B C D E F

E G F D C A B G B C F A D E B C G

G A B C D E F A B C D E F A B C D E F M N N M

5．特殊与一般的思想 【例9】（全国Ⅰ卷理科）第2题： 设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是 （A）IS1∩(IS2∪IS3)=Ф （B）S1 (IS2∩IS3) （C）IS1∩IS2∩IS3=Ф （D）S1 (IS2∪IS3) 解：取特例S1={1，2}，S2={2，3}，S3={1，3}， I={1，2，3}，则易得C．

△ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交 点为H， 则实数m = ． 【例10】（全国Ⅲ卷理科）第15题 △ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交 点为H， 则实数m = ． A C B O (H)

设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为 【例11】（全国Ⅰ卷文理科）第4题 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为 （A） （B） （C） （D） A B C C1 A1 B1 Q P

A．sin2A－cosB=0 B．sin2A+cosB=0 6．有限与无限的思想 【例12】（全国Ⅱ卷理科）第7题 锐角三角形的内角A、B满足 tanA－ =tanB，则有 A．sin2A－cosB=0 B．sin2A+cosB=0 C．sin2A－sinB=0 D．sin2A+sinB=0

【例13】（全国Ⅲ卷理科）第7题： 方法一：

方法二：ysin2x+3cos2x=5, 这时，显然当sin= , cos= , sin2x= ， cos2x= 时,sin2x cos+cos2xsin=1, 即 sin(2x+)=1,上述等号成立.

方法三： 令f/(x)=0，得： 方法四：

△ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H， 则实数m = ． 【例14】（全国Ⅲ卷理科）第15题 △ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H， 则实数m = ． 方法一 A H O B C D

方法二 延长CO交圆O于点D， 连结AD、BD， 另一方面， 所以由 又BD⊥BC，AD⊥AC， 所以BD∥AH，AD∥BH， 故m=1.

分别过点B、C作BD∥OC、CD∥OB， 方法三 分别过点B、C作BD∥OC、CD∥OB， 设BD与CD相交于点D，连结OD， A H O 因为OB=OC，所以四边形OBDC是菱形，从而OD⊥BC，OD∥AH． B C D 则根据平行四边形法则，点E一定在AH直线上． 即向量 与向量 共线，所以点E与点H重合.

方法四 设△ABC的重心为G， 则根据欧拉定理，O、G、H三点共线， A H G O B C 故m=1.

已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是 【例15】（全国Ⅲ卷理科）第4题 已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是 （A） （B） （C） （D） P C O y x A

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点. 【例16】（全国Ⅱ卷理科）第20题 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB； （Ⅱ）设AB= BC，求AC 与平面AEF所成的角的大小. E A B C D P F

E A B C D P F E A B C D P F O H E A B C D P F H G G

P F C D E B A

E A B C D P F O H P O A α

2006年高考命题趋势 一、2006年考试大纲修订情况 二、命题趋势

1．总体原则： （1）单独命题省份的语文向全国语文卷格式靠近。 （2）单独命题省份的文综、理综应继续使用全国卷文综、理综。 （3）考试大纲的变化：总体平稳、局部微调；万变不离其中。

2．数学学科的具体变化 （1）“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义”增加为“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”； （2）理科增加“了解参数方程的概念”，文科增加“理解圆的参数方程”。 （3）加强了平面向量在平面几何中的应用。

（4）三角函数中“正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”由了解变为理解； （5）“理解y=Asin(ωx+φ)中的A、ω、Φ的物理意义”改为“理解y=Asin(ωx+φ)的物理意义”； （6）“理解椭圆的参数方程”变为“了解椭圆的参数方程”； （7）“了解函数连续的意义”改为“理解函数连续的意义”，“理解闭区向上连续函数有最大值和最小值的性质”改为“了解闭区间上连续函数有最大值和最小值”。

二、命题趋势 1．稳中求变，变中求新。 2．继续坚持“以能力立意”的原则。 3．继续实施“多个特点，难度有别，考虑区别”的形式。

y x P(ξ<x0)=Φ(x0) =S左

例22 某种电子产品的寿命近似地服从正态分布N(300,352),（单位：小时），求这种电子产品寿命不低于250小时的概率． 所以P(ξ≥250) =1-P(ξ<250) =1-Ф(-1.429) =Ф(1.429) =0.9236.

