Random Variable隨機變數 定義

Slides:



Advertisements
Similar presentations
工職數學 第四冊 第一章 導 數 1 - 1 函數的極限與連續 1 - 2 導數及其基本性質 1 - 3 微分公式 1 - 4 高階導函數.
Advertisements

©2009 陳欣得 統計學 —e1 微積分基本概念 1 第 e 章 微積分基本概念 e.1 基本函數的性質 02 e.2 微分基本公式 08 e.3 積分基本公式 18 e.4 多重微分與多重積分 25 e.5 微積分在統計上的應用 32.
大綱 1. 三角函數的導函數. 2. 反三角函數的導函數. 3. 對數函數的導函數. 4. 指數函數的導函數.
變數與函數 大綱 : 對應關係 函數 函數值 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司. 對應關係 蛋餅飯糰土司漢堡咖啡奶茶 25 元 30 元 25 元 35 元 25 元 20 元 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司 變數與函數 下表是早餐店價格表的一部分: 蛋餅 飯糰 土司 漢堡 咖啡 奶茶.
1 第六章 機率分配. 2 隨機變數 機率分配函數 常用的機率分配 3 隨機變數 (random variable) 將隨機實驗中每一個樣本點對應至實數值 之 “ 函數 ” 隨機變數 f.
Measures of location and dispersion
第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 * 协方差与相关系数 大数定律与中心极限定理.
Statistical Probability for Production Simulation
期望值 變異數 共變異數與相關係數 變異數與共變異數之性質 柴比雪夫不等氏 動差與動差生成函數
研究随机变量是否一定要知道它的概率分布? 比如:当你想买一个灯泡的时候,你最想知道的是什么?
機率的意義 機率運算法則 機率分佈 二項分佈 卜瓦松分佈
第四章 數列與級數 4-1 等差數列與級數 4-2 等比數列與級數 4-3 無窮等比級數 下一頁 總目錄.
第三章 水文统计的基本原理与方法.
概率论与数理统计 2.1 随机变量与分布函数.
第三章 隨機變數.
管理统计学 主讲人: 北京理工大学 管理与经济学院 李金林 电话: 办公室: 中心教学楼1012房间
統計學 授課教師:林志偉 Tel:5021.
第十八章 技术.
3-3 Modeling with Systems of DEs
Population proportion and sample proportion
Descriptive statistics
§24 常用的连续型分布 一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布.
模式识别 Pattern Recognition
微積分網路教學課程 應用統計學系 周 章.
次数依变量模型 (Models for Count Outcomes)
第6章 機率分配.
第七章 SPSS的非参数检验.
Continuous Probability Distributions
第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布
教學演示教材: 〈信賴區間與信心水準的解讀〉
Properties of Continuous probability distributions
Stochastic Relationships and Scatter Diagrams
Sampling Theory and Some Important Sampling Distributions
第二十九單元 方向導數與梯度.
Random Variable隨機變數 定義
第六章 機率分配.
本章大綱 2.1 The Limit of a Function函數的極限 2.2 Limit Laws極限的性質
在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的全部概率特征也就知道了.
統計學: 應用與進階 第4 章: 多變量隨機變數.
Interval Estimation區間估計
第一章.
積分的商業應用 不定積分的商業應用 1. 邊際成本函數  2. 邊際收益函數  3. 邊際利潤函數  4. 若已知 
第二章 機率概論 2.1 相對次數與機率 樣本空間、事件與隨機變數 抽樣與樣本空間 22
模式识别 Pattern Recognition
导数的应用 ——函数的单调性与极值.
第一章 直角坐標系 1-3 函數圖形.
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布
抽樣分配 Sampling Distributions
資料整理與次數分配 Organizing Data 社會統計(上).
Definition of Trace Function
The Bernoulli Distribution
Some Important Probability Distributions
The Bernoulli Distribution
五.連續變數及常態分佈 (Continuous Random Variables and Normal Distribution)
統計學回顧 區國強.
Review of Statistics.
4- 第四章.
二項分配-Binomial 伯努利試驗(Bernoulli Trial) 每一次試驗皆僅有兩種可能結果,不是成功(S),就是失敗(F)。
統計學: 應用與進階 第3 章: 隨機變數.
生物统计学 Biostatistics 第一章 统计数据的收集与整理
隨機變數與機率分配 間斷機率分配 聯合機率分配 期望值與變異數 共變異數與相關係數
Chapter 5 隨機變數與機率分配 5.1 隨機變數 5.2 機率分配.
第一章 直角坐標系 1-3 函數及其圖形.
3-3 随机误差的正态分布 一、 频率分布 在相同条件下对某样品中镍的质量分数(%)进行重复测定,得到90个测定值如下:
4-1 變數與函數 第4章 一次函數及其圖形.
北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 学年第二学期 欧阳顺湘
抽樣分配 許明宗.
17.1 相關係數 判定係數:迴歸平方和除以總平方和 相關係數 判定係數:迴歸平方和除以總平方和.
Gaussian Process Ruohua Shi Meeting
Presentation transcript:

