第三章 程序编制中的数值计算 §3.1 数值计算的内容 §3.2 简单轮廓的基点计算 §3.3 非圆曲线节点坐标的计算 第三章 程序编制中的数值计算 §3.1 数值计算的内容 §3.2 简单轮廓的基点计算 §3.3 非圆曲线节点坐标的计算 §3.4 列表曲线节点坐标的计算 §3.5 刀位轨迹的坐标计算 §3.6 曲面加工中的数值计算

§3.1 数值计算的内容 数控机床的控制系统主要进行的是位置控制，即控制刀具的切削位置。数控编程的主要工作就是把加工过程中刀具移动的位置按一定的顺序和方式编写成程序单，输入机床的控制系统，操纵加工过程。刀具移动位置是根据零件图纸，按照已经确定的加工路线和允许的加工误差（即容差：用插补线段逼近实际轮廓曲线时允许存在的误差）计算出来的。这一工作称为数控加工编程中的数值计算。数值计算主要用于手工编程时的轮廓加工 。

数控加工编程中的数值计算主要包括： 工件零轮廓中几何元素的基点 插补线段的节点 刀位轨迹坐标计算 辅助计算等内容

基点 基点就是构成零件轮廓的各相邻几何元素之间的交点或切点。如两直线的交点、直线与圆弧的交点或切点、圆弧与二次曲线的交点或切点等等，均属基点。一般来说，基点的坐标根据图纸给定的尺寸，利用一般的解析几何或三角函数关系不难求得。

节点 节点是在满足容差要求条件下用若干插补线段（如直线段或圆弧段等）去逼近实际轮廓曲线时，相邻两插补线段的交点。节点的计算比较复杂，方法也很多，是手工编程的难点。有条件时，应尽可能借助于计算机来完成，以减少计算误差并减轻编程人员的工作量。 一般称基点和节点为切削点，即刀具切削部位必须切到的点。

刀位轨迹的坐标计算 刀位点是指刀具上代表刀具在工件坐标系中所在位置的一个点。刀位诡计即指刀位点在工件坐标系中运动时所描述的轨迹，又称为刀具路径。 刀具中心位置是刀具相对于每个切削点刀具中心所处的位置。因为刀具都有一定的半径，要使刀具的切削部位切过轮廓的基点和节点，必须对刀具进行一定的偏置。对于没有刀具偏置功能的数控系统，应计算出相对于基点和节点的刀具中心位置轨迹。对于具有刀具偏置功能的数控系统，加工某些内腔型面时，往往也要求计算出刀具中心轨迹的坐标数据。

辅助计算 辅助计算包括以下内容： 1）增量计算 对于增量坐标的数控系统，应计算出后一节点相对前一节点的增量值 1）增量计算 对于增量坐标的数控系统，应计算出后一节点相对前一节点的增量值 2）辅助程序段的数值计算 对刀点到切入点的程序段，以及切削完毕后返回到对刀点的程序均属辅助程序段。在填写程序单之前，辅助程序段的数据也应预先确定。

§3.2 简单轮廓零件的基点计算 基点的计算

一零件轮廓如图所示，其中A、B、C、D、E、F为基点， A、B、C、D、可直接由图中所设工件坐标系中得知。 E点是直线DE与EF的交点，F是直线EF与圆弧AF的切点。分析可知，OF与X轴的夹角为30°，EF与X轴夹角为120°，则 FX = 20 cos30°=17.321 FY = 20 sin30°= 10 ∵ EY = 30 ∴ EX = FX -（EY - FY ）/ tg60°= 5.774

一、直接计算法 例1 计算图中4*R12圆弧与各直线相切的切点坐标。 局部放大图 十字配合件

1）按点斜式列出两直线方程，联立求解两直线交点C的坐标。 分为三步进行： 1）按点斜式列出两直线方程，联立求解两直线交点C的坐标。 2）在直角三角形O1CA中，利用三角函数关系求出CA长S。 3）利用三角函数关系求出A、B两点在XOY坐标系中的坐标值。 局部放大图

