第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差及相关系数 协方差的定义 协方差的性质 相关系数的定义 相关系数的性质

第四章 随机变量的数字特征 E( X – EX )( Y-EY )

一、协方差 1）协方差的定义 称 COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) = E XY –EX EY §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 一、协方差 1）协方差的定义 称 COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) = E XY –EX EY 为随机变量 X,Y 的协方差. COV( X, X )= DX. 2）相关系数的定义 称为随机变量 X,Y 的相关系数。 是一个无量纲的量；

称 X,Y 不相关， 此时 COV( X，Y ) 定理：若X，Y 独立，则 X , Y 不相关。 (反之，不然） 证明： 由数学期望的性质: §4协方差 第四章 随机变量的数字特征 称 X,Y 不相关， 此时 COV( X，Y ) = 0 定理：若X，Y 独立，则 X , Y 不相关。 (反之，不然） 证明： 由数学期望的性质: 若X，Y 独立， E XY = EX EY 所以　 COV( X,Y ) = 0. 注意：若 E( X – EX )(Y - EY ) 即 EXY-EXEY 则X，Y一定相关，且 X，Y 一定不独立。

二、协方差的性质 1) COV( X,Y )=COV( Y, X ) 2) COV(aX，bY)= 3) COV(X+Y , Z)= §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 二、协方差的性质 COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) 1) COV( X,Y )=COV( Y, X ) 2) COV(aX，bY)= abCOV(X，Y)； 3) COV(X+Y , Z)= COV(X , Z)+COV(Y, Z); 5) X，Y不相关

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 三、相关系数的性质 证明： 令： 求a，b 使 e 达到最小。 令：

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 , ) ( DX Y X COV = 得：

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 即 由上式得: 现在证明： 由上面知此时

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 从而 所以

§4协方差 第四章 随机变量的数字特征 反之，若存在 　　使， 这时 故　 则 故　

( ) 说 明 紧密程度的量． 之间线性关系 与 量 相关系数是表征随机变 Y X 之间的线性关系越弱； 与 Y X 时， 当 = r ． §4协方差 第四章 随机变量的数字特征 说 明 紧密程度的量． 之间线性关系 与 量 相关系数是表征随机变 Y X 时， 当 1 = XY r 存在着线性关系； 之间以概率 与 1 Y X 时， 越接近于 当 XY r 之间的线性关系越弱； 与 Y X 时， 当 = XY r ( ) ． 不相关 之间不存在线性关系 与 Y X X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。 X 与 Y 不相关，但不一定相互独立。

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 13 Y X - = 2 h x ， 1 4 4* * - + = ． 试求： r 1 4* 4 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 例1 ( ) ，记 ， 是二个随机变量，已知 设 1 4 = Y X cov DY DX Y X - = 2 h x ， ． 试求： xh r 解： ( ) Y X D 2 - = x ( ) Y X DY DX ， cov 4 - + = 1 4 4* * - + = 13 = ( ) Y X D - = 2 h ( ) Y X DY DX ， cov 4 - + = 1 4* 4 - + * = 4 =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x r D ， cov = DY Y X DX 2 cov 5 + - §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 ( ) h x ， cov ( ) Y X - = 2 cov ， ( ) X ， cov 2 = ( ) X Y ， cov 4 - ( ) Y X ， cov - ( ) Y ， cov 2 + ( ) DY Y X DX 2 cov 5 + - = ， 4 2* 1 5* + - = 5 = 所以， ( ) h x r xh D ， cov = 4 13 5 = 26 13 5 =

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 例2 设(X，Y)服从二维正态分布，求： 由上述知： 则：

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 令：

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征

§4协方差 第四章 随机变量的数字特征 故 例3 证明：

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征

§4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 思考题： 1) 2） 则根据切比雪夫不等式有 3）

小结： 1）协方差的定义和性质； 2）相关系数的定义性质； 3）不相关的定义及等价条件； 4）独立性与不相关性的关系； §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 小结： 1）协方差的定义和性质； 2）相关系数的定义性质； 3）不相关的定义及等价条件； 4）独立性与不相关性的关系； 5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。