Random Variable隨機變數 定義 A variable X is a random variable if the value that X assumes at the conclusion of an experiment is a chance or random occurrence that cannot be predicted with certainty in advance. 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Random Variable隨機變數 定義 取一個三十個人的隨機樣本並詢問其就業狀況(失業與就業),樣本中的就業人數為一隨機變數X。X的可能值為? X的值可以是0至30的任意整數,每一個數值χi都代表此實驗(問三十個人)的一特定結果。 一個隨機變數所有可能的數值稱為「變量」,隨機變數中的每一個變量皆代表一種事件。 習慣上以大寫字母X, Y, Z表隨機變數,以小寫字母x, y, z來代表其相對應的變量。 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Random Variable隨機變數 丟銅板三次,樣本空間為: 例題 丟銅板三次,樣本空間為: Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} 定義X為丟三次銅板出現反面的次數,隨機變數X為將上面樣本空間對應到實數的函數,此隨機變數的變量為: S={0, 1, 2, 3} 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Discrete Random Variable 間斷型(不連續)隨機變數 定義 A random variable X is discrete if X can assume only a finite or countably infinite number of different values. 一隨機變數之變量若為有限個或無限但可數,稱為discrete r.v. 台北十月份下雨的天數。 高速公路一天的死亡人數。 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Discrete Random Variable 連續隨機變數 定義 A random variable X is continuous if it can assume all the values in some interval. 如果隨機變數在某區間的變量為無限個,則稱為連續隨機變數。 身高。 飛機往來北高所需的飛行時間。 計程車司機每月的里程數。 Note: 連續隨機變數無法精確的測量,僅能求近似值。 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Discrete Random Variable 連續隨機變數 定義 If X is a discrete random variable, the probability function (p.f.)機率函數 of X is defined as the function f such that for each real number x, 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Discrete Probability Distributions P(X = xi)代表隨機變數等於某特定變量的機率,如P( X = 2)銅板出現兩次反面的機率,有時候會簡化為P(xi) 或f(x)。 A discrete probability distribution is a table, graph, or rule that associates a probability P(X=xi) with each possible value xi that the discrete random variable can assume. 將一個間斷隨機函數的所有可能變量xi所相對應的機率P(X=xi)列出,稱為間斷機率分配(discrete probability distribution)。 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Discrete Probability Distributions 所有非連續機率分配必須滿足下列兩個條件: 假設X為一discrete r.v.,且函數P(X)滿足上述條件,我們說P(X) 為X的p.m.f (probability mass function)機率質量函數 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 某汽車經銷商營業員負責賣$10,000, $15,000, $20,000三種價格的車可得5%的commission。 消費者購買各種車款的機率分別為: $10,000  30% $15,000  20% $20,000  10% 不買車  40% 某顧客走入店中,以隨機變數X代表此營業員可能獲得的佣金,列出X的機率分配(probability distribution) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 x1=$0, x2=$500, x3=$750, x4=$1000 樣本空間S={$0, $500, $750, $1000} 與其相對應的機率為.4, .3, .2, .1 The probability distribution of a random variable is a theoretical model for the relative frequency distribution of a population. 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 直一個公正的骰子一次,令x為所得的點數,則x的分配為何? 函數表達: 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 隨機變數X,其機率函數為: 求c=? 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Cumulative Distribution Function Let X be a discrete or continuous random variable and let x be any real number. The cumulative distribution function (CDF) of X is the function 則稱F(X)為隨機變數X的累積分配函數或分配函數 社會統計(上) ©蘇國賢2000