1）确定斜直线方程 2）在直角三角形O1CA中，利用三角函数关系求出CA长S 3）利用三角函数关系求出A、B两点在XOY坐标系中的坐标值。

例2 计算加工中心试件各相邻圆弧间的切点坐标。 试件计算图 加工中心试件

A点

B点 B点

二、由方程导出标准计算式 图上多数坐标点，可用直接计算法求解。但需要采用解联立方程组求解某点坐标时，需要方程组求解比较简便。事先导出标准计算式，计算时直接套用该标准计算式即可。 常用的三种标准计算式 1.直线与直线相交 2.直线与圆弧相交或相切 3.圆弧与圆弧相交或相切

1.直线与直线相交

2.直线与圆弧相交

3.圆弧与圆弧相交或相切

例3 确定基点坐标A、B、C、D、E点

三、三角函数法 直线和圆弧组成的零件轮廓，用方程组法公式过于复杂，可用三角函数法进一步简化。

三角函数法 对以上计算规则进行研究并考虑几何图形所处象限或方位变化，无需在土中添加过多的辅助线，只利用图形的三角函数关系计算基点坐标。 以下介绍四种类型。

§3.3 非圆曲线节点坐标的计算 大多数铣床或加工中心都具有直线及圆弧插补功能，因此在加工由直线、圆弧组成的平面轮廓时，只需进行各基点的数值计算，不涉及节点计算问题。但若零件轮廓不是直线和圆弧组合而成，则要用直线段或圆弧段去逼近轮廓曲线，故要进行相应的节点计算。 

非圆曲线数值计算的一般步骤 1.选择插补方式 2.确定编程允许误差 3.选择数学模型、确定计算方法 4.根据算法，画出计算机流程图 5.编写程序，求解坐标数据

几种常用插补方法中节点坐标的计算： 直线逼近法 等间距直线逼近的节点计算 等步长插补法 等误差插补法 圆弧逼近算法

1.直线逼近算法 等间距法是将某一坐标轴划分成相等的间距。在x轴方向取Δx为等间距长，根据已知曲线的方程y=f（x），可由xi求得yi，xi+1=xi+ Δx，yi+1=f （xi+1）。如此求得的一系列点就是节点。

一般取Δx=0.1进行试算，仅需校验曲率半径最小处和两节点间距离最长处的误差。

2．等步长插补法

2．等步长插补法 等步长是指插补的直线段长度相等，而插补误差则不一定相同。计算插补节点时，必须使产生的最大插补误差δmax小于或等于容许的插补误差δ，以满足加工精度的要求。图所示为一段轮廓曲线。设曲线方程为 y = f（x），则等步长插补节点的计算步骤为：

dR / dx ={ 3（y″）2 y′[1+（y′）2]1/2 - [1+（y′）2]3/2 y″′ } /（y″）2 1)求曲线段的最小曲率半径Rmin 最大插补误差δmax必在最小曲率半径Rmin处产生，已知曲线曲率半径为： R = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / ∣y″∣ （3-1） 欲求最小曲率半径，应将式（2-1）对x求一阶导数，即 dR / dx ={ 3（y″）2 y′[1+（y′）2]1/2 - [1+（y′）2]3/2 y″′ } /（y″）2 令dR / dx = 0，得 3(y″）2y′-[1+（y′）2]y″′= 0 （3-2） 由此可求出最小曲率半径处的x值。将此值代入式(3-1)，可得Rmin 。

2）求插补步长h 在三角形△ofg中，有 （ｈ/ 2）2 = R2 – （R –δmax ）2 R = Rmin ，则插补步长ｈ为 h ≈ √ 8Rminδ

3）求插补节点 步长ｈ确定之后，以曲线的起点a（x0，y0）为圆心，步长ｈ为半径作圆，该圆与曲线的交点b，即为第一个插补节点。即联立方程 y = f（x） （x – x0）2 + （y – y0）2 = 8 Rminδ 的解（x1，y1），即为b的坐标。再以b点为圆心，重复3），即可求得下一插补节点。依此类推，可求得y = f（x）的全部插补节点。

