第3讲 线性方程组的高斯求解方法 主要内容： 1. 线性方程组的高斯求解方法 2. 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵
1.3 线性方程组的高斯求解方法 求解线性方程组: 先判断是否有解; 在有解时, 再求出所有解(通解). 1.3.1 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵 例1.7 求解下列线性方程组
Solution R(A) = R(B) = 3
1.3.2 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵 一个矩阵的行最简形矩阵(rref: reduced row echelon form of a matrix), 必须满足以下3个条件: (1) 是该矩阵的行阶梯形矩阵. (2) 行阶梯形矩阵非零行的首元为1. (3) 首非零元1所在列的其他元素全为0. 行最简形矩阵=约化行梯阵=简化行梯阵.
“向上消元”?
一般来说,将非零行的首非零元素对应的未知量x1、x2和x3作为先导未知量(leading unknown, 而其余未知量x4是自由未知量(free unknown). 先导未知量就是哪些不作为自由变量!!}, 先导未知量的个数就是矩阵的秩R(A) = R(B) = r = 3, 进而自由未知量的个数为 n – r = 4 – 3 = 1.
令x4 = k(其中k为任意常数) 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵的目的: 方便求解.
在MATLAB命令窗口输入矩阵B以及rref(B)就可以得到B的行最简形矩阵,使用rrefmovie(B)还可以看到B的行最简形矩阵的计算过程,再通过选取自由未知量可得出线性方程组的通解. 例如,为了得出 的行最简形矩阵,可以键入以下两个命令并回车.
>>B=[2, -1, 0, 2, -1; -4, 5, -8, 3, 5; 3, -2, 1, 2, -2]; format rat %用有理分数格式，否则是小数格式 >>rref(B) >>rrefmovie(B)
定理1.2 若n元线性方程组有解, 其系数矩阵和增广矩阵分别为A和B，则 (1) 当R(A) = R(B) = r = n时, 该线性方程组有唯一解. ( n – r = 0!) (2) 当R(A) = R(B) = r < n时, 该线性方程组存在n – r个自由未知量, 进而有无限多个解. 注意 当R(A) R(B)时, 该线性方程组无解.
下面举一个求解齐次线性方程组的例子. 例1.8 用高斯消元法求解齐次线性方程组
Solution
其对应的同解齐次线性方程组为
这时取x3和x4为自由未知量，令x3= k1， x4= k2，得原方程组的所有解为 其中k1, k2为任意常数.
上面介绍的是使用高斯消元法求解线性方程组的一般步骤,可以自己总结一下. 但可以灵活运用,例如在例1.8中，若取x2和x3为自由未知量,则将A的行梯形矩阵化为
其对应的同解齐次线性方程组为
取x2和x3为自由未知量,令x2= k1, x3= k2,得原方程组的所有解为 其中k1, k2为任意常数.
对于一般的线性方程组,已经解决了 (1)解的存在性问题. (2)求出其所有解的问题. 还需要研究的是线性方程组的解之间的关系问题,如上例中线性方程组(1.24)的两种解形式(1.25)和(1.26)本质上是相同的,在第3章将借助于向量理论讨论线性方程组的结构解问题.
下列线性方程组无解： 但有些实际问题,需要得出x1和x2的值,使得各个方程左右两边差的平方和 最小, 这就是线性方程组(1.27)的最小二乘解问题. 所得出的x1和x2的值是
线性方程组(1. 27)的最小二乘解(least-squares solution),它需要求多元函数(1 由于实际问题中出现的线性方程组往往含成百上千较多甚至更多的未知量，手工求解有一定的困难，借助于计算机进行数值求解是人们一致关心的问题，已开发出像MATLAB和Mathematica等数学软件.