累積百分比(Cumulative Percentage) 實例說明 累積百分比(Cumulative Percentage) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Cumulative Distribution Function 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Cumulative Distribution Function Let X be a discrete r.v. that can assume the values x1, x2, …xn, where x1<x2<…<xn. Then F(x) denote the probability that X assumes a value that is less than or equal to xr, and is given by: 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 續前例: F(500) = .4 + .3 =.7 F(750) = .4 + .3 +.2 =.9 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Expected value of a discrete random variable The expected value, or mean, of a discrete random variable is the weighted average of the possible values of the random variable where the weight assigned to xi is the probability P(X=xi) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 計算營業人員commission的期望值。 E(X) = (0)(.4)+(500)(.3)+(750)(.2)+(1000)(.1) = $400 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 一賭徒玩輪盤,輪盤共有38個號碼,其中18為「紅」,18個為「黑」,另有兩個號碼為「綠」,壓$1於「紅」,可贏$1,如果出現「黑」,則$1全輸,如果出現「綠」,則輸$.5,求賭徒壓紅的期望值。 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Expected value of a function of X Let X be a discrete random variable, and let Y be any function of X such that Y = g(X). Then the expected value of Y, or the expected value of g(X), is 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 若上例賭徒壓$100於「紅」,求期望值。 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 隨機函數X的變量 機率函數 隨機函數X = 生三個小孩中,女孩的人數 間斷機率分配Discrete prob. distribution 假設生三個小孩各種情況所相對應的機率為: 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 P(X<2) = F(1) = P(X ≦ 1) = .14 +.39 =.53 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 E(X) =  x.f(x) = (0)(.14) + (1)(.39) + (2)(.36) + (3)(.11) =1.44 = (0)(.14) + (1)(.39) + (2)(.36) + (3)(.11) =1.44 請問1.44代表的意義為? 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Expectations Theorem 1: if Y=a.X+b, where a and b are constant, then E(Y) = a.E(X) + b =1 E(X) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Expectations 例題:若E(X)=5, 求 E(3X-5)=? E(3X-5) = 3E(X) – 5 = 15-5 =10 若c為任意常數,求E(c) =? 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Expectations Theorem 2: if X1, X2, X3…Xn are n random variable such that each expectation E(Xi) exists (i = 1,2, …n), then E(X1+X2…+Xn) = E(X1) +E(X2) +… E(Xn) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Expectations It follows from theorem 1 and theorem 2 that for any constant a1, a2, …an and b, E(a1X1+a2X2…+anXn) = a1E(X1) +a2E(X2) +… +anE(Xn) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Expectations Theorem 3: If X1, …Xn are n independent variables such that each expectation E(Xi) exists, then E(X1.X2.X3…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of Expectations Proof X1, …Xn are n independent variables, P(X1.X2.X3…Xn)= P(X1)P(X2)…P(Xn) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Variance of Discrete Random Variable 非連續隨機變數的變異數 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Variance of Discrete Random Variable 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Variance of Discrete Random Variable = 2.82 – (1.44)2 = ΣX2f(x) – u2 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of the variance Var(c)=0, c 為常數項 更正式的陳述:Var(X)=0 if and only if there exists a constant c such that P(X=c)=1. 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of the variance Theorem : Var(aX+b)=a2Var(X) Proof. 因為E(aX+b)=aE(X)+b=au+b Var(aX+b)=E[((aX+b) – E(aX+b))2] =E[(aX+b – au –b)2]=E[(aX-au)2] =a2E[(X-u)2] 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of the variance Theorem: If X1, …Xn are independent random variables, then Var(X1+…+Xn) = Var(X1)+ …+Var(Xn) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

Properties of the variance Proof. 以n=2為例,If E(X1) = u1 and E(X2) = u2 E(X1+X2)=u1+u2 Var(X1+X2)=E[(X1+X2-u1-u2)2] =E[(X1-u1)2+(X2-u2)2+2(X1-u1)(X2-u2)] =Var(X1) + Var(X2) +2E[(X1-u1)(X2-u2)] X1, X2 are independent, 根據theorem 3 E[(X1-u1)(X2-u2)]=E(X1-u1)E(X2-u2)=0 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 X,Y,Z are independent and E(X)=1, E(Y)=4, E(Z)=3 Var(X)=3, Var(Y)=7, Var(Z)=2 What is the mean and variance of U=3X+4Y E(U)=E(3X+4Y)=3E(X) + 4E(Y) =3·1+4·4 = 19 Var(U) = Var(3X+4Y) = 9Var(X) + 16Var(Y) =9*3+16*7 = 139 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 成功機械公司之生產經理欲推計該公司某一長期客戶,訂購其產品之生產成本。若經由多年之銷售記錄,訂立了該客戶每月訂購量X之機率分配如下: X =1 f(X) = .5 X =2 f(X) = .3 X=3 f(X) = .2 (1) 求隨機變數(訂購量)X的期望值及變異數。 (2)若生產經理認為該產品的生產成本為:固定成本每月20,000元,每單位之變動成本為40,000。試求該項交易每月期望總生產成本為?(成大企研) 社會統計(上) ©蘇國賢2000

例題 E(X)=(x)f(x)=1(.5)+2(.3)+3(.2)=1.7 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 =3.5-(1.7)2=0.61 令Y= 20000+40000X E(Y)=20000+40000E(X)=88000 社會統計(上) ©蘇國賢2000