例 一轮廓曲线方程为x2 = 4ay起点为（0，0）。则 y′= x / 2a y″= 1 / 2a y″′ = 0 代入式（3-2） 3(y″）2y′-[1+（y′）2]y″′= 0 ， 再将所的结果x = 0 代入式（3-1） R = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / ∣y″∣ 可得 Rmin = 2a ， 将Rmin代入式（3-3），得 ｈ≈ √ 16aδ 最后由式（3-4）解联立方程：

x2 = 4 a y x 2 + y 2 = 16 aδ 即可得第一个插补节点。重复步骤3），可求得其余插补节点。 等步长插补法，计算过程比较简单，但因步长取决于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过多过密，所以等步长法只对于曲率半径变化不是太大的的曲线加工较为有利。

3.等误差插补法 等误差法可使各插补直线段的插补误差小于或等于容许的插补误差，其插补线段可长可短。该插补法适用于轮廓曲率变化比较大、形状比较复杂的工件，是插补线段最少的方法。如图所示，设轮廓曲线方程为y = f（x），插补容差为δ，则等误差法插补节点的计算步骤为：

1）以曲线起点（x0 ，y0）为圆心，δ为半径作圆，圆方程为 （x – x0）2 + （y – y0）2 = δ2 2）作该圆与轮廓曲线y = f（x）的公切线，得到两切点（ξ0 ，η0），（ξ1 ，η1），满足下列联立方程： 对曲线 f ′ （ξ1）=（η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0） f （ξ1）= η1 对圆 F ′（ξ0）=（η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0） F （ξ0）= η0 式中，y = F（x）表示圆方程。由此可求得公切线得斜率k k = （η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0）

3）过（x0 ，y0）点作公切线的平行线 y – y0 = k（x – x0） 4）将平行线方程与轮廓曲线方程联立，可求得第一个节点坐标（x1 ，y1）。 y = f（x） 依此类推，再以（x1 ，y1）点为圆心重复上述步骤，可求其余插补节点。

4．圆弧逼近算法 （1）曲率圆法圆弧逼近的节点计算 用圆弧段逼近轮廓曲线是一种精度较高的插补方法。用这种方法插补轮廓曲线时，需计算出各插补圆弧段半径、圆心及圆弧段的起点和终点（即轮廓曲线上的插补节点）。如图所示，设轮廓曲线方程为y = f（x），插补容差为δ，圆弧插补节点的计算步骤如下： （1）曲率圆法圆弧逼近的节点计算

1）求曲线起点（x1 ，y1）处的曲率半径R1 R1 = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / |y″|  2）求（x1 ，y1）处的曲率圆的圆心坐标（ζ1 ，η1） ζ1 = x1 – y′[1 +（y′）2 ] / y″ η1 = y1 + [1 +（y′）2] / y″

3）以（ζ1 ，η1）为圆心，R1±δ为半径的圆弧与曲线y = f（x）交点（x2 ，y2），即插补节点。解联立方程 （x –ζ1）2 + （y –η1）2 = （R1±δ）2 式中，当轮廓曲线的曲率递减时，取R1+δ为半径；当轮廓曲线的曲率递增时，取R1 -δ半径。解上述联立方程得到的（x ，y），即为圆弧与曲线的交点（x2 ，y2）。曲线y = f（x）在（x1 ，y1）和（x2 ，y2）两节点间的线段是以此为起、终点的圆弧替代的。

4）插补圆弧的圆心（λ1 ，μ1） 插补圆弧的圆心是这样求得的：分别以（x1 ，y1）和（x2 ，y2）为圆心，以R1为半径作两段相交的圆弧，两圆弧的交点即为所求的圆心。故须解下列联立方程： （x1 –λ1）2 + （y1 –μ1）2 = R12 （x2 –λ1）2 +（y2 –μ1）2 = R12 求得的（λ1 ，μ1）即为插补圆弧段的圆心。 重复上述过程，再从（x2 ，y2）处开始，可求得曲线y = f（x）在（x2 ，y2）处的曲率半径R2 和曲率圆圆心（ζ2 ，η2）及插补圆弧段的圆心（λ2 ，μ2）。依此类推，可完成全部插补节点、插补圆弧半径及插补圆弧圆心的计算。

2.三点圆法圆弧逼近的节点计算 三点圆法是在等误差直线段逼近求出各节点的基础上，通过连续三点作圆弧，并求出原心点的坐标及圆弧半径。 如图所示，首先从曲线起点开始，通过P1，P2，P3三点中任意两点连线的中垂线上，据此可求出圆心点坐标及圆弧半径。

