對數與對數的應用 組員：許為明、黃楷甯、褚雪惠

一、數學單元主題教材內容分析 教學重點： 1.對數的基本定義 2.對數常用基本定律 3.對數的換底公式.連鎖公式.變形公式 4.對數函數的圖形與性質 5.對數方程式與對數不等式 6.對數表及科學記號的使用 7.生活中的對數應用

1.對數的基本定義 設 a＞0,a≠1,當 ax＝b 時,以符號 logab 表示 x,即 ax＝b  x＝logab (指數關係) (對數關係) Ex.3x＝2  x＝log32 logab 稱之為 以 a 為底數,b 之對數；其中 b 叫真數 記憶方式：右手轉基本性質 logab＝x  ax＝b

Example 1.1 滿足 2x＝8 的 x 值為何？ Sol. 顯然 23＝8 故 x＝3 問 log28 之值為何？ Sol. 由定義知 x＝log28  2x＝8 又由上題得知 23＝8 故可得知 log28＝3

2.對數常用基本定律 設 a＞0 , r＞0 , s＞0 (1)logaa＝1 (2)loga1＝0 (3)logaax＝x (4) alogax＝x logars＝logar+logas loga ＝logar-logas

Example 2.1 化簡 Sol. 原式

Example 2.2 設 x≠0 ,則 logx2＝？ Sol. logx2＝log|x|2 ＝2log|x| (因為真數必須是正數才有意義)

3.對數的換底.連鎖.變形公式 換底公式： 連鎖公式： 變形公式：

Example 3.1 (利用換底＋連鎖公式) 若 log23＝a ,log37＝b ,以 a,b 表 log4256. Sol. 利用換底公式,取 2 當新的底數 原式＝ 又由連鎖公式知 log27＝log23×log37＝ab ∴ log4256＝

Example 3.2 (利用連鎖公式化簡) 設 a,b,c,d R+-{1} 且 a2＝c3,c2＝e5, 求 (logab)(logbc)(logcd)(logde) 之值. Sol. 已知 ,由連鎖公式知 原式＝logae＝

Example 3.3 (善用變形公式簡化問題) 解 2(xlog3)(3logx)－5xlog3－3＝0 . Sol. 令 u＝xlog3＝3logx , 則原式：2u2－5u－3＝0 , 解得 u＝ 或 3 但 u＝3logx＞0 , 故僅取 u＝3 ,即 3logx＝3 , 則 logx＝1 , ∴ x＝10

4.對數函數的圖形與性質 指對數的反函數關係

底數和圖形的關係

Example 4.1

對數函數的增減特性

對數函數的增減特性

Example 4.2 (利用真數和底數決定大小關係) 設 , 比較 a,b,c,d 之大小順序. ※解答見下頁投影片

Sol. 1.觀察底數與真數是否同時大於1或小於1： 得知 a＜0,b＞0,c＜0,d＞0 2.由底數判斷函數的增減： 因為 a,c 底數為 ＜1,故為減函數,由此得知a＞c 3.化簡再用函數增減特性比較： 由 1.2.3 得知 c＜a＜b＜d

5.對數方程式及對數不等式 1.設 0＜a≠1 ,則 logax1＝logax2  x1＝x2＞0 2.(1)設 a＞1 ,則 0＜x1＜x2  logax1＜logax2 (2)設 0＜a＜1 ,logax1＜logax2  x1＞x2＞0 Note.解對數不等式及對數方程式時,千千萬萬要注意到真數與底數的限制 !！

Example 5.1 (解對數方程式時請注意解的範圍) 解 log6x＋log6(x2－7)＝1 Sol.

Example 5.2 (解對數不等式請小心限制範圍) 解 log2x＋logx2＜ Sol.

6.對數表及科學記號的使用 常用對數與科學記號 常用對數：一般以10為底數之對數 log10x , 以 logx 表之,稱之為常用對數. 科學記號：若 a＞0 ,則可化為 a＝b×10 , 其中 n Z 且 1≦b＜10 ,稱為科學記號表示法.

首數與尾數之運用 巨大數字之處理原理: 若 x＞1 且 logx＝n＋c ,其首數 n≧0 , 尾數 c＜1 ,則 x 之整數部分為 n＋1 位數 分析 n ≦ logx＝n＋c ＜ n＋1 10x ≦ x ＜ 10n+1 又 10x 為最小的 n＋1 位正整數 ∴ x 之整數部分為 n＋1 位數

Example 6.1 (1) 27100＋5200 整數部分為幾位數？首位數字？ (2) 1＋3＋32……＋380 之和為幾位數？首位數字？ Sol.

微小數字之處理原理: 若 0＜x＜1 且 logx＝n＋c ,其首數 n＜0 ,尾數 c＜1 ,則 x 之有效數字自小數點後面第|n|位開始

Example 6.2 若( )66在小數點後第 k 位始出現不為 0 之 數字 p ,求序組(k,p)＝？ Sol.

對數表與內差法：

Example 6.3 已知 log3.42＝0.5340,log3.43＝0.5353, 若 logx＝-3.4650 ,求 x 值.(取四位有效數字的近似值) Sol.

7.生活中的對數應用 本利和之計算 設本金 A ,每期利率為 r ,期數為 n 1.單利本利和＝A(1＋nr) 3.年利率 1分＝10％ ,1厘＝1％ 月利率 1分＝1％ ,1厘＝0.1％

Example 7.1 (利用查表求本利和) ※解答見下頁投影片

Sol.

二.教學網頁設計理念 加入跟生活有關的對數問題啟發學生的興趣 藉由簡易的基本公式讓學生導入對數的概念 運用簡單的Flash讓網頁生動有趣味

三.教學網頁教學目標 能熟知各個對數的基本公式 能將基本公式靈活運用 能將對數和生活連結

四.網頁設計規劃流程 教學網頁規劃PPT檔(97年11月10日前) 網頁文字部分(97年11月17日前) 網頁圖片影片部分(97年11月25日前) 網頁互動部分(97年12月2日前) 網頁評量部分(97年12月9日前) 網頁製作最後檢視(97年12月16日前) 數學單元教學網頁並上傳(97年12月23日前)

五.參考資料 南一高中數學第二冊 龍騰高中數學第二冊 經典高中數學參考書 徐氏高中數學參考書

THE END