第4章 傳輸線(電磁場觀點)

綱要 4-1 平行金屬板傳輸線 ＊4-2 任意截面之二平行導體柱的傳輸線系統 ＊4-3 傳輸線中的複數功率守恆 4-4 平面波導

導波系統 導波系統 封閉式導波系統 開放式導波系統 把電磁訊號封在管中，傳導到目的地的系統 同軸電纜、平行板傳輸線、導波管 兩條平行導線、光學纖維

傳輸線與Maxwell方程式 傳輸線之電路觀點與應用 Maxwell方程式 第一章 控制所有巨觀電磁現象 應可推導出傳輸線理論 為什麼傳輸線具有第一章所描述的特性 如何傳遞電壓、電流及功率的訊號

綱要 4-1 平行金屬板傳輸線 ＊4-2 任意截面之二平行導體柱的傳輸線系統 ＊4-3 傳輸線中的複數功率守恆 4-4 平面波導

無窮大空間中的平面電磁波 媒質 平面電磁波 滿足Maxwell方程式

限制電磁場在某個區域內 用金屬把所要討論的區域圍起來 趨膚效應 使用完全導體 區域外的電磁場不會進到區域內 區域內的電磁場也不會漏到區域外 邊界條件 電磁場分佈需同時滿足Maxwell方程式及符合邊界條件 原先的平面電磁波電場在-y方向 導體面必須平行xz平面才能維持原先的平面電磁波

平行板導波系統 取去板外在 處的波源 電磁場分佈 兩板之外不再有電磁場 兩板間的電磁場維持原狀，繼續向＋z方向傳播 取去板外在 處的波源 兩板之外不再有電磁場 兩板間的電磁場維持原狀，繼續向＋z方向傳播 電磁場分佈 平行導體板某一瞬間的電力線分佈

截面上兩板間的電位差與上下板 之表面電流密度 截面 上兩板間的電位差 底板上表面 ，而導體內磁場為零 切向磁場不連續造成面電流 上板的下表面之面電流

上下板流動之總電流 假設金屬板在x方向並非無限伸展 令板寬W相當大 底板上流動的總電流為 上板流動之總電流 邊緣的地方電力線會發生彎曲的現象 邊緣電力線彎曲效應可忽略 底板上流動的總電流為 上板流動之總電流 平行導體板邊緣的 電力線彎曲

平行板導波系統與傳輸線 兩導體板間的電位差 和兩板所載的電流都是 的函數 傳輸線的特色 4-2 節更週延傳輸線理論的特例

平行板導波系統的每單位長電容 上板下表面之面電荷密度 上板下表面一小塊面積中貯存之電荷 每單位長電容 與假設靜電場結果相同 導體板上的一小塊表面

平行板導波系統的每單位長電感 兩導體板間的假想小迴圈中，包住的磁力線根數(磁通量)為 相當於電感 所擁有的磁通量 單位長導體所具有的電感為 相當於電感 所擁有的磁通量 單位長導體所具有的電感為 兩導體板間的假想小迴圈

特性阻抗與波速 平行板傳輸線特性阻抗 平行板傳輸線波速 無損耗的傳輸線系統 求出單位長導體電感 L 如已知單位長導體的電容值C，可由 特性阻抗等於h乘以一個幾何因子

平行板導波系統的傳輸線方程式

平行金屬板傳輸線與平面電磁波 將兩板拉開 平面電磁波可看成平行金屬板傳輸線的極端化結果 一塊向 移動，一塊朝 移動 同時保持 及 一塊向 移動，一塊朝 移動 同時保持 及 可得到平面電磁波 平面電磁波可看成平行金屬板傳輸線的極端化結果 特性阻抗正是h 可以用傳輸線類比來計算

綱要 4-1 平行金屬板傳輸線 ＊4-2 任意截面之二平行導體柱的傳輸線系統 ＊4-3 傳輸線中的複數功率守恆 4-4 平面波導

兩任意截面平行導體柱 整個空間的電磁場不再是平面電磁波 必須重新分佈 才能又滿足Maxwell方程式，又在完全導體表面滿足邊界條件 均勻平面電磁波無法在 導體表面達成

電磁場形式假設 時諧變化，頻率w 導體柱在z方向無窮延伸，而且截面形狀沒有變化 電磁場形式假設(相量向量) 代表往+z方向傳播，被 和 所調變(Modulate)的正弦狀行進波 再觀察如何滿足Maxwell方程式和邊界條件

與平面電磁波的比較 在波前 的平面上，各點電磁場不一定相同 還不能判斷波數 是否等於 在波前 的平面上，各點電磁場不一定相同 和均勻平面電磁波 ， 中， ， 為常向量完全不同 還不能判斷波數 是否等於 均勻平面電磁波中 還不能知道， 、 之間是否仍有平面電磁波中 和 間的簡單關係 ，