3.相切圆法圆弧逼近的节点计算 方法比较繁琐，仅了解基本原理即可。 如图所示，通过曲线上A，B，C，D点作曲线的发现，分别交于M，N点，以M点为圆心，AM为半径作圆M，以N为圆心，ND为半径作圆，

若使圆M和圆N相切，必满足 采用此方法求解B，C，D三点坐标值，要使用迭代法解联立方程组，而且求解过程繁琐。

思考与练习 1. 数控编程的数值计算包括哪些内容？ 2. 基点和节点有什么区别？何为切削点？ 3. 等步长法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。 4. 等误差法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。

§3.4 列表曲线节点坐标的计算 一、概述 零件的轮廓形状除可用直线、圆弧及各种非圆曲线表达之外，还可以用列表曲线表示。所谓列表曲线是指零件图样上的曲线形状是由一系列坐标点所确定。列表曲线的表达形式来源于两种情况： 1）零件的轮廓形状是通过实验或测量的方法得到，无法给出确定的函数表达式； 2）编程员在处理非圆曲线时，为了便于求解节点坐标，常按等间距对曲线进行分割，由计算机求解出大量的点坐标数据。

采用直线方程或圆方程之外的其它数学方程式（如抛物线、三次样条曲线）对列表点进行拟合，得到由多段参数不同但方程式表达形式完全相同的函数表达式，称为第一次拟合； 然后根据编程允差的要求，再对第一次拟合时的数学方程（称为插值方程）进行插点加密，求得新的节点，再在新的节点之间采用直线或圆弧拟合，称为第二次拟合。

1.三次参数样条曲线拟合 所谓样条：用模拟弹性梁弯曲变形的方法而模拟出的具有力学特性的曲线。

§3.5 刀位轨迹坐标的计算 机床数控系统在控制刀具进行切削加工时，是按刀具中心（立铣刀是指刀具端面的中心位置）在工件坐标系中的位置进行控制的。显然刀具中心不能落在切削点上，因为刀具都有一定的尺寸，要使刀具的切削表面始终相切地经过工件轮廓的切削点，必须对刀具进行一定的偏置。刀具偏置又称刀具半径补偿或刀具半径偏移。 

具有刀具中心自动偏置功能的数控机床，可直接按零件轮廓切削点的位置进行编程，其刀具半径偏置由数控系统自动调用预先存储在刀具半径补偿地址中的数值来实现。但对于没有刀具自动偏置功能的数控系统，则需要计算出相对于切削点的刀具中心位置的坐标作为编程数据。在平面轮廓加工中，常用立铣刀，设刀具半径为R，若切削点的坐标为（x ，y），切削点的法矢为n（n x ，n y），则相应与切削点的刀具中心位置为： x刀 = x + R n x y刀 = y + R n y 由此可见，刀具一经选定，只要求出各刀具切削位点的单位法矢，就可算出刀具中心的偏置位置，从而求得刀具中心规迹。这里主要给出三种切削点单位法矢的计算方法： 直线段的单位法矢 圆弧段上某切削点的单位法矢 平面曲线上某切削点的单位法矢

直线段的单位法矢 设ab 为平面轮廓上一直线段，起点为a（ x a , y a ）， 终点为b （ x b , y b ），该定向直线段的单位矢量为： xb – xa yb - ya τ = {τx , τy } = L ， L 式中 L = √（ x b – x a ）2 +（ y b – y a）2 为直线段的长度。

显然，直线上任一点处的单位矢量都是相同的。所以，直线 ab 上各点的单位法矢 n 也都是相同的。即 n = { nx ，ny } = {干τy ，±τx } 式中正负号的选取规定如下：顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧（左偏置）或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧（右偏置）取上方符号；顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧（右偏置）或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧（左偏置）取上方符号取下方符号。

圆弧段上某切削点的单位法矢 设P为半径为R、圆心为C的圆弧上任一切削点，圆弧在P点处的单位法矢即为圆心C到P有向联线的单位矢量。即 x p – x c y p – y c n = { n x ，n y } = ± R , ± R 当刀具外偏置（刀具始终在圆弧的外侧）时，两分量均取上面正号；当刀具内偏置（刀具始终在圆弧内侧）时，两分量均取下面负号。

