第六章 轉動 6-1 角速度和角加速度 6-2 純滾動 6-3 力矩和轉動 6-4 角動量和角動量守恆定律

6-1 角速度和角加速度 (1/9) 何謂剛體 ? 大小和形狀保持固定不變的物體。 [說明]：剛體內部各質點之間的相對位置保持不變。 [問題]：生活周遭有哪些物體是剛體?

6-1 角速度和角加速度 (2/9) 角位移 [說明1]：如上圖，物體繞O點轉動時，除了O點外，其餘各 質點在相同時間(Δt)內，均轉過相同的角度(Δθ)。 [說明2]：物體轉動的角度稱為「角位移」，常見單位包括 「度(o)」、 「 弧度(rad)」、 「圈(轉)(rev)」 。

6-1 角速度和角加速度 (3/9) 角速度 v.s. 速度 lim Dq 平均角速度 w = Dt Dq 瞬時角速度 w= Dt 2p 比照平均角速度、瞬時角速度 的定義方式，你知道 如何定義「平均角速度」和「瞬時角速度」嗎? 平均角速度 w = Dq Dt 瞬時角速度 w= Dq Dt lim Dt0 [說明]：在週期性的轉動中，物體在一個週期內轉了 2p的角度，∴ w = =2pf 2p T

6-1 角速度和角加速度 (4/9) 角速度的單位 角速度的單位，除了有 o/s、 rad/s以外，也常以 r.p.m.(每分鐘圈數)、r.p.s.(每秒鐘圈數)表示。 [問題]：10 r.p.s.= r.p.m.= rad/s。 600 20p

6-1 角速度和角加速度 (5/9) 角速度的方向 [問題]：如右圖，有兩人分立於水車兩側， 則兩人觀察到水車的轉動方向是否一致? [說明]：轉動常以「順時鐘」或 「逆時鐘」方向表示，為了 避免誤解，角速度的方向以『右手定則』決定。

6-1 角速度和角加速度 (6/9) 角速度 v.s. 線速率 lim v= = = =rw rDq Dt Ds Dq r 如右圖，A點在Δt的時間內所行經的路徑長為Δs， 所以A點的線速率 v= = = =rw rDq Dt lim Dt0 Ds Dq r [說明]：由上式可知，雖然剛體內各質點的角速度都相同， 但 r 可能不同，所以線速率可能不同。

6-1 角速度和角加速度 (7/9) 角加速度 lim Dw 平均角加速度 a = Dt Dw 瞬時角加速度 a = Dt [問題]：角加速度方向與何者方向相同?

6-1 角速度和角加速度 (8/9) 等角加速度運動公式 v.s. 等加速度運動公式 w t wo v t vo (1) w=wo+at (1) v=vo+at (2) Dq=wot+ at2 2 1 (2) s=vot+ at2 2 1 (3) w2=wo2+2aDq (3) v2=vo2+2as

6-1 角速度和角加速度 (9/9) 角加速度 v.s. 切線加速度 lim 如右圖，質點的切線加速度 at= = = =ra rDw Dt Dv Dw r [說明]：當質點作圓運動時，其加速度 可分解為切線加速度at 和 法線加速度an。 其中， at =ra；an =rw2。 加速度a= at2+an2 = r a2+w4

6-2 純滾動 (1/2) [說明]：如上圖，若圓盤在圓周上的 AA’ 弧長，等於在地面上 與其相對應的AA’ 長度，則這種滾動稱為純滾動。 6-2 純滾動 (1/2) [說明]：如上圖，若圓盤在圓周上的 AA’ 弧長，等於在地面上 與其相對應的AA’ 長度，則這種滾動稱為純滾動。 圓心前進的距離 = 同時間內圓上各點所走的路徑長 圓心的速率 = 圓上各點的速率

6-2 純滾動 (2/2) A v B O C D [問題]：如上圖，若圓盤作純滾動，且圓心速率為v，則 6-2 純滾動 (2/2) A v B O C D [問題]：如上圖，若圓盤作純滾動，且圓心速率為v，則 A、B、C、D各點對地面而言，速率各是多少?

6-3 力矩和轉動 (1/6) Fi ri mi z [說明1]：如上圖，剛體繞一固定的轉軸轉動，Fi為作用於

6-3 力矩和轉動 (2/6) Fi Fit Fiz ri mi Fir z Fi 可分解為三個互相垂直的分力：

6-3 力矩和轉動 (3/6) Fi Fit Fiz ri mi Fir z Fit 使質點 mi 獲得切線加速度 ait ，即 Fit= mi ait 。 因為ait=ri a，且作用於mi的力矩τi = ri Fit  τi = ri Fit = mi ri2 a

6-3 力矩和轉動 (4/6) Fi Fit Fiz ri mi Fir i i z 因為剛體所受的總力矩 t 為所有質點所受力矩的向量和  τ= τi =( mi ri2) a= Ia i [說明2]： I=( mi ri2) ，稱為該剛體繞此軸的轉動慣量 i

6-3 力矩和轉動 (5/6) 轉動方程式 τ= Ia v.s. 移動方程式 F=ma 1. 合力使物體移動( F=ma )； [問題]：為什麼人騎著腳踏車時不易傾倒， 但卻不容易坐在靜止的腳踏車而保持平衡?

6-3 力矩和轉動 (6/6) 均勻剛體的轉動慣量 (僅供參考) 1 2 I=MR2 I= MR2 I= MR2 2 5 1 1 I= ML2 I= ML2 3 12

6-4 角動量和角動量守恆定律 (1/6) 角動量的定義 q p=mv r O r⊥ 如上圖，質點相對於O點的角動量 = r⊥ p = rp sinq

6-4 角動量和角動量守恆定律 (2/6) 作圓運動的角動量 p=mv r O 如上圖，若以圓心為參考系的原點， 質點作圓運動時，其角動量 l = r p = r mv

6-4 角動量和角動量守恆定律 (3/6) 剛體轉動的角動量 i z 如上圖，當剛體以角速度w轉動時，根據角動量的 L i = ri mi vi = ri mi ( ri w ) = ( mi ri2 ) w  剛體的總角動量 L= li=(miri2)w=Iw i

6-4 角動量和角動量守恆定律 (4/6) 力矩 v.s. 角動量 lim t = lim 若剛體所受的合力矩不為零，根據τ= Ia ， 剛體將獲得角加速度a而使角速度w隨之改變；  根據 L = Iw ，剛體角動量的變化量 DL=I Dw DL Dt lim Dt0 =  Dw I = Ia DL Dt lim Dt0  t = 物理意義：剛體所受的合力矩等於其角動量的時變率。

6-4 角動量和角動量守恆定律 (5/6) 角動量守恆定律 t = lim I1w1 = I2w2 DL Dt 當剛體所受的合力矩為零，則D L =0，代表角動量L 不隨時間改變，是一個定值，此即角動量守恆定律。 I1w1 = I2w2

6-4 角動量和角動量守恆定律 (6/6) 移 動 轉 動 位移 s 角位移Dq 速度 v 角速度 w 切線加速度 at 角加速度 a 質量 M 轉動慣量 I 動量 p=Mv 角動量 L=Iw 力 力矩 Dp DL F =Ma= lim t =Ia= lim Dt Dt Dt0 Dt0