橫電磁波(TEM Wave) 平面電磁波中電場、磁場均與傳播方向垂直 這性質希望保留，因此令 具有這種性質的電磁波稱為橫電磁波 對平行導體柱而言，此一假設未違反邊界條件 將證明也不會與Maxwell方程式發生矛盾 在導波系統中傳播的電磁波形式(滿足Maxwell方程式和邊界條件)不見得都必須滿足 下一章將會說明導波管中不允許有TEM波 傳輸線系統中，TEM波是最主要的傳播方式 本章只討論TEM波

Maxwell方程式化簡 由電磁場的假設形式推得 (注意 必在z方向，實際列式便知) ，

傳播常數及電場與磁場關係 與平面電磁波相同 與平面電磁波相同

橫截面上的電磁場方程式 橫截面上的電磁場方程式 二維靜電學問題方程式 二維靜磁學問題方程式 在相同邊界條件下，橫截面上的電磁場所需滿足之方程式與二維靜電學、二維靜磁學問題完全相同

橫截面上的電磁場計算 可由靜電學方法求出 再由 求出 因此求出的單位長電容及單位長電感與靜電學，靜磁學所求出的相符

橫截面上的電壓 順電力線計算電位差 得電壓波 的截面電場分佈

橫截面上的電流 導體表面S2的面電流密度 導體所載電流 C2為z=z0與S2截出的相交曲線 的截面電場分佈

單位長導體之電容 導體表面貯存之電荷密度 每單位長導體所貯電荷 每單位長導體之電容 的截面電場分佈

特性阻抗 特性阻抗 等於h乘上一個只與幾何形狀有關的因數 c2 的截面電場分佈

單位長導體之電感 通過淺灰色區域的磁通量 計算磁通量的區域 單位長導體之電感

傳輸線方程式驗證 驗證 成立

應用例：無損耗同軸電纜 求同軸電纜的電磁場分佈，特性阻抗及L、C 同軸電纜之橫截面

無損耗同軸電纜電磁場分佈：步驟1 二維靜電學問題 同軸電纜之橫截面 (對稱性 )

無損耗同軸電纜電磁場分佈：步驟2 令 時， 得 同軸電纜之橫截面 同軸電纜內 t=t1時的電力線分佈剖視圖

無損耗同軸電纜的電壓電流 電壓 磁場 內導體表面面電流密度 總電流 同軸電纜之橫截面

無損耗同軸電纜的特性阻抗 特性阻抗 同軸電纜之橫截面

無損耗同軸電纜傳輸線方程式 與L、C 傳輸線方程式 檢驗 無誤

綱要 4-1 平行金屬板傳輸線 ＊4-2 任意截面之二平行導體柱的傳輸線系統 ＊4-3 傳輸線中的複數功率守恆 4-4 平面波導

傳輸線系統中的電磁場 令 ( 分為 z＝0處的電壓和電流) 兩平行導體柱構成的傳輸線 (利用 ， )

複數功率守恆推導：步驟1 Poynting定理 ＝0 每週期平均所貯存的磁能 每週期平均所貯存的電能 兩平行導體柱構成的傳輸線 對應的等效電路 (亦可以由一些數學技巧直接利用上一節結果證出)

複數功率守恆推導：步驟2 (橫電磁波定義) 必在 z方向上 上的面積分消失 另可證 Poynting定理(複數功率守恆式) 兩平行導體柱構成的傳輸線

特例：無反射波的傳輸線 (z=z1處的複數功率原封不動地送到z=z2)

一般例：有負載的傳輸線：說明1 每週期貯存的電能和磁能不再相等 實數部份(實功率守恆) 虛數部份 (z=z1和z=z2處無效功率的差正好彌補 每週期所存電能和磁能的差)

一般例：有負載的傳輸線：說明2 必有反射波 z=z2通過的總功率 入射波功率與反射波功率之差

功率傳播觀念 電路學觀念 功率隨著導線中的電流傳送 看一般電路圖容易得到的印象 實際觀念 功率在導體外的空間傳播

以功率或能量定義L、C 利用磁能和電能定義 幫助我們將阻抗的觀念應用到複雜的問題

綱要 4-1 平行金屬板傳輸線 ＊4-2 任意截面之二平行導體柱的傳輸線系統 ＊4-3 傳輸線中的複數功率守恆 4-4 平面波導

平面波導 傳輸線及下一章的波導 平面波導 三度空間結構 特性要由三度空間的幾何參數來描述 例：同軸電纜線性質由內外導體半徑及介電質性質決定 主要特性由平面上的幾何參數確定 例：本節介紹之微帶線可藉調整帶線寬決定其特性阻抗 方便在印刷電路板甚至積體電路基板上設計製作出所需的微波及毫米波電路 體積小，容易複製加工，成本低廉，廣被使用

常見平面波導結構與傳輸線理論 平面波導無法傳播傳輸線理論所要求的TEM波 由低頻直到X波段，所傳播的電磁場形態與TEM波之差距並不會很大 通常還是以傳輸線來看待 本節只介紹用最多的微帶線和共面波導 四種常見平面波導結構之橫截面圖