平面曲线上某切削点的单位法矢 设P为曲线f（x）上的任一切削点，则在该点的斜率为 tgα = f ′（x p） 其单位切矢为 τ = {τx , τy } = { cosα，sinα} 相应的单位法矢为 n = { n x ，n y } = { 干τy ，±τx } 式中正负号选取规则同前：顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧取上方符号；顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧取上方符号取下方符号。

3.相切圆法圆弧逼近的节点计算 方法比较繁琐，仅了解基本原理即可。 如图所示，通过曲线上A，B，C，D点作曲线的发现，分别交于M，N点，以M点为圆心，AM为半径作圆M，以N为圆心，ND为半径作圆，

若使圆M和圆N相切，必满足 采用此方法求解B，C，D三点坐标值，要使用迭代法解联立方程组，而且求解过程繁琐。

思考与练习 1. 数控编程的数值计算包括哪些内容？ 2. 基点和节点有什么区别？何为切削点？ 3. 等步长法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。 4. 等误差法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。

§3.4 列表曲线节点坐标的计算 一、概述 零件的轮廓形状除可用直线、圆弧及各种非圆曲线表达之外，还可以用列表曲线表示。所谓列表曲线是指零件图样上的曲线形状是由一系列坐标点所确定。列表曲线的表达形式来源于两种情况： 1）零件的轮廓形状是通过实验或测量的方法得到，无法给出确定的函数表达式； 2）编程员在处理非圆曲线时，为了便于求解节点坐标，常按等间距对曲线进行分割，由计算机求解出大量的点坐标数据。

采用直线方程或圆方程之外的其它数学方程式（如抛物线、三次样条曲线）对列表点进行拟合，得到由多段参数不同但方程式表达形式完全相同的函数表达式，称为第一次拟合； 然后根据编程允差的要求，再对第一次拟合时的数学方程（称为插值方程）进行插点加密，求得新的节点，再在新的节点之间采用直线或圆弧拟合，称为第二次拟合。

1.三次参数样条曲线拟合 所谓样条：用模拟弹性梁弯曲变形的方法而模拟出的具有力学特性的曲线。

需要注意三次参数样条曲线的端点条件，要与实际零件图样的要求相适应。 a 未选择曲线端点条件，为自由端点 b 左端点的切线方向与x轴平行，右端点切线方向为45度。

2.NURBS曲线 NURBS是非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline） 1)20世纪60年代，贝塞尔开始构造以“逼近”为基础的参数曲线表示法，用一组多边折线（特征多边形）的各个定点来定义贝塞尔曲线。

2）1972-1974 弗雷斯特对贝塞尔曲线进行了改进，得到B样条曲线。 区别贝赛尔曲线在于需要通过三重节点法或三顶点共线法解决曲线通过首末节点的问题。 B样条曲线

3） 为精确描述二次曲线以及球面等曲面，使用非均匀有理B样条曲线，即NURBS技术。

3.圆弧样条拟合 圆弧样条拟合是一种较为简单的曲线拟合方法，它利用样条的思想，使用圆弧这一最简单的二次曲线来构造曲线的形状。 圆弧样条原理

三、密集列表点的圆弧过滤方法 密集列表点是指由函数表达式计算出的大量的坐标点。数控编程时，为了解决非圆曲线数控加工的数值计算问题，编程员常用等间距法求解节点坐标数据。一般取△x=0.1mm或△Θ=0.1°，计算出一系列密集点坐标，完全可以在两相邻点之间以直线插补的方式编程。

所谓密集列表点的圆弧过滤，就是按照编程允差的要求，对列表点进行过滤，对保留的点按顺序采用三点圆弧法连接的处理过程。 凸轮槽曲线

4.双圆弧样条拟合 双圆弧样条拟合的方法与圆弧样条拟合十分相似，只是在除首末列表点之外的所有列表点两侧分别使用两条圆弧。由于取消了列表点两侧必须为同一圆弧的限制，在列表点出切线方向的确定与两圆弧公切点位置的确定都更为灵活。