(A)B(2,4) (B)C(4,5) (C)D(3,10) (D)E(10,12) ·E(10,12) ·D(3,10) ·C(4,5) ·例23 有5组数据，为使取掉一组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大，则去掉的数据是 (A)B(2,4) (B)C(4,5) (C)D(3,10) (D)E(10,12) y ·E(10,12) ·D(3,10) ·C(4,5) ·B(2,4) ·A(1,3) x O

2006年高考复习建议 （一）认真学习好两纲一题，提高复习的方向性 （二）正确处理好几个关系，提高复习的科学性 （三）准确把握好基础内容，提高复习的成效性 （四）合理选择好复习方法，提高复习的实效性

（一）认真学习好两纲一题，提高复习的方向性 1.三角函数 2.复数 3.不等式 【例17】（2005年全国Ⅲ卷理第9题） 设0<a<1，函数f(x)=loga(a2x-2ax-2)，则使f(x)<0的x的取值范围是 （A）(-∞,0) （B） (0, +∞) （C） (-∞,loga3) （D） (loga3 , +∞)

4.数列(利用递推公式求通项) 【例18】（2000年新课程卷理科第15题） 设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-na2+anan+1=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an=_______。 【例19】（2002年全国卷理科第20题） 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

【例20】（2003年新课程卷理科第22题） 设a0为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N+)． （Ⅰ）证明:对任意 （Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an-1，求a0的取值范围． 【例21】（2004年全国Ⅱ卷理科第22题） 已知数列{an}中a1=1，且a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式.

会用抽机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。 5.概率与统计 考试内容 考试要求 离散型随机变量的分布列 了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。 离散型随机变量的期望值和方差 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 抽样方法 会用抽机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。 总体分布的估计 会用样本频率分布去估计总体分布。 正态分布 了解正态分布的意义及主要性质。 线性回归 了解线性回归的方法和简单应用。

例．(2005年高考·湖北卷·理11文12)某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5, 9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11, 38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30, 57，84，111，138，165，192，219，246, 270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样

例．(2005年高考·全国卷Ⅲ·理15) 设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取 用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ= .

6.平面向量 【例54】（2005浙江理10） 已知向量 ，对任意的t∈R， 恒有 ≥ ，则 (A) (B) (C) (D)

方法一： 所以，有

A B O C 7. 导 数

1．正确处理好全面与重点的关系 2．正确处理好基础与能力的关系 3．正确处理好课本与资料的关系 4．正确处理好教师与学生的关系 （二）正确处理好几个关系，提高复习的科学性 1．正确处理好全面与重点的关系 2．正确处理好基础与能力的关系 3．正确处理好课本与资料的关系 4．正确处理好教师与学生的关系 5．正确处理好课内与课外的关系 6．正确处理好习题质与量的关系

1．复习的重点是:挖概念、重技能、凸思想 （三）准确把握好基础内容，提高复习的成效性 【例24】（2004年北京朝阳区第一学期期末考试） a,b都是正数,ab=1，则“a=b”是“a+b的最小值为2”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例25】写出p或q 、p且q、非 p形式的复合命题 p：邻边相等的平行四边形是正方形； q：邻边互相垂直的平行四边形是正方形； 【例26】（2004年湖北卷理16） 某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间的距离对时间的变化率是 km/h.

【例27】（全国Ⅲ卷理科第17题） 设函数f(x)=sin(2x+)(-<<0), y=f(x)图像的一 条对称轴是直线 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调增区间； （Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切．

【例28】（2005年北京卷文17） 已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1， an+1= Sn，求数列{an}的通项公式an. 【例29】（2004年全国Ⅱ卷文19） 已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.

【例30】（1981年全国卷理九） 给定双曲线 （1）过点A(2,1)的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。 （2）过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

（四）合理选择好复习方法，提高复习的实效性 ●重视第一轮复习，夯实基础 ●合理选择好专题内容，培养能力 ●做好试卷讲评，查漏补缺

谢 谢 2006.2.18