微帶線(Microstrip Line)結構 可以想成是兩平行導體柱傳輸線的變形 (a)真空中的兩平行導體柱傳輸線 (b)把兩導體柱壓成平板 (c)把上方平板變窄，下方平板變寬 (d)兩板之間放入介電質，以支撐整 個結構，構成微帶線 微帶線的3D架構

微帶線無法傳播TEM波：說明1 兩板間加入介電質，使微帶線與一般傳輸線架構不同 空氣與介電質的交界面上電場的切線方向分量連續 下標d和a分別表示交界面的介質側及空氣側 微帶線的3D架構

微帶線無法傳播TEM波：說明2 利用Maxwell 方程式可得 就直角坐標系展開，且利用交界面兩側磁場強度法線方向分量連續的條件(假定介電質的mr為1) 微帶線的3D架構

微帶線無法傳播TEM波：說明3 由於 大於1，而且交界面上的Hy不為零，它對z的變化通常也不為零 所以式右邊的項不會是零 其左方的項因此不能為零 Hz也就不可以是零 無法滿足TEM波的假設 微帶線的3D架構 微帶線橫截面的典型電磁場場線

準靜態分析(Quasi-Static Analysis)與 全波分析(Full Wave Analysis) 頻率不太高時，把微帶線電磁場近似為TEM波，求它在橫截面上的靜電場分佈(4-2節) 全波分析 利用較高等的電磁理論，求滿足完整Maxwell方程式及邊界條件的電磁場之解 不論準靜態分析或全波分析都很難找到簡單公式解，而必需利用數值方法，以電腦計算數值解 平面波導應用廣泛，市面上有許多商用軟體可作微帶線的準靜態分析及全波分析

準靜態分析：步驟1 假設介電質不存在，金屬導體之外到處都是空氣 利用4-2節理論算出其每單位長電容及電感分別為C0及L0 此時之特性阻抗 此時之相位傳播常數

準靜態分析：步驟2 放入介電質 介電質的mr為1 微帶線的特性阻抗與相位傳播常數 利用數值方法求出其單位長電容C 整個問題的靜磁學性質與金屬導體外到處是空氣的靜磁學性質完全一致 每單位長電感仍為L0 微帶線的特性阻抗與相位傳播常數

半經驗解析公式 準靜態分析或全波分析都需要用電腦作繁複的計算 半經驗解析公式 設計電路時很不方便 利用近似物理模型或歸納數值與量測結果，導出傳播常數與特性阻抗的公式 例：Bahl 與 Garg 的準靜態公式(與實驗結果相當吻合) 不必記憶，可寫成函式，使用時呼叫即可

色散(Dispersion) 微帶線並不傳播TEM波 也有研究人員提出色散模型的半經驗公式 全波分析顯示其有效相對介電常數 re和特性阻抗都會隨訊號頻率變化 稱為色散(下一章有更詳細的說明) 有效相對介電常數定義 也有研究人員提出色散模型的半經驗公式 例：Hammerstad與Jensen的特性阻抗公式 例：Kobayashi的有效相對介電係數公式 均不必記憶，可寫成函式，使用時呼叫即可

色散模型的半經驗公式計算結果 介電質基板厚度100mm，金屬帶厚度3mm 微帶線的特性阻抗與傳播特性隨頻率變化的改變幾乎可以忽略

Bahl 與 Garg 準靜態公式計算結果 介電質基板厚度100mm，金屬帶厚度3mm 相同的頻率、介電質板的厚度、及金屬帶厚度之下，微帶線的特性阻抗與傳播特性只與金屬帶的寬度有關 其他條件固定時，金屬帶愈寬，其特性阻抗愈小，而相對介電常數愈大 可輕易在同一塊電路板作出不同特性阻抗的傳輸線

微帶線四分之一波長阻抗匹配器 中段微帶線長度 l0代表真空中波長 中段微帶線的特性阻抗恰為左右兩段微帶線特性阻抗的幾何平均值 兩數之幾何平均數必定介於兩數之間 中段微帶線的金屬帶較左段為寬，而較右段為窄 微帶線匹配電路上視示意圖

微帶線電路例：濾波器 濾波器讓訊號的某些頻率成份順利通過，但同時抑制其他的頻率成份 可利用微波電路理論，設計出其他千變萬化的微帶線電路 微帶線濾波器電路上視示意圖

共面波導(Coplanar Waveguide) 微帶線需要打洞連線至接地金屬板來並接個別的電路元件，如電阻、電晶體等 共面波導 接地金屬板也在訊號線所在的平面 分析與設計方式與微帶線相似 一般來說，微帶線的特性阻抗較低，而共面波導的特性阻抗較高 共面波導橫截面圖

微帶線與共面波導性質的比較 性 質 微帶線 共面波導 等效介電常數ere (介電質板er=13，h=100mm) 約為8.6 約為7 性 質 微帶線 共面波導 等效介電常數ere (介電質板er=13，h=100mm) 約為8.6 約為7 可傳送功率 高 中等 輻射損失 低 色散 小 並接元件 困難 容易 串接元件 封裝尺寸 大