§3.5 刀位轨迹坐标的计算 机床数控系统在控制刀具进行切削加工时，是按刀具中心（立铣刀是指刀具端面的中心位置）在工件坐标系中的位置进行控制的。显然刀具中心不能落在切削点上，因为刀具都有一定的尺寸，要使刀具的切削表面始终相切地经过工件轮廓的切削点，必须对刀具进行一定的偏置。刀具偏置又称刀具半径补偿或刀具半径偏移。 

具有刀具中心自动偏置功能的数控机床，可直接按零件轮廓切削点的位置进行编程，其刀具半径偏置由数控系统自动调用预先存储在刀具半径补偿地址中的数值来实现。但对于没有刀具自动偏置功能的数控系统，则需要计算出相对于切削点的刀具中心位置的坐标作为编程数据。在平面轮廓加工中，常用立铣刀，设刀具半径为R，若切削点的坐标为（x ，y），切削点的法矢为n（n x ，n y），则相应与切削点的刀具中心位置为： x刀 = x + R n x y刀 = y + R n y 由此可见，刀具一经选定，只要求出各刀具切削位点的单位法矢，就可算出刀具中心的偏置位置，从而求得刀具中心规迹。

一、铣削加工刀位轨迹计算 由于铣削加工是用道具中心作为刀位点，因此铣削加工刀位轨迹的计算，又称为刀具中心轨迹的计算。 应尽量使用刀具半径的自动补偿功能 区域加工时，一般只能按刀具中心轨迹进行手工编程。

例1 双边开口槽的槽底加工 要求用Ф20mm立铣刀采用往复平行加工方式开槽，112mm尺寸边界单边留精铣余量Δt=1.5mm，试计算铣削槽底平面时的刀位轨迹坐标值。

例2.矩形封闭槽的槽底加工 所示零件上的封闭槽底Ф20mm立铣刀立铣刀采用环绕方式加工，粗开槽后再用Ф6mm立铣刀对槽轮轮廓作精铣加工，试计算粗加工刀位轨迹坐标值。

二、车削加工刀位轨迹计算 数控车削加工中使用的车刀，目前多采用机夹可转位刀片。在这种刀片的刀尖位置处，规定了标准的刀尖圆角半径。 车削加工中刀位点的选择有两种可能，即假想刀尖点或刀尖圆弧中心。为了便于对刀和测量，通常用车刀的假想刀尖点作为刀位点。

1.假想刀尖点作为刀位点 所谓假想刀尖点，是指与zx坐标轴平行并与刀尖圆弧相切的两直线交点。 假想刀尖点位置 补偿计算

补偿计算 图中实线为零件的外形轮廓，虚线为零件外形轮廓的等距线，偏移距离等于刀尖圆弧半径r，则刀尖圆弧中心只有按图中虚线运动，才能由刀具切削刃部分切出零件的锥面形状。此时，假想刀尖点相对于零件轮廓上的对应点发生了偏移。

2.刀尖圆弧中心作为刀位点

§3.6 空间曲线曲面加工的数值计算 规则立体型面加工的数值计算 自由空间曲线曲面加工的数值计算 三维加工中刀具中心位置的计算 

一、规则立体型面加工的数值计算 规则的三坐标立体型面是机械加工中经常遇到的零件型面。如在具有相互垂直移动的三坐标铣床上加工此类零件，可用“层切法”加工。此时，把立体型面看作由无数条平面曲线所叠成。根据表面粗糙度允许的范围，将立体型面分割成若干“层”，每层都是一条平面曲线，可采用平面曲线零件的轮廓切削点的计算方法计算每层的切削点的刀具轨迹。 

如图2-7所示零件轮廓曲面，其母线是一条与 Z 轴夹角为θ的直线，轨迹是一个椭圆。以某一直线为母线，沿轨迹运动而形成的立体型面叫作简单立体型面。加工这种立体型面一般采用球头铣刀。数值计算的目的是求出球头铣刀球心的运动轨迹。

如前述，立体型面可看作有无数条平面曲线相叠形成，在XOY 平面内的椭圆曲线方程为 x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1 以一系列平形于XOY，而相互距离为适当行距dz 的平面，将上述型面分割为若干层，每层都是一个椭圆。一层加工完毕，铣刀在Z 轴方向移动一个dz的行距，再加工下一层。这样，立体型面加工就成了平面曲线轮廓的连续加工问题，其平面轮廓曲线上切削点的数值计算方法与与§2.1中讲述的方法是一样的。 

二、空间自由曲线曲面插补节点的数值计算 对于自由曲面零件，如涡轮及螺旋浆叶片、飞机机翼、汽车覆盖件的模具等，不管是通过计算机辅助设计或是通过实验手段测定，这种型面反应在图样上的数据是列表数据（或由各种截面曲线构成的自由曲面 ）。因此，对这类零件进行数控加工编程时，常常都是以三维坐标点（x i ，y i ，z i）表示的。 当给出的列表点已密到不影响曲线精度的程度时，可直接在相邻列表点间用直线段或圆弧段逼近。但往往给出的只是很少稀疏点，为保证精度，就要增加新的节点。为此，处理列表曲线或曲面的一般方法是根据已知列表点导出拟合方程，再根据拟合方程通过细化参数求得新的插补节点。

∑W i P i N k , i（u） P （u）= ∑W i N k , i（u） 0 ≤ u ≤ 1 自由曲线、曲面的拟合方法很多，有Bezier方法，B样条方法，Coons法,Fergusoon法等。目前最常用的是非均匀有理B样条拟合法。如非均匀有理B样条曲线的描述形式为 ∑W i P i N k , i（u） P （u）= ∑W i N k , i（u） 0 ≤ u ≤ 1 式中，u为拟合曲线参数；P（u）为空间曲线上任一位置矢量；P i 为拟合曲线的控制点（ i = 0，… ，m ）；N k , i（u）为k次B样条基函数，W i 是相应控制点P i 的权因子。其插补节点的算法为： 通过细化参数u，把由m个控制点确定的空间曲线段分割成若干子曲线段，当各子曲线段所对应的弦的最大距离满足容差δ要求时，即可用直线段——弦代替子曲线段，细化的参数值u所对应的分割点即为所求的节点。

例如，构成空间曲线的m个控制点若是均匀分部的， 根据容差要求，u可取值为 （0，0.2, 0.4, 0.6, 0.8,1） 或（0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1） 分别代入上式，即可求出空间曲线上的切削点。

∑∑ W ij P ij N i,k（u）N j,k（v） 同样，若非均匀有理B样条曲面是由（m + 1）×（n + 1）个空间点阵拟合而成的。其描述形式为： ∑∑ W ij P ij N i,k（u）N j,k（v） S（u ，v）= ∑∑ W ij N i,k（u）N j,k（v） 0 ≤ u ，v ≤ 1 式中，u ，v为拟合曲面参数，P ij 是矩形域上特征网格控制点阵，W ij 是相应控制点的权因子，N i,k（u）和N j,k（v）是 k 阶的B 样条基函数，S（u ，v）是曲面上任一点的位置矢量。其插补节点的计算方法与自由曲线的处理方法类似：细化两个方向参数 u 和 v，把曲面分割成子曲面片集，细化的程度由用子平面片代替曲面片能满足容差要求而定，然后再把细化好的子曲面片分割成两个三角形，各三角形的形心即为所求的插补节点。自由曲面加工的刀位规迹就是将这些小三角形的形心顺序连起来形成的，见图2-8。

这种处理方法的优点是，不管曲面多么复杂，都可以用单一的算法生成刀具规迹。从图2-8中可以看出，（a）、（b）中的刀具规迹均不理想，前者走刀行距不均匀，切削量忽大忽小，加工质量不高；后者在切削过程中不断改变切削方向，这将对机床不利。由于细化参数的方法是一种逼近法 a) c) b)

因此，只要满足加工容差要求，在细化的小三角形平面中可以有选择地使用。如图2-8（c）所示，只取同一四边形内两个三角形之一的形心作为插补节点，就可以解决切削行距不均和沿折线走刀的问题。 自由曲线和自由曲面插补节点的计算量是手工难以承受的，最好能借助于计算机完成。

三、三维加工中刀具中心位置的计算 不论是规则立体型面的加工或是空间自由曲线或曲面的加工，都存在着刀具中心的偏置问题。三维型面加工常用的刀具有球头刀或平头圆角刀（见图2-9）。平头圆角刀的刀具半径为R，圆角半径为r，则球头刀的圆角半径r = R 。若球头刀和平头圆角刀的刀具中心均指的是刀具端部的中心，对于切削加工时刀具主轴始终平行于Z轴的数控机床，其刀具中心的偏置方法可遵循下列规则： 1.先使刀具中心沿切削点处法线方向偏移 r 距离； 2.再沿与刀轴垂直的方向平移R – r 距离； 3.最后使刀具中心沿刀轴方向下移 r 距离。 

若点P是某一空间曲线或曲面上的切削点，其坐标为（xp ，yp，zp）曲线或曲面在该点处的单位法矢为 n = { nx，ny，nz } 其中nx，ny，nz 为单位法矢在工件坐标系三坐标轴上的分量。根据上述三条规则，与切削点相对应的刀具中心位置为： x刀 = xp + rnx + （R – r）nx = xp + Rnx y刀 = yp + rny + （R – r）ny = yp + Rny z刀 = zp + rnz - r

空间曲面上某切削点单位法矢的求法，视曲面描述方程的形式而异。若曲面的描述方程为F（x，y，z）= 0 ，则曲面上切削点（x0，y0，z0）处的法线方程为 （x – x0） （y – y0） （z – z0） F′x（x0，y0，z0） F′y（x0，y0，z0） F′z（x0，y0，z0） 式中，F′x（x0，y0，z0）、F′y（x0，y0，z0）、F′z（x0，y0，z0）为F（x，y，z）在（x0，y0，z0）处的偏导数，即曲面在该点法线的方向数。所以，曲面在该点的单位法矢为 n = {nx，ny，nz} =｛ F′x（x0，y0，z0）, F′y（x0，y0，z0）, F′z（x0，y0，z0）} / k 其中 k = [ F′x2（x0，y0，z0）+ F′y2（x0，y0，z0）+ F′z2（x0，y0，z0）]1/2

i j k 2）曲面为非均匀有理B 样条曲面，曲面S（u，v）上任一点（u0，v0）处的单位法矢可用下式求得： S′u× S′v n = { n x ，n y ，n z } = |S′u × S′v| 式中，S′u 为曲面相对于参数u的偏导矢，S′v 为曲面相对于参数v的偏导矢， | S′u × S′v|为矢量S′u × S′v 的模，S′u × S′v为曲面在S （u0，v0）处的法矢，且 i j k S′u × S′v= S′ux S′uy S′ uz S′vx S′vy S′vz

思考与练习 5. 试述弦线插补圆弧段时插补节点的计算方法。 6. 试述圆弧插补轮廓曲线时插补圆弧的计算方法。 7. 为什么要计算刀具中心位置？ 8. 刀具在尖角过渡时应考虑什么问题？ 9. 平面轮廓加工时，立铣刀的偏置规则是什么？

10．空间型体加工时，球头刀和平头圆角刀的偏置规则是什么？ 11．加工空间自由曲线、曲面时，插补节点的计算方法是什么？ 12．在图2-10所示的工件坐标系中，试给出各零件轮廓各基点的坐标。 13．一半径R = 20mm、圆心位于坐标原点的圆弧，起点坐标为（-10，17.32），终点坐标为（12.856，15.32），若用弦线插补该圆弧，当容差分别为0.1mm、0.01mm、0.001mm时，各需要计算多少插补节点？ 14. 如果用切线逼近圆弧，使导出切线段插补圆弧的节点计算公式。 15. 在如图2-11所示的加工中，试导出未加工部分面积与刀径及所包角度α的关系表达式。 16. 用直径Φ6的立铣刀加工曲线y = 3 x 2 + 4 x – 8，当刀具与曲线相切于点（1，-1）时，如果曲线一直在刀具的左侧，求此时刀具中心的位置。 17. 求出加工图2-12所示零件平面轮廓所需要的切削点及刀具中心位置坐标。可用圆弧插补，其他曲线可用直线逼近（刀具为Φ10的立铣刀）。